第十二章無窮級(jí)數(shù)

無窮級(jí)數(shù)內(nèi)容概要和重難點(diǎn)提示常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)及其收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理。幕級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)、幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法、初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式。對(duì)數(shù)一，要理解狄利克雷收斂定理以及付式展開式?？荚囈罅私饧?jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念。了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及p-級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比較判別法的極限形式和比值判別法。了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。會(huì)求幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域。了解幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求簡(jiǎn)單幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。了解函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展開式（牢記5個(gè)公式）。難點(diǎn)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性剖析級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系求和函數(shù)理解狄利克雷定理考試知識(shí)要點(diǎn)講解一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)（一）基本概念1、設(shè)有數(shù)列品｝:u,u，…,u，…，將它們依次相加TOC\o"1-5"\h\zn12nu+u+...+u+...12n稱為由數(shù)列構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)，記為工un。n=12、若u+u+...+u+...=s（定數(shù)），則稱級(jí)數(shù)￡u收斂，且收斂于總和s；\o"CurrentDocument"12nnn=1若u+u+...+u+...=8（或者不定），則稱級(jí)數(shù)工u發(fā)散。（通俗的定12nnn=1義）3、令u+u+...+u=s，稱s為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)部分和。顯然數(shù)列｛u｝與｛s｝\o"CurrentDocument"12nnnnn有：Snsn12、若limsnSnsn12、若limsnns，則稱級(jí)數(shù)u收斂，且收斂于總和，，反之就是發(fā)散。收n1斂時(shí)un2..稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)（仍為級(jí)數(shù)）。（二）基本性質(zhì)1、若u,n1且vn都收斂，對(duì)于任何常數(shù)，，則(un'）也收斂，n1n1vn)vn；12、3、不改變其斂散性；在級(jí)數(shù)中添加或者去掉或者改變有限項(xiàng)，收斂的級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，且和不變;4、1、若u,n1且vn都收斂，對(duì)于任何常數(shù)，，則(un'）也收斂，n1n1vn)vn；12、3、不改變其斂散性；在級(jí)數(shù)中添加或者去掉或者改變有限項(xiàng)，收斂的級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，且和不變;4、（收斂的必要條件）七收斂limu。。，反之不成立。nn1注：（1）斂散性和其它性質(zhì)一樣都有：YYY,YNN,NN?；（2）題必成立；性質(zhì)3的逆和否命題不成立（但是任何命題原命題成立，則逆否命（3）u收斂limss，u收斂limu0，(不能用limu0nnnnnnnnn1得出級(jí)數(shù)收斂，但是若limu。0則必發(fā)散）。nn⑷幾個(gè)重要的級(jí)數(shù)斂散性結(jié)論幾何級(jí)數(shù)aqn1，當(dāng)|q|1時(shí)收斂于己，當(dāng)|q|1時(shí)發(fā)散;n1P級(jí)數(shù)當(dāng)P1時(shí)收斂，當(dāng)P1時(shí)發(fā)散，（P1時(shí)即1叫做npn1nn1調(diào)和級(jí)數(shù)）。推廣得:k"當(dāng)mk1時(shí)收斂，當(dāng)mk1時(shí)發(fā)Q(n)1m散；級(jí)數(shù)1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。（您會(huì)證明、會(huì)應(yīng)n1用嗎？）。大家回憶一下，高數(shù)在哪里還介紹過收斂的概念？例題1判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）（￡（0M）"；（2）工X；（3）若（n+3曲。nn2n3—n2+2n=1n=1n=1二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定（一）正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1：若在￡un中un>0，則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（若un<0呢？）n=1由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)中，S=u+u+...+u=s+u>s，即（s}單增，由n12nn—1nn—1n單調(diào)有界數(shù)列必收斂，知工un收斂O{sj有界，采用此結(jié)論可以得到:n=11、比較審斂法若u<v（n=1,2,...），且工V收斂，則工u也收斂；TOC\o"1-5"\h\znnnnn=1n=1若u>v（n=1,2,...），且￡v發(fā)散，則￡u也發(fā)散。nnnnn=1n=1注：（1）定理告訴我們，要想判斷出工"〃收斂，必須找收斂的“哥哥”n=1￡v，“哥哥”收斂則“弟弟”收斂，同樣“弟弟”發(fā)散則“哥哥”nn=1發(fā)散；￡vn收斂，則￡七也收斂；另一個(gè)結(jié)論可同理給出。n=1n=12、比較審斂法的極限形式若lim匕=pnsv

