第18章 曲線積分和曲面積分

第十八章曲線積分和曲面積分

§1第一類曲線積分一、定義背景：在計(jì)算曲線段上的質(zhì)量分布問題時(shí)，我們?cè)亚€段上的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)有限和lim￡f弓叫,G也的極限，這個(gè)有限和的極限正是本節(jié)要介紹的第一類曲線積分，先給出數(shù)學(xué)定義。給定光滑曲線段l:Ab，f3,y,z)定義在l上且連續(xù)，給定l的一個(gè)分割：T：A=A0<A1<<A=B這里“<”表示曲線上從A到B的順序。記As=1A1Al(弧長)，X=max{As}(分割細(xì)度)。i定義1、設(shè)存在實(shí)數(shù)I，使對(duì)任意的e>0，存在5>0，使對(duì)任意分割T，當(dāng)X<5時(shí)，對(duì)任意的3,y,z)eAA，都成立：iiii-1i￡f(x,y,z)As-11<e，i=1稱I為f(x,y,z)在l上的第一類曲線積分，記為I=ff(x,y,z)dsol其中f(x,y,z)稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。注、顯然，定義表明I=ff(x,y,z)ds=lim￡f(x,y,z)As。

s很iiii注、有時(shí)用l表示弧長，因而，第一類曲線積分也記為I=ff(x,y,z)以。不論如何記第一類曲線積分，必須注意到第一l類曲線積分是對(duì)弧長的積分。

注、其幾何意義為：f=1時(shí)，I=jf3,y,z)ds=si，(l的弧長)。注、第一類曲線積分滿足類似的積分性質(zhì)(略)。二、計(jì)算從定義式可知，計(jì)算的本質(zhì)問題在于對(duì)莓,的處理，下面，就以此為出發(fā)點(diǎn)導(dǎo)出其計(jì)算公式。先給出參數(shù)方程下的計(jì)算公式。'X=x(t)設(shè)給定曲線段l:卜=y(t),a<t<p是C的，即z=z(t)x(t),y(t),z(t)GC'［a,P］。首先由定積分理論中弧長公式可知，對(duì)應(yīng)于某一參數(shù)段如a<t<P的弧長可由如下定積分計(jì)算s=j飛X'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dta事實(shí)上，利用定積分思想，弧長公式的推導(dǎo)過程大致如下s=lim￡Ax2+Ay2+Az2人T0ii1=lim"0fAs=lim￡Ax2+Ay2+Az2人T0ii1=lim"0fAyV3Ji+［乏J2At"AtJii利用這一弧長公式可以得到第一類曲線積分的計(jì)算公式。定理1、設(shè)f(x,y,z)在l上連續(xù)，則jf(x,y,z)ds存在且ljf(x,y,z)ds=jPf(x(t),y(t),z(t))Jx'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dt。證明：對(duì)l做任意分割T：A=A0<q<???<A=B對(duì)應(yīng)于［a,P］形成一個(gè)分割T:a=t<t<…<t=P記d=max{*.}=max{t.-1},則由定義，jf3,y,z)ds=lim￡f(x,y,z)Asi很1111=lim￡f(x(^),y(&),z(&))As其中&e[t,t]，使得x=x(&),y=y(&),z=z(&)。jj-1jjjjjjj利用弧長公式和中值定理，則As-jtj^x'2(t)+y，2(t)+z，2(t)dtjx'2(門)+y'2(門)+zr2(n)At,ne[t,t]。jjjjjj-1j故，lim￡f(x.,y.,z,)As=lim￡f(x(&),y(&),z氣))p'2(n^)+y'2(n^)+z'2(n^)A.dT0=lim{￡f(x(&),y(&),z(&))-d頊Jx'2化j)+y'2化j)+z'2化j)Atj+￡"Atj}其中：",=f(x(,),y(&,),z(&j))-[Jx，2(Q)+yy2仁j)+z'2")-<x'2(&)+yr2(&)+zr2(&)]。由三角不等式，Nx'2(n)+y'2(n)+z'2(n)-<x'2(&)+y'2(&)+z'2(&)]hiiiiii<*(xIn)—xl&))2+(y(Q)—yl&))2+(zlQ)—zl&))2由于xIt),y'(t),z'(t)eC［以,p］，因而一致連續(xù)，故，對(duì)Ve>0,38>0,當(dāng)d<5時(shí)，lx0.)-x'(&.)<—，ii3又，f(x(t),y(t),z(t))GC［以,p］，因而有界M,故:￡wAt<M￡IP—a|。II因而，由定積分定義，lim￡f(x.,y.,z.)As.=lim￡f(x(&),y(&),z(&)).(x'2(&)+y'2(&)+z'2(&)AtdT0=jpf(x(t),y(t),z(t))\.x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dta故，jf(x,y,z)ds=jpf(x(t),y(t),z(t))(x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dt。對(duì)對(duì)一般的曲線方程，都可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，因此，定理1解決了第一類曲線積分的計(jì)算問題。下面給出幾個(gè)特例。注：特例：1、對(duì)平面曲線l:y=中(x),a<x<b，則jf(x,y)d書jbf(x,甲(x))J1+甲'2(x)dx；2、對(duì)平面曲線l:r=r(0)寫<0<02，貝Ujf(x,y)d=s』％f(r(0)coQ,r(0)si前)J"(0)+r'2(0)d0l0i從計(jì)算公式知，第一類曲線積分的計(jì)算，關(guān)鍵是給出曲線的參數(shù)方程。例1：I=j|y|dx，l:x2+y2=1,x>0l解：采用極坐標(biāo)形式，則,(x=cos0兀兀l次八,一一<0<一，Iy=sin022

