軌道微分方程課件

復(fù)習(xí):保守力:勢(shì)函數(shù)的極小處為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極大處為非穩(wěn)定平衡點(diǎn)復(fù)習(xí):保守力:勢(shì)函數(shù)的極小處為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極大處為非穩(wěn)定平衡1第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題

§2.1有心力和有心運(yùn)動(dòng)§2.2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)§2.3圓軌道的穩(wěn)定性§2.4與距離平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5兩體問(wèn)題*§2.6任意冪有心力問(wèn)題的計(jì)算*§2.7埃農(nóng)—黑爾斯勢(shì)問(wèn)題第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題2有心運(yùn)動(dòng)：物體在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)力的作用線總是通過(guò)空間某一固定點(diǎn)或稱(chēng)輳力力指向的固定點(diǎn)稱(chēng)為力心有心運(yùn)動(dòng)：物體在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)力的作用線總是通過(guò)空間某一3有心運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)：天體的運(yùn)行原子核外電子的運(yùn)動(dòng)人造地球衛(wèi)星的發(fā)射和運(yùn)行……有心運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)：4兩體問(wèn)題：如行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)——

是行星在太陽(yáng)引力作用下的一種運(yùn)動(dòng)，而太陽(yáng)本身并非固定不動(dòng)（繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)）。

兩體問(wèn)題研究的是兩個(gè)相互作用的物體組成的體系的運(yùn)動(dòng)。兩體問(wèn)題：如行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)——5§2.1

有心力和有心運(yùn)動(dòng)——研究單體繞力心（固定不動(dòng)）的運(yùn)動(dòng)（一）基本特性選力心為坐標(biāo)原點(diǎn)有心力對(duì)力心(坐標(biāo)原點(diǎn))的力矩有心力作功P1P2O——與路徑無(wú)關(guān)，有心力為保守力-或：§2.1有心力和有心運(yùn)動(dòng)——研究單體繞力心（固定不動(dòng)）的運(yùn)6有心運(yùn)動(dòng)的基本特性：1.對(duì)力心的動(dòng)量矩守恒2.有心運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)決定的平面和為同一平面3.機(jī)械能守恒動(dòng)能定理：有心運(yùn)動(dòng)的基本特性：1.對(duì)力心的動(dòng)量矩守恒2.有心運(yùn)動(dòng)是7（二）運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)力學(xué)方程)有心運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)，宜用平面極坐標(biāo)（2.4）這個(gè)積分實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律的極坐標(biāo)表示式：（二）運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)力學(xué)方程)有心運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)，宜用平面極坐8（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去時(shí)間t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去9（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程比內(nèi)（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程10§2.2

距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)——軌道及其特性（一）軌道萬(wàn)有引力，異性電荷間的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)——軌道及其特性（11適當(dāng)選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極坐標(biāo)方程力心（坐標(biāo)原點(diǎn)）：圓錐曲線的焦點(diǎn)Fe：軌道的偏/離心率p：正焦弦（QQ'）長(zhǎng)度的一半適當(dāng)選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極12F：焦點(diǎn)之一，坐標(biāo)原點(diǎn)b：半短軸ES(2)拋物線：與點(diǎn)F、直線l等距離的動(dòng)點(diǎn)軌跡(3)雙曲線：與F、F'距離之差為2a的動(dòng)點(diǎn)軌跡(1)橢圓：與距離之和為2a的動(dòng)點(diǎn)軌跡

數(shù)學(xué)知識(shí)：圓錐曲線F：焦點(diǎn)之一，坐標(biāo)原點(diǎn)b：半短軸ES(2)拋物線：與點(diǎn)F、13

2007年10月24日，嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星成功發(fā)射升空。2007年10月24日，嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星14地月距離38萬(wàn)km。當(dāng)月球探測(cè)衛(wèi)星在離月球6.6萬(wàn)km之外時(shí)，衛(wèi)星主要受地球引力作用，其軌道為相對(duì)于地球的橢圓型軌道；在離月球6.6萬(wàn)km之內(nèi)以后，衛(wèi)星主要受月球引力作用，其軌道為相對(duì)于月球的雙曲線軌道。只要使月球探測(cè)衛(wèi)星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之間），衛(wèi)星就可以飛向月球，進(jìn)入月球軌道。地月距離38萬(wàn)km。當(dāng)月球探測(cè)衛(wèi)星在離月球6.6萬(wàn)k15

