單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)課件

第二章單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

2.1.1振動(dòng)微分方程2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

第二章單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng) 2.1.受迫振動(dòng)－激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。

外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加。受迫振動(dòng)－激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。外界激勵(lì)一有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程

微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解2.1.1振動(dòng)微分方程

有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程全解：2.1.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

2.1.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：2.1.1振動(dòng)微分方程它與激勵(lì)同頻，但有一個(gè)相位差有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解x2(t)-有阻簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)

可見(jiàn)，對(duì)于工程實(shí)際來(lái)說(shuō)，更關(guān)心的是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，因?yàn)樗矐B(tài)振動(dòng)只在振動(dòng)開(kāi)始后的一段時(shí)間內(nèi)才有意義。簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可見(jiàn)，對(duì)于工程實(shí)際來(lái)說(shuō)Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

BysubstitutingtheparticularEquatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:Equatingthecoefficientsof穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。2.1.1振動(dòng)微分方程穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論

在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼系統(tǒng)。2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大幅頻特性與相頻特性1、＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝

pn稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。4、在相頻特性曲線圖上，無(wú)論阻尼大小，＝1時(shí)，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論

幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性5品質(zhì)因子與半功率帶寬共振(仍按考慮)時(shí)的放大因子稱為品質(zhì)因子。由前面的公式得5品質(zhì)因子與半功率帶寬共振(仍按考慮品質(zhì)因子與半功率帶寬在＝1兩側(cè)，幅頻特性曲線可以近似地看成是對(duì)稱的。放大因子為的兩個(gè)點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)點(diǎn)的激勵(lì)頻率分別為和，它們的差稱為半功率帶寬。利用放大因子的表達(dá)式，可以求得兩個(gè)半功率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率比，即外激勵(lì)頻率，注意到可得品質(zhì)因子反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根據(jù)試驗(yàn)估算品質(zhì)因子或阻尼比。品質(zhì)因子與半功率帶寬在＝1兩側(cè)，幅頻特性曲線可以近似地看成例題.質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。

解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。

轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)例題.質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。

電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當(dāng)→0時(shí)，≌0，B→0；當(dāng)>>1時(shí)，→1，B→b，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于。

幅頻特性曲線和相頻特性曲線轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。幅頻簡(jiǎn)諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較簡(jiǎn)諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthesubstitutionEq.becomeswherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.ThusthesolutioncanbeimmediatelywrittenasResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase

TheformofthisequationisiIftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.UsingtheexponentialformofharmonicmotiongivesSubstitutingintoEq.,weobtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseIftheabsolutemotionxofthThesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationareandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseThesteady-stateamplitudeandResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes

幅頻特性曲線和相頻特性曲線ResponseofadampedS.D.O.F.也可以不按相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解（見(jiàn)鄭兆昌《機(jī)械振動(dòng)》），而直接求解質(zhì)量塊的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為即相當(dāng)于質(zhì)量塊受到了兩個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用。不論是利用三角函數(shù)關(guān)系還是利用復(fù)指數(shù)函數(shù)，所得結(jié)果與上述結(jié)果相同。也可以不按相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解（見(jiàn)鄭兆昌《機(jī)械振動(dòng)》），而直接求解質(zhì)2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用B、的旋轉(zhuǎn)矢量表示。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫(xiě)成式不僅反映了各力間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振（a）力多邊形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系（a）力多邊形(b)z＜＜12.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡(jiǎn)諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為周期

1.激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差，激振力在一周期內(nèi)做功為，做功最多。

2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差3.彈性力做的功能量曲線

表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。

在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系3.彈性力做的功能量曲線2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫(xiě)在一起為通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段根據(jù)初始條件確定C1、C2。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。無(wú)激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)于存在阻尼的實(shí)際系統(tǒng),自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自由振動(dòng),稱為自由伴隨振動(dòng)2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

根據(jù)初始條件確定C1、C2。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響應(yīng)為

2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是可見(jiàn),當(dāng)時(shí),無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后,且振幅與時(shí)間成正比地增大

2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

圖共振時(shí)的受迫振動(dòng)可見(jiàn),當(dāng)時(shí),無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng).在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為

全解為式中2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng).在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見(jiàn)過(guò)渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動(dòng)。

2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段過(guò)渡階段的響應(yīng)

如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見(jiàn)過(guò)渡階段的響應(yīng)仍含有在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由三部分組成

無(wú)激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵(lì)無(wú)關(guān)。伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)－自由伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與激勵(lì)有關(guān)。以激勵(lì)頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減－穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。

第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自由振動(dòng)頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的無(wú)激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件

若系統(tǒng)無(wú)阻尼，即使在零初始條件下，也存在自由伴隨振動(dòng)項(xiàng)，并且由于無(wú)阻尼，因而振動(dòng)不會(huì)隨時(shí)間衰減。因此，無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，一般總是pn和兩個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段若系統(tǒng)無(wú)阻尼，即使在零初始條件下，也存在自2.1.52.1.6阻尼理論在工程實(shí)際中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便于振動(dòng)分析，經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設(shè)在簡(jiǎn)諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量：2.1.6阻尼理論在工程實(shí)際中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅

利用式得到在該阻尼作用下受迫振動(dòng)的振幅利用式1）庫(kù)侖阻尼：即干摩擦阻尼，其與振動(dòng)體的相對(duì)速度

無(wú)關(guān)，故在一個(gè)周期內(nèi)，庫(kù)侖阻尼消耗的能量為

得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅表達(dá)式1）庫(kù)侖阻尼：即干摩擦阻尼，其與振動(dòng)體的相對(duì)速度