故，I=j2|sinOdO=2j2sin0d0=2。迪02例2：I=j(x+y)dx,其中i由折線段OA、AB、BO組成且i0(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用積分可加性，則I={j+j+j}(x+y)dsOaAbBo其中各段方程如下：OA:y=0，0<x<1；(可視為以x為參數(shù))AB:x=1,0<y<1,(以y為參數(shù))BO：y=x,0<x<1,(以x為參數(shù))故,I=j1(x+0)dx+j1(1+y)dx+j1(x+x)?、.：2dx=2+*2。000注意各種技巧的運(yùn)用，如對(duì)等性對(duì)稱性等。例3：I=jx2dx,l:例3：I=jx2dx,l:<i。x+y+z=0解：由于曲線i關(guān)于x,y,z對(duì)等，貝U，jx2ds=jy2ds=jz2ds。iii因而，3I=j(x2+y2+z2)ds=a2jds=2兀a3。i1例4：I=j(xsiny+y3ex)ds,1:x2+y2=1，(閉曲線上的積分)i故，解、事實(shí)上，由于l關(guān)于x軸對(duì)稱，且f=xsiny+y3ex是y的奇函數(shù)，j(siny+y3ex1/s=0。故，解、事實(shí)上，ii分為：11:七=打三m1<x<1；，故:1:y=—v1—x2,—1<x<1;(xsiny+y3ex)dsI=j(尤sin(xsiny+y3ex)dsi1i2(xsiny+y3ex)(1+y^2(x)dx=j1(xsiny+y(xsiny+y3ex)(1+y^2(x)dx§2第一類曲面積分一、定義背景：在計(jì)算曲面上質(zhì)量分布時(shí)，我們?cè)鴮?dǎo)出質(zhì)量分布的計(jì)算公式為有限和的極lim￡f(x,y,z)AS，在其它應(yīng)用領(lǐng)域，也經(jīng)常遇到這類有限和X^0iiii的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上建立相應(yīng)的理論，這就是第一類曲面積分。給定有界光滑曲面￡，f(x,y,z)定義在￡上，給定曲面￡的一個(gè)分割T：%,...,￡疽對(duì)應(yīng)的每一個(gè)分割子塊的面積記為A*,.,A七，分割細(xì)度仍記為人=|們|。定義1、若存在實(shí)數(shù)/，使對(duì)任意分割T及任意選取的點(diǎn)(x,y,z)e￡，都有iiiilim￡f(x,y,z)AS=I膈iiii稱I為f(x,y,z)在￡上的第一類曲面積分，記為I=jjf(x,y,z)dS￡其中f(x,y,z)為被積函數(shù)，￡稱為積分曲面。注、類似的積分性質(zhì)(略)；注、幾何意義為，f三1時(shí)，jjf(x,y,z)dS=S￡。二、計(jì)算從第一類曲線積分的公式推導(dǎo)可知，第一類曲面積分公式的建立，關(guān)健仍然是微小曲面￡?的面積AS/勺計(jì)算。因此，我們首先處理ASi，給出其計(jì)算公式；處理的思想為定積分中的近似方法一一微元法。我們知道，￡?是分割后的小曲面塊，當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，曲面塊可近似為平面塊，故，我們從分析平面塊面積的計(jì)算入手。那么，如何計(jì)算平面塊的面積？我們僅知道：當(dāng)平面塊落在坐標(biāo)平面內(nèi)時(shí)，可以利用二重積分計(jì)算其面積，此時(shí)，問題解決。而當(dāng)平面塊不落在坐標(biāo)平面時(shí)，我們利用投影技術(shù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)平面塊面積的計(jì)算。這就是我們處理第一類曲面積分的思想。1、曲面面積的計(jì)算：給定有界曲面￡:z=f3,y),3,y)gD，設(shè)￡是光滑的，即f3,y)gCID)，求￡的面積。情形1、特殊情形設(shè)￡落在平面兀中，又設(shè)兀與坐標(biāo)面xoy面的夾角為a(銳角)，￡在功y面的投影區(qū)域?yàn)镈，相應(yīng)的面積分別記為S￡,SD,貝Ucosa=—D，故S—SD。S￡cosa￡S當(dāng)選取相對(duì)應(yīng)的鈍角為夾角時(shí)，有S—―^。￡cosa情形2、一般情形￡為一般光滑曲面：z—f(x,y),(x,y)gD，顯然：D正是￡在?wy面的投影區(qū)域。為了利用情形1處理，我們利用分割、近似計(jì)算的思想。對(duì)曲面進(jìn)行分割T：￡「...,￡疽分割細(xì)度為人=|丁|;對(duì)應(yīng)于分割「形成D的一個(gè)分割：T':?,...,Dn，分割細(xì)度記為d=llTII。當(dāng)T很細(xì)時(shí)，我們希望用某種平面塊代替曲面塊￡,。在曲面￡.上，選擇一個(gè)什么樣的平面塊來近似代替曲面塊？我們選擇相

關(guān)的切平面塊。任取M(x,J,z)eZ，由于￡是光滑的，故任一iiiii點(diǎn)都有切平面，過M,作平面兀j,在氣上取出一小平面塊b,，使b,與Z具有相同的投影D，當(dāng)T很細(xì)時(shí)，％w七。ii下面計(jì)算七。由情形1，只計(jì)算氣與坐標(biāo)面wy的夾角a?的i余弦。這使我們聯(lián)想到切平面法線的方向余弦，記Yi為氣的法線方向與［軸正向的夾角，則|cosy.|=cosa.。由解析幾何理論知道，若平面方程為z=f(x,y),(x,y)eD，則在Mi(x,y,z)點(diǎn)的法線方向?yàn)椤?f(p),f(p),-1)，其中iiixi則在Mip(X,y)，z=f(x,y)?！龉蔵iiiiilcosYJJ'\.:1+f2(p)+f2(p)1-xiyi又，cos又，cosaiS-Dr，因而，biSDi<1+f2(P)+f2(P)xiyiSbi故，S="+f2(P)+<1+f2(P)+f2(P)xiyi.=s￡sii因而，S=￡S￡=lim+f2(p)+f2(p)S=jj1+f2(x,y)+f2(x,y)dSdT0xiyiDiD.=s￡sii=jjJl+f；(x,y)+fy2(x,y)dxdy這就是曲面面積計(jì)算公式。注、當(dāng)￡落在wy面的平面區(qū)域時(shí)，此時(shí)：￡=D:Z=0，故，S=S=jjdxdy，這與二重積分的幾何意義是一致的。注、從上述推導(dǎo)過程可知，還成立下述另一個(gè)計(jì)算公式:_jjdxdy_jjdxdyD|cosD|cos(^,z)|其中n為曲面上任意點(diǎn)的切平面的法線方向。X=x(u,v)注：若￡由參數(shù)方程給出￡:<y=y(u,v),(u,v)gD^，為計(jì)算z=z(u,v)此時(shí)的面積，將其轉(zhuǎn)化為已知的情形，為此，設(shè)由］x=x(u,v)能Iy=y(u,v)確定隱函數(shù)\uUX"y),(x,y)gD，則Iv=v(x,y)此時(shí)的面積，將其轉(zhuǎn)化為已知的情形，為此，￡:z=z(u(x,y),v(x,y)),(x,y)gD。利用隱函數(shù)的求導(dǎo)，TOC\o"1-5"\h\zdudvdudvz=［篇+,z=Lk+z—