1970年4月24日，中國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，中國(guó)航天活動(dòng)的序幕從此拉開(kāi)。1970年4月24日，中國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心16中國(guó)已經(jīng)發(fā)射過(guò)各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)射人造月球衛(wèi)星尚屬首次。從地球到月球不但距離遙遠(yuǎn)（38萬(wàn)km），而且月球自身還在圍繞地球進(jìn)行公轉(zhuǎn)，平均運(yùn)動(dòng)速度1.023km/s。因此，讓嫦娥一號(hào)衛(wèi)星與運(yùn)動(dòng)著的月球精確交會(huì)，并沿著衛(wèi)星在月球上的工作軌道運(yùn)行，是一個(gè)非常困難的事情。在世界探月歷史上，多次發(fā)生衛(wèi)星距離月球很遠(yuǎn)飛過(guò)，與月球“失之交臂”，也曾發(fā)生過(guò)衛(wèi)星未能進(jìn)入環(huán)繞月球的軌道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可見(jiàn)，嫦娥一號(hào)飛行軌道的設(shè)計(jì)是整個(gè)工程中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。中國(guó)已經(jīng)發(fā)射過(guò)各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)17

當(dāng)時(shí)，中國(guó)的航天器已經(jīng)到達(dá)的距地球最遠(yuǎn)的距離為7萬(wàn)公里，而地月距離為38萬(wàn)公里，而且月球及其與地球和太陽(yáng)的相對(duì)關(guān)系非常復(fù)雜。所以嫦娥一號(hào)衛(wèi)星與一般的地球衛(wèi)星有很大不同，在軌道設(shè)計(jì)、測(cè)控、制導(dǎo)導(dǎo)航與控制、熱控和數(shù)據(jù)接收天線研制等方面具有自己的特殊性和關(guān)鍵技術(shù)。

當(dāng)時(shí)，中國(guó)的航天器已經(jīng)到達(dá)的距地球最遠(yuǎn)的距離18

2010年10月1日,嫦娥二號(hào)發(fā)射升空。與嫦娥一號(hào)相比，嫦娥二號(hào)在外形和重量上并沒(méi)有太大變化，其最大優(yōu)點(diǎn)是飛到月球更快了，嫦娥一號(hào)環(huán)繞地球7天，然后才飛向月球。而嫦娥二號(hào)將直接飛到月球，飛行時(shí)間約120h。除了“直飛”月球外，嫦娥二號(hào)的繞月飛行軌道將由嫦娥一號(hào)時(shí)的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任務(wù)是獲得更清晰更詳細(xì)的月球表面影像數(shù)據(jù)，因此衛(wèi)星上搭載的CCD分辨率更高，使拍攝的月球圖片分辨率從120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三號(hào)探測(cè)器在月球表面預(yù)選著陸區(qū)域成功著陸，標(biāo)志著我國(guó)繼前蘇聯(lián)和美國(guó)之后成為世界上第三個(gè)實(shí)現(xiàn)地外天體軟著陸的國(guó)家。2010年10月1日,嫦娥二號(hào)發(fā)射升空。與嫦娥一號(hào)19（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠(yuǎn)對(duì)橢圓軌道，分別稱(chēng)近日點(diǎn)(G)和遠(yuǎn)日點(diǎn)(G')機(jī)械能：因機(jī)械能守恒，取近日點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠(yuǎn)對(duì)橢圓軌道20(2.19)討論：行星的運(yùn)動(dòng)，電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)r有限→橢圓(2.15)質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有足夠的能量達(dá)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，只能?chē)@力心在有限范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)拋物線的開(kāi)口恰好可使質(zhì)點(diǎn)脫離力心束縛雙曲線的兩條漸近線質(zhì)點(diǎn)有充分的能量脫離力心的吸引彗星軌道(E≥0)，宇宙飛船(Emin=0)彗星軌道(E＞0時(shí))(2.19)討論：行星的運(yùn)動(dòng)，電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)r有限→橢圓21橢圓軌道的特性：軌道的半長(zhǎng)軸而∴軌道的半長(zhǎng)軸由總機(jī)械能決定機(jī)械能確定后，偏心率由角動(dòng)量確定軌道越扁橢圓軌道的特性：軌道的半長(zhǎng)軸而∴軌道的半長(zhǎng)軸由總機(jī)械能決22小結(jié):有心運(yùn)動(dòng)的基本特性對(duì)力心的力矩為零，動(dòng)量矩守恒有心運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)，用平面極坐標(biāo)描述有心力為保守力，機(jī)械能守恒有心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：有心運(yùn)動(dòng)的軌道微分方程：平方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)：橢圓軌道：軌道越扁小結(jié):有心運(yùn)動(dòng)的基本特性對(duì)力心的力矩為零，動(dòng)量矩守恒有心運(yùn)動(dòng)23例2.1質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，以圓軌道繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)。為使其軌道半徑r1→r2(＞r1)，衛(wèi)星先沿一與兩圓軌道相切的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道2后再加速進(jìn)入圓軌道2。求出衛(wèi)星在兩軌道處的速度增加值Δv1和Δv2。引力常數(shù)為G，地球質(zhì)量為m’。忽略空氣阻力。橢圓半長(zhǎng)軸橢圓軌道A點(diǎn)AB橢圓軌道B點(diǎn)(3)(4)例2.1質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，以圓軌道繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)。為使24解方程(1)~(4)得：地球衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)規(guī)律及變軌方法；有心運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒；解方程(1)~(4)得：地球衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)規(guī)律及變軌方法；有心25例2.2彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離是地球(圓)軌道半徑的1/n，求證此彗星在地球軌道內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間為一年的近日點(diǎn)(1)求彗星在地球軌道內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間(2)軌道角動(dòng)量守恒一年？地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道周期T例2.2彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離是地球(圓)軌道半26地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則一年得證(2)地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則一年得證(2)27作業(yè)P72(4),5,(8)作業(yè)P7228復(fù)習(xí):保守力:勢(shì)函數(shù)的極小處為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極大處為非穩(wěn)定平衡點(diǎn)復(fù)習(xí):保守力:勢(shì)函數(shù)的極小處為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極大處為非穩(wěn)定平衡29第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題