n（2）定理可改為：若u<cv（n=k,k+1,...），（其中c>0,kgZ+）且nn=1（2）當(dāng)p=0時(shí)，若工七收斂，n￡vn收斂，則￡七也收斂；另一個(gè)結(jié)論可同理給出。n=1n=12、比較審斂法的極限形式若lim匕=pnsv

nnn=1（2）當(dāng)p=0時(shí)，若工七收斂，n=1（3）當(dāng)p=+3時(shí)，若￡vn發(fā)散n=1n=1則￡un也發(fā)散。n=13、比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）若lim%+1=p，^。（1）當(dāng)p<1時(shí)，工u收斂；n—3U1nnn=1（2）當(dāng)p>1時(shí)，￡un發(fā)散，（3）當(dāng)p=1時(shí)，此法失效。n=14、根值審斂法（柯西判別法）若limgu=p，則（1）當(dāng)p<1時(shí)，￡u收斂；ns1n=1（2）當(dāng)p>1時(shí)，￡un發(fā)散，（3）當(dāng)p=1時(shí)，此法失效。n=1（5）積分審斂法設(shè)f⑴為定義于［1,+3）單減的非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，則￡f（n）與f+wf（x）dx具有相同的斂散性。1n=1注：1、以上5個(gè)定理只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)；2、方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)選擇的原則比較法簡(jiǎn)單明了要找參照級(jí)數(shù)，且明確大小關(guān)系V從幾何或者p-級(jí)數(shù)中找。比較法的極限形式比較簡(jiǎn)單明了要找參照級(jí)數(shù)，且明確等價(jià)關(guān)系（見推論）V從幾何或者p-級(jí)數(shù)中找。比值審斂法無需找參照級(jí)數(shù)不完備（p=1方法失效）u為含階乘或次幕的分式。根值審斂法無需找參照級(jí)數(shù)不完備（p=1方法失效）u為含階乘或次幕的分式。3、（比較法的極限形式）推論：若un-七（n-8）（若不為無窮小由必要條件知必發(fā)散），則￡氣與#七同斂散。n=1n=1（二）交錯(cuò)級(jí)數(shù)定義2：若在￡七中氣是正負(fù)交錯(cuò)出現(xiàn)的，則稱此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，常表示n=1為￡（-1）?-1u，規(guī)定u>0n=1萊布尼茲審斂法若交錯(cuò)級(jí)數(shù)工（-1）n-1Un滿足：（1）氣>Un+1（從n某項(xiàng)開始）；n=1（2）limu=0，則￡（-n-1u收斂，且和大于零而小于u，余項(xiàng)\r<u。nn1n+1n+1nT81n=1注：1、第一條不滿足和第二條不滿足結(jié)論會(huì)怎樣？2、判別"〃的單調(diào)性常用到導(dǎo)數(shù)符號(hào)。（三）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)定義3：若在工七中氣是正負(fù)無序的，則稱此級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)（或一般n=1項(xiàng)級(jí)數(shù)）。定理：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)工|uj收斂，則工氣也收斂。TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1注：（1）定理的逆否命題為￡七發(fā)散，則￡|un|必發(fā)散；（2）定理的逆和否命n=1n=1題都不成立，即“若正項(xiàng)級(jí)數(shù)工|uj發(fā)散，則工氣也發(fā)散”和“工"〃收斂，則n=1n=1n=1￡|u|必收斂”都是錯(cuò)誤的。于是產(chǎn)生了絕對(duì)收斂和條件收斂的定義：nn=1若工un收斂，且工|uj收斂，則稱它的收斂為絕對(duì)收斂；若工un收斂，n=1n=1n=1但￡|uj發(fā)散，則稱它的收斂為條件收斂。n=1可見，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)沒有自己的審斂法，但卻有3種狀態(tài)，即絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散三種狀態(tài)。判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法先判斷￡|uj收斂否？n=1先判斷工七收斂否？n=1