xudxvdxyudyvdyyzzxxyuu,B=uu,C=uuyzzxxy因而：若記A=，則vvvvvvTOC\o"1-5"\h\z1dyd^_1dy_,;CdvdxCdu1dxd^_1dx'—■=CdvdyCdu故，z=*,z=B。因而XCyCS=jj.,,'1+z2+z2dxdy￡DxyX=jjjl+C-+三C\dudv=f^,A2+B2+C2dudvD

uv又，若記E=x2+y2+z2,G=x2+y2+z2,F=xx+yy+zz，uuuvvvuvuvuv還有s￡=ILeg-F2dudv。uv例1：求球面x2+y2+z2=a2含在柱面x2+y2=ax(a>0)內(nèi)部的面積S。解：由對(duì)稱性，只計(jì)算其在第一卦限中的部分，此時(shí)，曲面￡:z=^a2-(x2+y2),(x,y)eD，其中D：x2+y2<ax,x>0,y>0。由于生=一三，生=-y，故，dxzdyzS=4jj{1+z2+z2dxdya="a2-(x2+y2)dxdy=4』；dofaco6sa-rd=4a2(--1)。00\a2—r222、第一類曲面積分的計(jì)算利用曲面面積的計(jì)算公式，很容易計(jì)算第一類曲面積分。定理1、設(shè)4(x,y,z)為定義在光滑曲面S:z=f(x,y)，

3,y)ID上的函數(shù)，則JJNx,y,z)dS=JJ?(x,y,f(x,y))(1+f2+f2dxdy。TOC\o"1-5"\h\z事實(shí)上，由定義，DJJ?(x,y,z)dS=limZ?(x,y,z)AS￡Me'I，1=lim且f(x,y,z(x,y))(1+f2(p)+f2(p)DDiii/Vxiyiil?0/=JJn(x,y,f(x,y))(1+fx2+fy2dxdy。其中Pj(x,,h)ID。x=x(u,v)定理2、設(shè)光滑曲面￡:<y=y(u,v),(u,v)gD，則，z=z(u,v)JJ@(x,y,z)dS=JJ偵x(u,v),y(u,v),z(",v))《EG—F2dxdy?！闐通過上述定理可知，計(jì)算第一類曲面積分需要知道曲面方程和曲面的投影區(qū)域，在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。例2:I=JJ(x2+y2)dS，￡:是xoy平面上方的拋物面￡解：￡在xoy平面上的投影是：D:x2+y2<2,故，I=JJ(x2+y2)\.1+4(x2+y2)dxdyD=4J2兀dof2r211+4r2rdr=^^■兀.30x2+y2+z2=a2，z>0。例3：x2+y2+z2=a2，z>0。解：￡在xoy平面上的投影是:D:x2+y2<a2，故，I=JJ(x+y+z)寸1+z2+z2dxdy=jj(x+j+、.a2—%2—j2)adxdy