§2.1有心力和有心運(yùn)動(dòng)§2.2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)§2.3圓軌道的穩(wěn)定性§2.4與距離平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5兩體問(wèn)題*§2.6任意冪有心力問(wèn)題的計(jì)算*§2.7埃農(nóng)—黑爾斯勢(shì)問(wèn)題第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題30有心運(yùn)動(dòng)：物體在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)力的作用線總是通過(guò)空間某一固定點(diǎn)或稱(chēng)輳力力指向的固定點(diǎn)稱(chēng)為力心有心運(yùn)動(dòng)：物體在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)力的作用線總是通過(guò)空間某一31有心運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)：天體的運(yùn)行原子核外電子的運(yùn)動(dòng)人造地球衛(wèi)星的發(fā)射和運(yùn)行……有心運(yùn)動(dòng)是一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)：32兩體問(wèn)題：如行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)——

是行星在太陽(yáng)引力作用下的一種運(yùn)動(dòng)，而太陽(yáng)本身并非固定不動(dòng)（繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)）。

兩體問(wèn)題研究的是兩個(gè)相互作用的物體組成的體系的運(yùn)動(dòng)。兩體問(wèn)題：如行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)——33§2.1

有心力和有心運(yùn)動(dòng)——研究單體繞力心（固定不動(dòng)）的運(yùn)動(dòng)（一）基本特性選力心為坐標(biāo)原點(diǎn)有心力對(duì)力心(坐標(biāo)原點(diǎn))的力矩有心力作功P1P2O——與路徑無(wú)關(guān)，有心力為保守力-或：§2.1有心力和有心運(yùn)動(dòng)——研究單體繞力心（固定不動(dòng)）的運(yùn)34有心運(yùn)動(dòng)的基本特性：1.對(duì)力心的動(dòng)量矩守恒2.有心運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)決定的平面和為同一平面3.機(jī)械能守恒動(dòng)能定理：有心運(yùn)動(dòng)的基本特性：1.對(duì)力心的動(dòng)量矩守恒2.有心運(yùn)動(dòng)是35（二）運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)力學(xué)方程)有心運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)，宜用平面極坐標(biāo)（2.4）這個(gè)積分實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律的極坐標(biāo)表示式：（二）運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)力學(xué)方程)有心運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)，宜用平面極坐36（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去時(shí)間t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去37（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程比內(nèi)（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程38§2.2

距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)——軌道及其特性（一）軌道萬(wàn)有引力，異性電荷間的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)——軌道及其特性（39適當(dāng)選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極坐標(biāo)方程力心（坐標(biāo)原點(diǎn)）：圓錐曲線的焦點(diǎn)Fe：軌道的偏/離心率p：正焦弦（QQ'）長(zhǎng)度的一半適當(dāng)選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極40F：焦點(diǎn)之一，坐標(biāo)原點(diǎn)b：半短軸ES(2)拋物線：與點(diǎn)F、直線l等距離的動(dòng)點(diǎn)軌跡(3)雙曲線：與F、F'距離之差為2a的動(dòng)點(diǎn)軌跡(1)橢圓：與距離之和為2a的動(dòng)點(diǎn)軌跡