令v=—?n,w=—nn,貝。它們都是正項(xiàng)，n2n2v+w=u,v-w=unnnnnn若工un絕對(duì)收斂，n=1若Yun條件收斂，則￡|un|Yvn,n=1n=1n=1例題2判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）Y（1）Y「二；（2）產(chǎn)，n=1Jn41+X4dx0兀n—3nn=1（3）乙定-sin-）,；nnn=1（4）切4；⑸Y5n；⑹切竺（a,b>0）。nn+a2narctannnnbn=1n=1n=1解：（1）因?yàn)镴n41+x4dx>Jnxdx=—，所以0<]—<—002Jn4‘1+x4dxn20而Y-2收斂（p=2），由比較法知，原級(jí)數(shù)收斂。n2n=1而Y（-）n收斂（q=3V1），由比較法極限形式知，兀兀n=1原級(jí)數(shù)收斂。x—sinxx—sinx（3）因?yàn)閘imx—0x36所以應(yīng)nU-sin七?蘭31nn6n=1所以原級(jí)數(shù)Y所以原級(jí)數(shù)Yun與Yvnn=1n=1（4）取v=—，因?yàn)閘imu=ea（用到了重要極限），nnansvn（5）同斂散，于是當(dāng)a>1時(shí)收斂，當(dāng)a<（5）因?yàn)閘im匝=->1，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。nsn”（6）因?yàn)閘im%+t=limw-竺=alim（—）b=a。所以當(dāng)aV1時(shí)，原級(jí)數(shù)收nsuns（n+1）bann—sn+1n斂；當(dāng)a>1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)a=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為Y—，此時(shí)若b>1，原nbn=1

級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)b<1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。綜上所述(略)例題3判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1)￡(-1)n商；(2)芝(-1)〃——。n+100n+(—1)nn=1n=2解：(1)limu=limv3n=0，設(shè)f(x)=*3x(x>0)，則n*n〃"+100X+100=可0-x=可0-x)V02jx(x+100)審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。(x>100)即當(dāng)n>100時(shí)，un>u，n+1由萊布尼茲(2)這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，u用萊布尼茲定理。但是>u，不能n+1滿足limu=0但是不滿足uTOC\o"1-5"\h\znfsn1n—(-k)=T1-9；—\n+—1n)n—1因?yàn)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)￡(-"X生收斂，￡上發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。n—1n—1n=2n=2例題4(04，數(shù)一)設(shè)有方程尤〃+nx=1(neZ+)，證明此方程存在唯一實(shí)根x，并證明當(dāng)a>1(2)這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，u用萊布尼茲定理。但是>u，不能n+1n=1解：令f(x)=xn+nx—1，則f(x)在【0,+3)連續(xù)，f(0)=—1<0，f(1)=n—1>0。由零點(diǎn)定理，知f(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)閒\x)=nxn-1+n>0(x>0)，知f(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)所以f(x)在【0,+3)有僅有一個(gè)零點(diǎn)，故原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根x0，且0<x<1。由于x0=寧，所以0<x0=宇<—當(dāng)a>1時(shí)，0<x；<-，由比較審斂法，知級(jí)數(shù)￡x；收斂。n=1

例題5（04，數(shù)一，4分）設(shè)￡七為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）n=1（A）若limna=0，則工a收斂；（B）若我。0使得limna=X，則工a發(fā)TOC\o"1-5"\h\znnnnnT81nT31n=1n=1散。（C）若￡a收斂，則limn2a=0。（D）若工a發(fā)散，則我。0使得limna=X。1nnsn1nn—snn=1n=1分析：（B）中由lim%-]=X/n知，a與1同階，故￡a發(fā)散。其它的可以舉反nnnn=1例。如：（A）取發(fā)散的￡-^，（C）取收斂的產(chǎn)—，（D）取發(fā)散的￡-^nlnn3nlnnn=1n=分析：（B）中由lim%-]=X/n知，例題6（09，數(shù)一，4分）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列{a},，若lima=0，則（）nnms（A）當(dāng)￡b收斂時(shí)，￡ab收斂。

nnnn=1n=（A）當(dāng)￡b收斂時(shí)，￡ab收斂。

nnnn=1n=1（C）當(dāng)￡|bn|收斂時(shí)，￡a2b2收斂。n=1n=1（B）當(dāng)￡bn發(fā)散時(shí)，n=1（D）當(dāng)￡|bn|發(fā)散時(shí)，n=1￡a光發(fā)散。n=1分析：由lima=0知BM>0，nn—s使得|aj<M，又￡|bj收斂，n=1所以lim|b|=0，

n

n—sb<1。0<a2b2=a2b它的可以舉反例。如:(A)取再知當(dāng)￡|bn|收斂時(shí)，n=1￡a2b2收斂。其n=1（B）取a=b=—；（D）取例題7設(shè)偶函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)函數(shù)在U（0）連續(xù)，且f（0）=1,f〃（0）=2,證明￡（f己）-1）絕對(duì)收斂。n