d，'a2—x2—y2注：注意到積分區(qū)域的對(duì)稱性和奇偶性:jjxds=jjyds=0。zz例4、計(jì)算下列曲面面積。1、z=axy(x>0,y>0)包含在圓柱x2+y2=a2內(nèi)的部分a；s；解、1、域?yàn)?、錐面x2+y2=3z2與平面x+y+z=2a(a>0)所界部分的表面由于曲面z=axy(x>0,y>0)在xoy平面內(nèi)的投影區(qū)TOC\o"1-5"\h\zD:x2+y2a2，x吵0,s；解、1、域?yàn)镾=蝌1dS=蝌J由公式1+z2S=蝌1dS=蝌JDxy=蝌2dqaq'1+ar2rdr=[(1+a4)2-1]06a22、所界的表面分為兩部分：落在錐面上的部分記為a1，落在平面上的部分記為a2,這兩部分在xoy平面有共同的投影，記I=1為D，它是由交線l:|x2+y2=3Z2的投影所圍的區(qū)域，即區(qū)域D1x+y+z=2a1由曲線x2+y2=3(2a-(x+y))2所圍。對(duì)a，由其方程可以計(jì)算z=—,z=―^，故1xzyz1：'1+Z2+Z2=2；對(duì)a2則z=z=-1,故Jl+Z2+z=J3，故由公式S=蝌1dS+蝌1dS=蝌(2+志)dxdyTOC\o"1-5"\h\z邋12D為計(jì)算上述二重積分，須對(duì)區(qū)域D的邊界曲線進(jìn)行化簡(jiǎn)，為此作變換u=x+y,v=x-y，貝UD變?yōu)閰^(qū)域D0:u)2,即1_1_2(u2+v2)?—(2a(u-4au)2,即D0:+——1。24a28a2故S=(2+,廠3蝌1dudv=2+v3S=4、有(@、廠pa。d022d0注、上述計(jì)算過程的難點(diǎn)在于將二次曲線標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化為橢圓曲線，因此，相應(yīng)的面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為橢圓面積的計(jì)算。§3第二類曲線積分一：背景變力做功問題：變力F作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使質(zhì)點(diǎn)沿曲線l從A點(diǎn)移至B點(diǎn)，求F所做的功。設(shè)變力為F={尸3,j,z),Q(x,j,z),R(x,y,z)}，沿曲線l從A點(diǎn)至B點(diǎn)進(jìn)行分割T：A=A0<q<???<A=B，這里，”<"表示順序。記A(x,y,z),Ax=x-x,Ay=y-y,Az=z-z，iiiiiii-1iii-1iii-1Axi,Ayi,Az,可正可負(fù)，利用微元法，切在微元上將其近似為常力做功，則，變量做功為可以表示為下述有限和的極限w=lim￡［尸(&E,G)Ax+Q(&,n,G)Ay+R(&,n,G)Az］，入>0iiiiiiiiiiii更多的應(yīng)用問題都可以表示為這類有限和的極限，數(shù)學(xué)上，這類有限和的極限就是第二類曲線積分。二：定義給定光滑曲線段l::Ab(始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B)，f(x,y,z)為定義在l上的有界函數(shù)，將l沿從l始點(diǎn)A至終點(diǎn)B的方向分割：記人=max{AA},Ax=i-1iT記人=max{AA},Ax=i-1ii定義1、若存在實(shí)數(shù)I，使對(duì)任意T及任意(Em,G)eAA，iiii-1i使w￡f(E,n,Gj)￥=i，稱I為f(x,y,z)沿曲線l從a點(diǎn)至b點(diǎn)的對(duì)變量x第二類曲線積分，記為jf(x,y,z)dx或者ljf(x,yzdx。Ab注、從定義可知：第二類曲線積分與/的方向有關(guān)。事實(shí)上，利用定義，易證：jf(x,y,z)dx=-jf(x,y,z)dx。AbBa注、幾何意義：f三1時(shí)，jf(x,y,z)dx=PrjAB。Abx注、類似可定義：jf(x,y,z)dy，jf(x,y,z)dz。AbAb注、上述三個(gè)第二類曲線積分通常同時(shí)出現(xiàn)，合寫為：jPdx+Qdy+Rdz。Ab注、當(dāng)I=aB為平面曲線時(shí)，可定義第二類曲線積分jP(x,y)dx+Q(x,y)dy。aB注、當(dāng)l是平面上的封閉曲線時(shí)，l上的任一點(diǎn)可視為始點(diǎn)，同時(shí)也是終點(diǎn)，規(guī)定l的方向?yàn)椋貉豯行走時(shí)，l所圍的區(qū)域總在左側(cè)-----即常說的逆時(shí)針方向。三：第二類曲線積分的計(jì)算。'x=x(t)給定曲線l*y=y(t),^<t<P，設(shè)z=z(t)l是光滑的：(x(t),y(t),z(t))GC［以,P］；不自交：t和曲線上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)；A(x(以),y(以),z(以)),B(x(P),y(P),z(P))，且當(dāng)t由a單調(diào)遞增到P時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)沿l從A移至B。又設(shè)P(x,y,z)連續(xù)。定理1、在上述條件下成立jP(x,y,z)dx=jPP(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt。l=ABa證明：對(duì)任意的沿l從A移至B方向的分割T:A=A<A<???<A=B,其中，"<”表小順序。仍記A(x,j,乙),Ax=x-x，則由點(diǎn)與參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系:iiiiiii-1TOC\o"1-5"\h\zVA,丑e[a,p]，使x=x(t),j=j(t),z=z(t)，即t—A，因iiiiiiiiii而得分割此處"<"表示大小。同樣，對(duì)任意(&,門，g)eAA，士e[t,t]，使iiii-1iii-1i&.=x(T.)m.=J(T.),g.=z任.)。故EP(&,n,g)Ax=Ep(x(t),j(T),z(t))(x(t)-x(t))iiiiiiiii-1=EP(x(T.),J(T.),z(T.))xr(T.)At.,記x=|^|i，d=tII，則limX^0=limEP(x(T),J(T),z(T))x'(T‘)AtlimX^0iiiiidT0=jpP(x(t),j(t),z(t))x'(t)dt。a注、上述公式仍是代入法，但注意對(duì)應(yīng)成立：l的始點(diǎn)AI對(duì)應(yīng)參數(shù)t=aI定積分下限；l的終點(diǎn)BI對(duì)應(yīng)參數(shù)t=pI定積分上限。注、其它情形類似；注、對(duì)自交的曲線可分段處理；注、從公式可看出：第二類線積分的計(jì)算關(guān)鍵在于確定曲線l的方向、參數(shù)方程，并注意對(duì)應(yīng)關(guān)系(包含曲線上點(diǎn)與參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，參數(shù)與積分限的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。注、相應(yīng)的積分性質(zhì)仍成立。例1、j(x2+J2)dx+(x2-J2)dJ(1)l為折線J=1—|1一x|，方向由O(0,0)到P(1,1)，再由P(1,1)到B(2,0).如圖：例1、(2)l沿x軸O到B：l=OB。解：(1)分段考慮：記l=OP:y=x,0<x<1,(以x為參數(shù))l=PBy=2-x1<x<o2故，I=f(x2+y2)dx+(x2-y2)dy+J(x2+y2)dx+(x2-y2)dyTOC\o"1-5"\h\zl1l2=f1(x2+x2)dx+f1(x2-x2)dx+f2(x2+(2-x)2)dx+f2(x2-(2-x)2)(-1)dx0011=2『x2dx+f2(2-x)2dx=—013(2)L=OB:y=0,0<x<2,故：I=j2(x2+0)dx+0=3。例2：I=f(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，l=A__CDA:閉曲線如圖l解：分段處理。記l1=~AB:x=1,-1<y<1；l2=BC:y=1,x從1變到-1；l3=CD:x=-1,y從1變到-1；=DA:y=-1,-1<x<1。故，I=f(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy=f1(y2-2y)dy=3；I=J-1(x2-2x)dx=-—213I3=f-1(y2+2y)dy=-3I=f1(x2+2x)dx=2,4-13,I=I+1+1+1=0。1234例3、I頊(x旦d-(x-yd,I為圓周曲線x2+*=a2。ix2+y2解：如圖取A(a,0)為始點(diǎn)，則A同時(shí)也為終點(diǎn)，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，與此對(duì)應(yīng)，曲線的參數(shù)方程為l:;*=aC°*,0<0<2兀，[y=asin0故，I=f2"_L[-a(cos0+sin0)asin0一a(cos0一sin0)acos0]d00a2=f2”[-co0si0-sin0-co2s0+si0co0]d0=一2兀。0例4、I=f(y2一z2)dx+(z2一x2)dy+(x2一y2)dz，其中l(wèi)為ix2+y2+z2=1在第一卦限中的邊界，其方向?yàn)槿鐖D的順時(shí)鐘方向，即從A(0,0,1)到B(0,1,0)再到C(1,0,0)。解、記i1=Ab為曲線上從A到B的這一段，按給定的方向和始點(diǎn)和終點(diǎn)的位置，參數(shù)方程為i=Ab:1到0，故I=f(y2—z2)dx+(z2一x2)dy+(x2一y2)dz=0+f0sin20(-sin0)d0+f0(0-cos20)cos0d0TOC\o"1-5"\h\z五五.22「"4=f2(sin30+cos30)d0=—。03利用輪換對(duì)稱性I=3/1=4。注、討論空間曲線與其投影曲線上第二類曲線積分的聯(lián)系。設(shè)空間曲線l落在曲面S:z=z3,y),l為其在xoy平面上的投影曲線，則jP(x，-yzdx+Qx(yzd,y=jPxy(zxy,dx十Q)Xyzx(y,dy,(ll'(可由一般參數(shù)方程形式下轉(zhuǎn)化為定積分形式來證明。)四、二類曲線積分間的聯(lián)系給定曲線段l=Ab和定義在l上的函數(shù)P(x,y,z)，則有如下兩類曲線積分：第一類曲線積分jP(x,y,z)ds；l第二類曲線積分如jP(x,y,z)dx。l首先指出的是：兩類曲線積分是在l上定義的兩類不同的積分，二者有明顯的區(qū)別，這些區(qū)別從定義和計(jì)算公式中都可以反映出來；但如上所示的兩類曲線積分又是同一函數(shù)在同一曲線上的積分，應(yīng)該有聯(lián)系；下面，我們來尋找二者的聯(lián)系。對(duì)二者作簡(jiǎn)單分析：從計(jì)算公式可知，二者都可以轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，由此，確定解決問題的一個(gè)思路：二者能否轉(zhuǎn)化為同一種形式的定積分，由此建立其聯(lián)系。進(jìn)一步分析計(jì)算公式可知，二者都將轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的定積分，能否轉(zhuǎn)化為同一個(gè)參數(shù)的定積分？因此，必須選擇一個(gè)合適的參數(shù)將二者聯(lián)系起來，這個(gè)合適的參數(shù)就是弧長。設(shè)l=Ab，對(duì)VMGl點(diǎn)，取弧長S=iAmi為參數(shù)，則參數(shù)方程可寫為：x=x(s),y=y(s),z=z(s),(0<s<l)(l還表示曲線l的長度)。顯然，當(dāng)s從0單增至l時(shí)，M從始點(diǎn)A沿l移至B，取曲線上每一點(diǎn)的切線方向與曲線l=Ab的方向一致，并以