數(shù)學(xué)知識(shí)：圓錐曲線F：焦點(diǎn)之一，坐標(biāo)原點(diǎn)b：半短軸ES(2)拋物線：與點(diǎn)F、41

2007年10月24日，嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星成功發(fā)射升空。2007年10月24日，嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星42地月距離38萬(wàn)km。當(dāng)月球探測(cè)衛(wèi)星在離月球6.6萬(wàn)km之外時(shí)，衛(wèi)星主要受地球引力作用，其軌道為相對(duì)于地球的橢圓型軌道；在離月球6.6萬(wàn)km之內(nèi)以后，衛(wèi)星主要受月球引力作用，其軌道為相對(duì)于月球的雙曲線軌道。只要使月球探測(cè)衛(wèi)星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之間），衛(wèi)星就可以飛向月球，進(jìn)入月球軌道。地月距離38萬(wàn)km。當(dāng)月球探測(cè)衛(wèi)星在離月球6.6萬(wàn)k43

1970年4月24日，中國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，中國(guó)航天活動(dòng)的序幕從此拉開(kāi)。1970年4月24日，中國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心44中國(guó)已經(jīng)發(fā)射過(guò)各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)射人造月球衛(wèi)星尚屬首次。從地球到月球不但距離遙遠(yuǎn)（38萬(wàn)km），而且月球自身還在圍繞地球進(jìn)行公轉(zhuǎn)，平均運(yùn)動(dòng)速度1.023km/s。因此，讓嫦娥一號(hào)衛(wèi)星與運(yùn)動(dòng)著的月球精確交會(huì)，并沿著衛(wèi)星在月球上的工作軌道運(yùn)行，是一個(gè)非常困難的事情。在世界探月歷史上，多次發(fā)生衛(wèi)星距離月球很遠(yuǎn)飛過(guò)，與月球“失之交臂”，也曾發(fā)生過(guò)衛(wèi)星未能進(jìn)入環(huán)繞月球的軌道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可見(jiàn)，嫦娥一號(hào)飛行軌道的設(shè)計(jì)是整個(gè)工程中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。中國(guó)已經(jīng)發(fā)射過(guò)各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)45

當(dāng)時(shí)，中國(guó)的航天器已經(jīng)到達(dá)的距地球最遠(yuǎn)的距離為7萬(wàn)公里，而地月距離為38萬(wàn)公里，而且月球及其與地球和太陽(yáng)的相對(duì)關(guān)系非常復(fù)雜。所以嫦娥一號(hào)衛(wèi)星與一般的地球衛(wèi)星有很大不同，在軌道設(shè)計(jì)、測(cè)控、制導(dǎo)導(dǎo)航與控制、熱控和數(shù)據(jù)接收天線研制等方面具有自己的特殊性和關(guān)鍵技術(shù)。

當(dāng)時(shí)，中國(guó)的航天器已經(jīng)到達(dá)的距地球最遠(yuǎn)的距離46

2010年10月1日,嫦娥二號(hào)發(fā)射升空。與嫦娥一號(hào)相比，嫦娥二號(hào)在外形和重量上并沒(méi)有太大變化，其最大優(yōu)點(diǎn)是飛到月球更快了，嫦娥一號(hào)環(huán)繞地球7天，然后才飛向月球。而嫦娥二號(hào)將直接飛到月球，飛行時(shí)間約120h。除了“直飛”月球外，嫦娥二號(hào)的繞月飛行軌道將由嫦娥一號(hào)時(shí)的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任務(wù)是獲得更清晰更詳細(xì)的月球表面影像數(shù)據(jù)，因此衛(wèi)星上搭載的CCD分辨率更高，使拍攝的月球圖片分辨率從120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三號(hào)探測(cè)器在月球表面預(yù)選著陸區(qū)域成功著陸，標(biāo)志著我國(guó)繼前蘇聯(lián)和美國(guó)之后成為世界上第三個(gè)實(shí)現(xiàn)地外天體軟著陸的國(guó)家。2010年10月1日,嫦娥二號(hào)發(fā)射升空。與嫦娥一號(hào)47（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠(yuǎn)對(duì)橢圓軌道，分別稱(chēng)近日點(diǎn)(G)和遠(yuǎn)日點(diǎn)(G')機(jī)械能：因機(jī)械能守恒，取近日點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠(yuǎn)對(duì)橢圓軌道48(2.19)討論：行星的運(yùn)動(dòng)，電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)r有限→橢圓(2.15)質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有足夠的能量達(dá)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，只能?chē)@力心在有限范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)拋物線的開(kāi)口恰好可使質(zhì)點(diǎn)脫離力心束縛雙曲線的兩條漸近線質(zhì)點(diǎn)有充分的能量脫離力心的吸引彗星軌道(E≥0)，宇宙飛船(Emin=0)彗星軌道(E＞0時(shí))(2.19)討論：行星的運(yùn)動(dòng)，電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)r有限→橢圓49橢圓軌道的特性：軌道的半長(zhǎng)軸而∴軌道的半長(zhǎng)軸由總機(jī)械能決