證明：f(x)為偶函數(shù)，所以f(0)=0，故f(x)的麥克勞林展式為f(x)=f(0)+f'(0)x+2!f"(0)x2+°(x2)=1+x2+。(x2)，111111、于是f(―)=1+—+0(—)，所以f(―)—1且f(―)—1>0。nn2n2nn2n由￡-1收斂，知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。n2n=1思考練習(xí)：(1)判斷(-1)n-1(^-1)的斂散性，若收斂，是何種收斂？n=1(2)設(shè)a=j4tannxdx，求￡1(a+a),并證明女＞0，￡土收斂。n0nnn+2n人TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念以及收斂問題(一)定義定義在區(qū)間I上的函數(shù)列{"(x)}:u(x),u(x),...,u(x),...構(gòu)成的n12n無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。若存在xGI使得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)收n0n0n=1n=1斂，則稱點(diǎn)x0為￡un(x)的一個(gè)收斂點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的集合I收稱為收斂域；同n=1理可以定義發(fā)散點(diǎn)和發(fā)散域。顯然I收uI散=1,I收cI散2。令S(x)=u(x)+u(x)+u(x)叫做部分和函數(shù)，若limS(x)=s(x)，則稱￡u(x)收TOC\o"1-5"\h\zn12nnnnT81n=1斂于和函數(shù)s(x)；否則￡un(x)發(fā)散。n=1兩個(gè)常用的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為(1)幕級(jí)數(shù)￡axn=a+ax+...+ax〃+...(agR)；n01nin=0(2)傅里葉級(jí)數(shù)￡a(2)傅里葉級(jí)數(shù)￡acosnx+bsinnx1、阿貝爾（Abel）定理幕級(jí)數(shù)￡?！烦藘H在x=0處收斂和在整個(gè)X軸n=0上都收斂外，若x0為收斂點(diǎn)，則對(duì)于（-|x0|,|x0|）內(nèi)一切點(diǎn)X，工anxn都絕對(duì)收n=0斂；若x為發(fā)散點(diǎn)，則對(duì)于（-3-x）u（|x,+3）內(nèi)一切點(diǎn)x，￡aXn都發(fā)散。0010nn=0注：深刻領(lǐng)會(huì)定理揭示的幕級(jí)數(shù)收斂特點(diǎn)，從而知道有一個(gè)確定的數(shù)R的存在。2、求收斂半徑R和收斂域的方法（1）求R的公式：在￡aXn中n=0R=li小—n或者R=1n*alimJa1n+1nnT3（1）求R的公式：在￡aXn中n=0（2）求收斂域（區(qū)別于收斂區(qū)間）的方法先說特殊的：若R=0，則幕級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂；若R=+3，則它在整個(gè)x軸上都收斂。對(duì)一般地R（由阿貝爾定理知，起碼它在xe（-R,R）內(nèi)絕對(duì)收斂），這時(shí)需考慮端點(diǎn)x=±R的斂散性（即考察兩個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡a（土R）n斂散性），nn=0假若x=R收斂，x=-R發(fā)散，則收斂域?yàn)閤e（-R,R1，其它的類推。注：求收斂半徑的方法只適合于標(biāo)準(zhǔn)的幕級(jí)數(shù)（￡。產(chǎn)），對(duì)關(guān)于x-x0的幕級(jí)n=0數(shù)、缺項(xiàng)的幕級(jí)數(shù)以及非冪級(jí)數(shù)工anfn（x），則需要做變換化為標(biāo)準(zhǔn)的幕級(jí)數(shù)，n=0這時(shí)斂散性不再符合阿貝爾定理了。例題8填空：（1）設(shè)工a”（x-2）n在x=-1處收斂，那么它在x=4處是（）n=0的，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡an是（）的。n=0（2）設(shè)氣＞0，￡（-1）n-1an條件收斂，那么￡。產(chǎn)收斂域是（）。n=1n=0

(3)（08,數(shù)一，4分）設(shè)￡氣（X+2）n在X=0處收斂，在x=—4處發(fā)散，nn=1(3)￡。3—3n）的收斂域?yàn)椋╪）。n=0例題9求下列幕級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域:n=0例題9求下列幕級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域:￡5n+(