(t,x),(t,y),(t,Z)表示選定的切線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角，則Ax/、x(s)-lim——=cos(t,x),

Asr0Asy'(s)=cos(t,y),z'(s)=cos(t,z)故，jP(x,y,Z)dx=j1Ab0P(x(s),y(s),ZjP(x,y,Z)dx=j1Ab0P(x(s),y(s),Z(s))x'(s)dsjf(x,y,z)ds=jpf(x(t),y(t),z(t))(x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dtla則，jP(x,y,z)cos(t,x)ds=jlP(x(s),y(s),z(s))cos(t,x)x：'x'2(s)+y'2(s)+z'2(s)dsi0=j；P(x(s)，貝s),Z(s))cos(t,x)\‘，cos2(',x)+cos2(',y)+cos2(',Z沖=jlP(x(s),y(s),z(s))cos(t,x)ds0故，jP(x,y,Z)dx=jP(x,y,z)cos(t,x)ds；TOC\o"1-5"\h\zAbi類似，jQ(x,y,z)dy=jQ(x,y,z)cos(t,y)ds；AbijR(x,y,z)dz=jR(x,y,z)cos(t,z)ds。Abi因而也有jPdx+Qdy+Rdz=j[Pcos(t,x)+Qcos(t,y)+Rcos(t,z)]ds。ii這就是兩類曲線積分關(guān)系式?！?第二類曲面積分一、曲面的側(cè)曲面是日常生活中常見的幾何圖形，就我們對(duì)曲面的直接的認(rèn)識(shí)看，曲面應(yīng)有兩個(gè)側(cè)面，常說的正面和背面，這類曲面為雙側(cè)曲面。如一張白紙就是一個(gè)簡(jiǎn)單的雙側(cè)平面，這種曲面具有這樣的性質(zhì)：假設(shè)小蟲子在曲面上沿閉路爬行，不經(jīng)過邊界，回到原位仍在同一側(cè)。但是，確實(shí)存在只有一個(gè)側(cè)的曲面一一單側(cè)曲面，如Mobius帶，它具有這樣的性質(zhì)：從曲面上任一點(diǎn)不經(jīng)過邊界可達(dá)到曲面上任一點(diǎn)；或者曲面上任意兩點(diǎn)都可以用不經(jīng)過邊界的曲線連接。我們本節(jié)要介紹的積分，就與曲面的側(cè)有關(guān)。那么，如何從數(shù)學(xué)上給出這些曲面嚴(yán)格的定義？設(shè)￡是非閉的光滑曲面，因而每一點(diǎn)都有切平面和有兩個(gè)相反的法線方向，動(dòng)點(diǎn)M從定點(diǎn)M0出發(fā)，沿￡上一個(gè)不過￡的邊界的閉路r從M0出發(fā)再回到M。點(diǎn)，取定M0的一個(gè)法線方向?yàn)槌霭l(fā)時(shí)的方向，當(dāng)M從M0點(diǎn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，法線方向也是連續(xù)變化。定義1、若動(dòng)點(diǎn)M沿任意的閉路r從M0出發(fā)又回到M0時(shí)，指定的法線方向不變，則稱￡為雙側(cè)曲面；若存在一個(gè)閉路r，使得動(dòng)點(diǎn)M沿r從M0出發(fā)又回到M0時(shí)，指定的法線方向與原指定的法線方向相反，稱￡為單側(cè)曲面。注、常見的都是雙側(cè)曲面，因而，今后我們只討論雙側(cè)曲面。既然是雙側(cè)曲面，其必有兩個(gè)側(cè)，因而須指明曲面的側(cè)，用于表明曲面的方向。二：雙側(cè)曲面的方向這里，我們給出雙側(cè)曲面的兩個(gè)側(cè)的描述，用于規(guī)定側(cè)的方向。設(shè)￡是雙側(cè)曲面，任取M0e￡，選定M0的切平面法線的其中的一個(gè)方向，則￡上其它任何一點(diǎn)的法向也確定：當(dāng)M0不越過邊界移至此點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的法向，由此就確定了曲面的一個(gè)側(cè)，改變選定的法向，即得另一側(cè)。側(cè)的定量描述：給定光滑曲面￡:z=z(x,y)，z(x,y)具連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因而￡上任一點(diǎn)(x,y,z)都存在切平面，點(diǎn)(x,y,z)處的法線的方向余弦為TOC\o"1-5"\h\zcos以=土，七x,cosP=±,^y,■1+z2+z2(1+z2+z2xyxy…,1cosy=±,=，V1+z2+z2其中+,-對(duì)應(yīng)于兩個(gè)相反的法向。因而，選定一個(gè)符號(hào)，確定一個(gè)對(duì)應(yīng)的法向，進(jìn)而確定曲面的一個(gè)側(cè)。各種側(cè)的規(guī)定：下面對(duì)經(jīng)常遇到的幾種側(cè)預(yù)以約定：相對(duì)于z軸方向：cosy>0,(n,z)=y為銳角，對(duì)應(yīng)的側(cè)為上側(cè)；coy<0,(n,z)=y為鈍角，對(duì)應(yīng)的側(cè)為下側(cè)。注、cosy=0時(shí)，z軸落在曲面內(nèi)，相對(duì)z軸沒有側(cè)，但可有如下的約定：相對(duì)于y軸方向：cos。>0,(凡y)=p為銳角，稱對(duì)應(yīng)的側(cè)為右側(cè);co§<0,(n,y)=p為鈍角，對(duì)應(yīng)的側(cè)為左側(cè)。相對(duì)于x軸方向：cos以>0,(n,x)=a為銳角，稱對(duì)應(yīng)的側(cè)為前側(cè);co&<0,(和,x)=a為鈍角，稱對(duì)應(yīng)的側(cè)為后側(cè)。注、￡有時(shí)即可看成具上、下側(cè)的曲面，又可視為具右左式或前后側(cè)的曲面；(可根據(jù)觀察者的視角和要求來規(guī)定)我們規(guī)定封閉曲面的側(cè)：向著所圍立體的一側(cè)為內(nèi)側(cè)；背著所圍立體的一側(cè)為外側(cè)。注、為討論上的簡(jiǎn)便，我們引入無重點(diǎn)曲面。'x=x(u,v)設(shè)￡:<y=y(u,v),(u,v)gD，若D中點(diǎn)(u,v)和￡上的點(diǎn)、z=z(u,v)(x,y,z)是一一對(duì)應(yīng)的，即一對(duì)參數(shù)(u,v)只能確定唯一的點(diǎn)，稱￡為無重點(diǎn)曲面。注、存在有重點(diǎn)曲面如閉球面。對(duì)有重點(diǎn)曲面可通過分割化為無重點(diǎn)曲面，因而今后涉及的非封閉曲面都視為無重點(diǎn)曲面。三、第二類曲面積分的定義1背景不可壓縮流體的流量問題。設(shè)不可壓縮流體(密度為1)的流速為寧={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)通過定向曲面￡的流量。