2）結(jié)構(gòu)阻尼：在一個(gè)周期內(nèi)，結(jié)構(gòu)阻尼消耗的能量與

振幅平方成正比，而且在很大一個(gè)頻率范圍內(nèi)與頻

率無(wú)關(guān)，故

得等效粘性阻尼系數(shù)為

2）結(jié)構(gòu)阻尼：在一個(gè)周期內(nèi)，結(jié)構(gòu)阻尼消耗的能量與

3）流體阻尼：當(dāng)物體以較大的速度在粘性較小的流體

中運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力與速度平方成正比。在一個(gè)周期內(nèi)

流體阻尼消耗的能量為

3）流體阻尼：當(dāng)物體以較大的速度在粘性較小的流體

專題一隔振原理（見(jiàn)Word文檔）專題一隔振原理（見(jiàn)Word文檔）專題二測(cè)振原理（見(jiàn)Word文檔）專題二測(cè)振原理（見(jiàn)Word文檔）演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！

第二章單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

2.1.1振動(dòng)微分方程2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

第二章單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng) 2.1.受迫振動(dòng)－激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。

外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)是最簡(jiǎn)單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加。受迫振動(dòng)－激勵(lì)形式－系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。外界激勵(lì)一有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程

微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解2.1.1振動(dòng)微分方程

有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程全解：2.1.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

2.1.1振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧激振力以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：2.1.1振動(dòng)微分方程它與激勵(lì)同頻，但有一個(gè)相位差有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解x2(t)-有阻簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)

可見(jiàn)，對(duì)于工程實(shí)際來(lái)說(shuō)，更關(guān)心的是穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，因?yàn)樗矐B(tài)振動(dòng)只在振動(dòng)開(kāi)始后的一段時(shí)間內(nèi)才有意義。簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可見(jiàn)，對(duì)于工程實(shí)際來(lái)說(shuō)Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

BysubstitutingtheparticularEquatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:Equatingthecoefficientsof穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。2.1.1振動(dòng)微分方程穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無(wú)關(guān)，僅僅取決于系2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論

在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將有阻尼系統(tǒng)簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼系統(tǒng)。2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)<<1時(shí)，由于阻尼影響不大幅頻特性與相頻特性1、＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，＝0，響應(yīng)與激勵(lì)同相；對(duì)于不同的值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝

pn稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。4、在相頻特性曲線圖上，無(wú)論阻尼大小，＝1時(shí)，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。2.1.2受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論

幅頻特性與相頻特性1、＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性5品質(zhì)因子與半功率帶寬共振(仍按考慮)時(shí)的放大因子稱為品質(zhì)因子。由前面的公式得5品質(zhì)因子與半功率帶寬共振(仍按考慮品質(zhì)因子與半功率帶寬在＝1兩側(cè)，幅頻特性曲線可以近似地看成是對(duì)稱的。放大因子為的兩個(gè)點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)點(diǎn)的激勵(lì)頻率分別為和，它們的差稱為半功率帶寬。利用放大因子的表達(dá)式，可以求得兩個(gè)半功率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率比，即外激勵(lì)頻率，注意到可得品質(zhì)因子反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根據(jù)試驗(yàn)估算品質(zhì)因子或阻尼比。品質(zhì)因子與半功率帶寬在＝1兩側(cè)，幅頻特性曲線可以近似地看成例題.質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。

解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。

轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)例題.質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有=h轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。

電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當(dāng)→0時(shí)，≌0，B→0；當(dāng)>>1時(shí)，→1，B→b，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于。

幅頻特性曲線和相頻特性曲線轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)阻尼比z較小時(shí)，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。幅頻簡(jiǎn)諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較簡(jiǎn)諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthesubstitutionEq.becomeswherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.ThusthesolutioncanbeimmediatelywrittenasResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase

TheformofthisequationisiIftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.UsingtheexponentialformofharmonicmotiongivesSubstitutingintoEq.,weobtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseIftheabsolutemotionxofthThesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationareandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseThesteady-stateamplitudeandResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes

幅頻特性曲線和相頻特性曲線ResponseofadampedS.D.O.F.也可以不按相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解（見(jiàn)鄭兆昌《機(jī)械振動(dòng)》），而直接求解質(zhì)量塊的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為即相當(dāng)于質(zhì)量塊受到了兩個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用。不論是利用三角函數(shù)關(guān)系還是利用復(fù)指數(shù)函數(shù)，所得結(jié)果與上述結(jié)果相同。也可以不按相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解（見(jiàn)鄭兆昌《機(jī)械振動(dòng)》），而直接求解質(zhì)2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為現(xiàn)將各力分別用B、的旋轉(zhuǎn)矢量表示。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫(xiě)成式不僅反映了各力間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力2.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系已知簡(jiǎn)諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振（a）力多邊形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1.3受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系（a）力多邊形(b)z＜＜12.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡(jiǎn)諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為周期

1.激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差，激振力在一周期內(nèi)做功為，做功最多。

2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差3.彈性力做的功能量曲線

表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。

在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系3.彈性力做的功能量曲線2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫(xiě)在一起為通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段根據(jù)初始條件確定C1、C2。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。無(wú)激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)于存在阻尼的實(shí)際系統(tǒng),自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自由振動(dòng),稱為自由伴隨振動(dòng)2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段

根據(jù)初始條件確定C1、C2。于是得到全解為其特點(diǎn)是振動(dòng)頻率共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響應(yīng)為

2.1.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段共振時(shí)的情況假設(shè)初始條件為由共振的定義,時(shí)上式是可見(jiàn),當(dāng)時(shí),無(wú)阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限增大.經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為此即共振時(shí)的受迫振動(dòng).反映出共