2021-2022學(xué)年上海市曹楊高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________.【答案】【詳解】利用正切型函數(shù)的最小正周期公式可知：函數(shù)的最小正周期為.2．在等差數(shù)列中，若，且，則_____．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)公差為，依題意得，即解得，所以，故答案為：2.3．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)2個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是_____．【答案】【詳解】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為.4．已知，，則______.【答案】【分析】利用兩角和差余弦公式將和分別展開(kāi)，再將兩式進(jìn)行加和減，可求得和，兩式相除即可求得結(jié)果.【詳解】…①，…②，①②得：，解得：；①②得：，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差余弦公式的應(yīng)用，涉及到同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量，則向量在向量方向上的投影的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】##(0.8,0.6)【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算以及投影坐標(biāo)的概念求解.【詳解】由題得，所以向量在向量方向上的投影數(shù)量為，與向量的同向單位向量為，所以向量在向量方向上的投影的坐標(biāo)為，故答案為:.6．方程在的解為_(kāi)_________.【答案】【分析】先由余弦的二倍角公式變形可得，再解關(guān)于的二次方程，再在求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得或，又，所以或，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式，重點(diǎn)考查了解三角方程，屬基礎(chǔ)題.7．已知復(fù)數(shù)滿足．若是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意求出，然后根據(jù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，且?fù)數(shù)在第一象限，又復(fù)數(shù)滿足，所以，因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則有，也即，所以，則，故答案為：.8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和為，再用極限求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，得到，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故答案為：3.9．已知甲袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、5個(gè)黑球；乙袋中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)____．【答案】##0.68【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求解即可.【詳解】由題，甲袋中共有10個(gè)球，乙袋中共有10個(gè)球，則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為，取出的2個(gè)球顏色不同，可能為：（甲白，乙紅），（甲白，乙黑），（甲紅，乙白），（甲紅，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙紅），則2個(gè)球顏色不同的基本事件數(shù)為，所以，故答案為：10．如圖，在中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動(dòng)直徑，則的取值范圍是__．【答案】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知，中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動(dòng)直徑，所以為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，即所以，?dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取最大值，反向時(shí)取最小值，所以的取值范圍是，故答案為：11．已知數(shù)列和滿足：①；②和中有且僅有一個(gè)成立，那么的值為_(kāi)_．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式結(jié)合累加法可求解.【詳解】若成立，則以上式子累加得，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以；若成立，則，因?yàn)橐陨鲜阶永奂拥茫忠驗(yàn)?，所以，所以；故答案為?25.12．已知(為虛數(shù)單位)．設(shè)集合，則集合中的元素在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)所形成圖形的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到中的元素在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，并求出范圍，確定表示的區(qū)域即可求解.【詳解】由題可知，所以，設(shè)中的元素在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，因?yàn)椋运?，又由得，所以，所以點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)圍成的區(qū)域如下：所以區(qū)域面積等于，故答案為:.二、單選題13．下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中，說(shuō)法正確的是A．頻率就是概率 B．頻率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．概率是穩(wěn)定的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān) D．概率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)頻率、概率的概念，可得結(jié)果.【詳解】頻率指的是：在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)除以總數(shù)，是變化的概率指的是：在大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率，是不變的故選：C【點(diǎn)睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬基礎(chǔ)題.14．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】B【分析】先將兩個(gè)三角的名字根據(jù)誘導(dǎo)公式化為相同，然后再平移即可.【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位得：故選：B15．在四邊形中，，若，且，則（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性表示以及運(yùn)算結(jié)合圖形求解.【詳解】如圖，過(guò)作，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?所以.故選:D.16．設(shè)實(shí)數(shù)，給出如下兩個(gè)命題：①存在，使得，，，按某種順序可組成等差數(shù)列；②存在，使得，，，按某種順序可組成等比數(shù)列．則（

）A．①②均為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①②均為假命題【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換即可求解.【詳解】假設(shè)角與單位圓的交點(diǎn)為，因?yàn)椋?，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，，所以，，，中最小，最大，若成等差數(shù)列，則，即即即因?yàn)?，所以，則所以，而，故不成立，所以，，，不可能按某種順序組成等差數(shù)列；若成等比數(shù)列，則，即，因?yàn)?，所以方程無(wú)解，所以，，，不可能按某種順序組成等比數(shù)列；故選：D.三、解答題17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求角的大?。?2)若，的面積，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?（2），所以，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為．18．已知，且，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿足．(1)求；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)根，求的所有可能值．【答案】(1)(2)或【分析】(1)根據(jù)虛部等于零時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)即可求解；(2)將原方程轉(zhuǎn)化為，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，分類(lèi)討論求解.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，又，所以，即；?）因?yàn)?，，所以，設(shè)實(shí)根為，則，所以，所以，因?yàn)樗曰颍?，則無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去；若，則，所以，又由(1)知，所以，所以或.19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中、分別為函數(shù)圖象相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和4，且．(1)求的值，并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)記，求函數(shù)，的值域．【答案】(1)，，；單調(diào)增區(qū)間為；(2)【分析】（1）首先根據(jù)函數(shù)的周期求得的值，設(shè)，，利用求得的值，然后通過(guò)代入點(diǎn)求得的值，進(jìn)而通過(guò)解析式求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）首先通過(guò)（1）求得的解析式，進(jìn)而通過(guò)三角函數(shù)恒等變換公式將其化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再通過(guò)函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)值域即可.【詳解】（1）由圖像得，即，所以，得.設(shè)，，由，得，又因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入解析式得，即，得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為所以．20．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)設(shè)，求實(shí)數(shù)、的值；(2)若，求的值；(3)設(shè)點(diǎn)滿足，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)向量的減法運(yùn)算和線性表示即可求解；(2)利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解；(2)用基底表示出向量，再用數(shù)量積運(yùn)算律表示出模長(zhǎng)，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以；?）；（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?,所以,,所以,即，得證.21．對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，設(shè)集合．若為有限集，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．(1)已知數(shù)列滿足，判斷是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，數(shù)列滿足．若為“數(shù)列”，求首項(xiàng)的值；(3)設(shè)．若數(shù)列為“數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值集合．【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)，計(jì)算即可；（2），當(dāng)時(shí)，，分，兩種情況討即可；（3）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，必存在，使得，則，因此集合中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)，為有限集；為無(wú)理數(shù)時(shí)，用反證法證明解決即可.