、特殊情形假設(shè)流速為常數(shù)v={P,Q,R}，流經(jīng)的曲面為平面￡，其正向?qū)?yīng)的流向?yàn)槌?shù)向量n(即平面￡的法線方向)，平面的面積為S，則流量為v?n?S。、一般情形我們利用微元法將其轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理，即通過對(duì)曲面的分割，將其分割成n個(gè)小曲面塊，在每一個(gè)小曲面塊(微元)上，將其近似視為情形1，即小曲面塊近似為平面，曲面塊上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的流速和法向視為整個(gè)小曲面塊近似平面上的常數(shù)流速和法向，通過求和，取極限，將流量計(jì)算轉(zhuǎn)化為下述和式的極限:lim^v(M)-n(M)?AS^>°i=1=limE[P(M)cosa+Q(M)cosP+R(M)cosy]ASTOC\o"1-5"\h\z入>0iiiiiiii=1=lim{8p(M)cosaAS+^Eg(M)cosPAS+8r(M)cosyAS}入>0iiiiiiiiii=1i=1i=1=lim8p(M)cosaAS+lim^Eg(M)cosPAS+lim￡r(M)cosyAS入項(xiàng)―入項(xiàng)入項(xiàng)―''i=1i=1i=1而(cosa.,cosp.,cosy.)為曲面塊上選定點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的法向，利用面積計(jì)算公式，|cosy,AS,|正是第i個(gè)小曲面塊￡.在功y面上投影區(qū)域的面積，類似，cosaAS|、|cosPAS是￡在yoz、xoz面上投iiiii影區(qū)域的面積。上述微元法解決流量問題的過程中產(chǎn)生的有限和的極限，很自然地產(chǎn)生某種積分，顯然，這種積分就是本節(jié)將要介紹的第二類曲面積分。當(dāng)然，第二類曲面積分的背景不僅是流量的計(jì)算問題，工程技術(shù)中，很多問題的解決都會(huì)產(chǎn)生上述有限和的極限，因此，第二類曲面積分具有廣泛的應(yīng)用背景。在上述有限和的最后3個(gè)形式中，采用不同的形式，會(huì)從不同的角度引入不同形式的第二類曲面積分。我們將從第三個(gè)形式出發(fā)引入第二類曲面積分，為此先引入?yún)^(qū)域的有向投影及其相關(guān)概念。2、雙側(cè)曲面的有側(cè)(向)投影和有側(cè)面積情形1、￡為具有上、下側(cè)的雙側(cè)曲面定義2、設(shè)D是xoy平面內(nèi)具有上、下側(cè)的雙側(cè)平面區(qū)域，如果實(shí)數(shù)E滿足：5=<SD，耳又D為上們時(shí)，其中S為區(qū)域。的面積，稱5為雙側(cè)-S，取D為下側(cè)時(shí)D平面區(qū)域D的有側(cè)（向）面積。設(shè)￡是具上、下側(cè)的雙側(cè)曲面，D是￡在功y平面內(nèi)的投影區(qū)域，則D是具上、下側(cè)的雙側(cè)平面區(qū)域。定義3、稱雙側(cè)平面區(qū)域D為雙側(cè)曲面￡在功y平面內(nèi)的有側(cè)（向）投影（區(qū)域）。其中，D的上側(cè)對(duì)應(yīng)于￡的上側(cè)，下側(cè)亦對(duì)應(yīng)。注、當(dāng)D為雙側(cè)曲面的有側(cè)投影時(shí)，就可定義D的有側(cè)面積。注、有側(cè)面積是相對(duì)幾何量，可正也可以負(fù)。情形2、￡為具有左、右側(cè)的兩側(cè)曲面時(shí)，可類似定義其在xoz平面內(nèi)的有側(cè)投影區(qū)域及相應(yīng)的有側(cè)面積。情形3、￡為具有前后兩側(cè)的曲面時(shí)，亦然。3、第二類曲面積分的定義我們將從不同角度引入雙側(cè)曲面的各種第二類曲面積分的定義。設(shè)￡是非閉的具有上、下側(cè)的光滑曲面，作￡的分割T:￡1,￡2,,￡，則對(duì)應(yīng)于xoy平面內(nèi)的有側(cè)投影區(qū)域。，形成對(duì)應(yīng)的分割T:D1,D,...,D〃，設(shè)P（x,y,z）定義在￡上，仍記人=T。定義4、若存在實(shí)數(shù)I，使對(duì)任意分割T及任意點(diǎn)（&j叫,匚j）e￡j，都成立：limWP（§，氣,；i）*=IA^°j=11其中七為有側(cè)投影區(qū)域D的有側(cè)面積，稱I為P（x,y,z）在￡上沿I取定一側(cè)的關(guān)于x,y的第二類曲面積分，記為jjP（x,y,z）dxdy?！曜?、由定義知：第二類曲面積分和曲面的側(cè)有關(guān)，因此，提到第二類曲面積分時(shí)，必須指明曲面的側(cè)。注、取定的側(cè)在定義中的作用是用來確定有側(cè)投影區(qū)域的有側(cè)面積。事實(shí)上，由定義，當(dāng)取定￡的上側(cè)時(shí)，由于UD=SD,此時(shí)’'jjP(x,y,z)dxdy=lim/P(&.,門.,匚.)SD；Z?Q.=i1當(dāng)取定￡的下側(cè)時(shí)，由于S=-S，故DDjjP(x,y,z)dxdy=-lim￡P(guān)(g,門，匚)S。￡X^0...D因而，若用-￡表示指定一側(cè)的雙側(cè)曲面的另一側(cè)，則jjP(x,y,z)dxdy=-jjP(x,y,z)dxdy。注、類似可以定義下述兩類曲面積分:對(duì)具有前、后兩側(cè)的光滑曲面￡，可以定義Q(x,y,z)在曲面￡上沿給定一側(cè)的關(guān)于y、z的第二類曲面積分jjQ(x,y,z)dydz。￡對(duì)具有左、右兩側(cè)的光滑曲面￡，可以定義R(x,y,z)在曲面￡上沿給定一側(cè)的關(guān)于z、x的第二類曲面積分jjR(x,y,z)dzdx。￡注、特別注意三個(gè)第二類曲面積分的積分變量的順序dxdy,dydz,dzdx，這是習(xí)慣寫法。注、一般地：對(duì)曲面￡，從z軸方向看去，它有上、下兩側(cè)，從y軸方向看有右、左兩側(cè)，從x軸方向看，有前后兩側(cè)。因而，在同一個(gè)曲面￡上，可同時(shí)定義三種第二類曲面積分，簡(jiǎn)記為：jjPdxdy+Qdydz+Rdzdx，其中，積分沿￡給定的￡一側(cè)。此時(shí)，對(duì)￡給定的一側(cè)：(通常并不以上下、左右、前后側(cè)指明)當(dāng)從z軸方向看時(shí)，它或?yàn)樯蟼?cè)、或?yàn)橄聜?cè)，故可計(jì)算jjP(x,y,z)dxdy，而當(dāng)從y軸方向看時(shí)，它或?yàn)橛覀?cè)、或?yàn)樽髠?cè)，故可計(jì)算jjR(x,y,z)dzdx，而當(dāng)從x軸方向看時(shí)，它或?yàn)榍皞?cè)、￡或?yàn)楹髠?cè)，因而可計(jì)算jjQ(x,y,z)dydz。

注、背景中的流量問題正是流速在曲面上關(guān)于流向的第二類曲面積分。注、特殊情形1、若￡平行于z軸，即￡是母線平行于z軸的柱面，則￡在時(shí)平面的投影為一條曲線，此時(shí)g=0,故jjP(x,y,z)ddy=0；2、若￡是母線平行于x軸的柱面，則jjQ(x,y,zz)dydz=0；3、若￡是母線平行于y軸的柱面，則jjR(x,y,z)dzdx。￡四、第二類曲面積分的計(jì)算。首先計(jì)算jjP(x,y,z)dxdy，沿￡取定的一側(cè)?！甏藭r(shí)，設(shè)定￡為具有上、下兩側(cè)的雙側(cè)曲面，因而可表示為￡:z=z(x,y),(x,y)gD顯然：D是￡在xoy平面內(nèi)的投影區(qū)域，又設(shè)P(x,y,z)為￡上的連續(xù)函數(shù)。由定義，當(dāng)￡取上側(cè)時(shí)，則D=iim￡p&,門，z&m))sniiiiD：dT0I=jjD=iim￡p&,門，z&m))sniiiiD：dT0I=jjP(x,y,z(x,y))dxdy，D當(dāng)￡取下側(cè)時(shí)jjP(x,y,z)dxdy=-jjP(x,y,z(x,y))dxdy。其次，計(jì)算jjQ(x,y,z)dydz，沿￡取定的一側(cè)?！甏藭r(shí)，設(shè)定￡為具前、后兩側(cè)的雙側(cè)曲面，故可表示為￡:x=x(y,z),(y,z)gD，其中D為￡在yoz平面內(nèi)的投影，因而，

取￡的前側(cè)時(shí)，jjQ(x,y,z)dzdx=jjQ(x(y,z),y,z)dydz;￡D取￡的后側(cè)時(shí)，jjQ(x,y,z)dzdx=-jjQ(x(y,z),y,取￡的前側(cè)時(shí)，￡D最后，沿￡取定的一側(cè)計(jì)算jjR(x,y,z)dzdx?！甏藭r(shí)，設(shè)定￡為具右、左兩側(cè)的雙側(cè)曲面，故可表示為￡:y=y3,z),3,z)gD，其中D為￡在wz平面內(nèi)的投影，因而，取￡的右側(cè)時(shí)jjR(x,y,z)dzdx=jjR(x,y(x,z),z)dzdx；jjR(x,y,z)dzdxjjR(x,y,z)dzdx=-jjR(x,y(x,z),z)dzdx。沿空間曲面的第二類曲面積分有三種類型，對(duì)每特別強(qiáng)調(diào)一種類型的第二類曲面積分的計(jì)算，都需要將曲面視為相應(yīng)的類型才能計(jì)算。通過上述分析，第二類曲面積分計(jì)算的步驟為：、明確要計(jì)算的第二類曲面積分的類型；、確定相應(yīng)的曲面形式(包括方程形式和投影)；、確定曲面的側(cè)；、代入公式計(jì)算。注、計(jì)算過程中，經(jīng)常利用積分可加性，將曲面按計(jì)算對(duì)象的不同進(jìn)行分割。五、例子例1、計(jì)算/=jj(x+1)dydz+ydzdx+dxdy，其中￡是如圖四￡面體OABC的表面，積分沿處側(cè)進(jìn)行。解、先計(jì)算I]=jjdxdy。由于￡=￡oab+￡obc+￡OCA+￡ABC，顯然jjdxdy=jjdxdy=0?！阰bc￡oac

對(duì)￡oab：Z=0，（*'＞）G^OAB=D，由于￡^AB的外側(cè)從z軸方向看為下側(cè)，故，jjdxdy=-jjdxdy=-j1dxf1-xdy=-，對(duì)￡:z—1—x—y,ABC1o23y)gAABC=D,由于￡ABC的外側(cè)從1o23y)gAABC=D,由于￡ABC的外側(cè)再計(jì)算12=jj(x+1)dydz，由于￡oab、￡oca在yz平面的投影為直線段故，jj(x+1)dydz=jj(x+1)dydz=0。影為直線段￡oab￡oac對(duì)￡obcx=0,(y,z)eAOBC，此時(shí)，外側(cè)從x軸看為后側(cè)，對(duì)￡ABC前側(cè)，故，jj(x+1)dydz=-對(duì)￡obc對(duì)￡ABC前側(cè)，故，￡OBCD2jj(x+1)dydz=jj(1-y-z+1)dydz=-，D3￡ABC216jj(x+1)dydz=jj(1-y-z+1)dydz=-，D3￡ABC216故12=-2+最后計(jì)算13=jjydzdx顯然jjydzdx=jjydzdx=0?！阰bc￡oab對(duì)于￡oac對(duì)于￡ABC:y=0,(x,z)eAOAC=D，外側(cè)為左側(cè)，故，j"J］。如x=0；對(duì)于￡oac對(duì)于￡ABC:y=1—z—x,(x,z)eAOAC=D，外側(cè)為右側(cè)，故，jj￡Jdzd項(xiàng)DE5=6，

故I==jj=jjy2dzdx=3兀bR336E十----111因而，i=i+1+1=g+g=§。注、側(cè)的判斷一一特殊點(diǎn)方法，由雙側(cè)曲面的定義，曲面上任一點(diǎn)的法線方向決定曲面的側(cè)，因而，可以通過曲面上特殊的點(diǎn)法向確定側(cè)的方向。例2:計(jì)算I=jjx2dydz+y2dzdx+z2dxdy，￡為球面￡(x—a)2+(y—b)2+(z—c)2=R2，取外側(cè)。解、由于球面為有重點(diǎn)的封閉曲面，計(jì)算時(shí)須分割為無重點(diǎn)曲面。先計(jì)算I=jjz2dxdy，此時(shí)須將球面分割為上半球面1￡和下半球面￡],￡2在xoy平面的投影區(qū)顯然，￡1的外側(cè)相對(duì)于z軸￡:z=e+gR2—(x—a)2—(y—b)2￡:z=e—JR2—(x—a)2—(y—b)2域?yàn)椋篋:(x—a)和下半球面￡],￡2在xoy平面的投影區(qū)顯然，￡1的外側(cè)相對(duì)于z軸（可以通過z軸上的球面為上側(cè)；而￡2的外側(cè)相對(duì)于z軸為下側(cè)的兩個(gè)頂點(diǎn)的法向確定側(cè)的方向)。故，I=jjz2dxdy+jjz2dxdy

1￡1（可以通過z軸上的球面-]e—、/R2—(x—a)2—(y—b)2dxdy=jje+\：R2—(x—a)2—(y—b)2-dxdy—Djj[Dx-y=4ejjvR2—(x—a)2—(y—b)2dxdy78c\：R2一r2rdr=—neR3

3x=a+=c兀dojRy=b+r-]e—、/R2—(x—a)2—(y—b)2dxdy78c\：R2一r2rdr=—neR3

3I=jjx2dydz=§兀aR3；例3、計(jì)算I=f!^'=dxdy,其中￡為曲面z=氣*+y2z.,.：x2+y2與平面z=1,z=2所圍之表面，沿外側(cè)。解、如圖：￡=七+￡2+￡3，其中：￡1:z="xd2\：'x2+y200r+y2,(x,d2\：'x2+y200r1<x2+y2<4；￡2:z=1,(x,y)eD2,x2+y2<1；￡z-2,(x,y)eD,x2+y2<4。故，而￡「￡2的外側(cè)對(duì)應(yīng)于下側(cè)，￡3的外側(cè)對(duì)應(yīng)于上側(cè)，ezex2+y2故，I-JJdxdy=一,1.1一dxdy=-J2"d0J2竺-rd=-2k(e2-e)=-JJJdxdy=D3x2+y2J=-JJJdxdy=D3x2+y2J2KdOJ2e-rdr=-4ne200r四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系在第一類曲面積分的導(dǎo)出過程中，曾給出曲面￡面積的計(jì)算公式S=jjdxdyDx^cos(再,z)其中：D巧為￡在xoy平面內(nèi)的投影，(n,z)表示曲面法向與z軸的夾角，由于采用絕對(duì)值，因此，對(duì)法向的選擇沒有要求。現(xiàn)考慮第二類曲面積分I=jjP(x,y,z)dxdy，沿￡取定的一￡側(cè)，記Y為對(duì)應(yīng)于取定側(cè)的法向與z軸正向的夾角。當(dāng)取定￡為上側(cè)時(shí)，此時(shí)y為銳角，故I=lim?(&,nK)?s=lim4(&,nK)?STOC\o"1-5"\h\ziiiDiiiD入t0.<i入t0.<ii=1i=1=lim￡p(^，門，匚)cosy*-S,niiiiD人項(xiàng).1ii=1=jjP(x,y,z)cosydS￡當(dāng)取定￡為下側(cè)時(shí)，此時(shí)y為鈍角，故:I=lim8p(&,n,匚)?S=lim￡p&,n,匚)?(-S)TOC\o"1-5"\h\ziiiDiiiD入t0.<i入t0.<ii=1i=1=lim￡p(g，門，匚)cosy*-SiiiiD"0i=1D=jjP(x,y,z)cosydS?！旯?，不論取￡為上側(cè)還是下側(cè)，總有jjP(x,y,z)dxdy=jjP(x,y,z)cosydS。￡￡類似，若記P為對(duì)應(yīng)于取定￡的左或右側(cè)的法向與y軸正向的夾角，則jjQ(x,y,z)dzdx=jjQ(x,y,z)cospdS；￡￡同理，jjR(x,y,z)dydz=jjR(x,y,z)cosadS?！辍昙矗簀jPdxdy+Qdzdx+Rdydz=jj[pcosy+QcosP+Rcosa^dS?！辍赀@就是兩類積分之間的聯(lián)系。注、從背景中流量計(jì)算問題的最后3個(gè)有限和的極限式中可以觀察到，jj[Pcosy+QcosP+Rcosa]dS正是從第一個(gè)和式得￡到的第二類曲面積分。有些課本是以此式為第二類積分的定義。五、參數(shù)形式下第