二次函數(shù)壓軸題最短路徑問(wèn)題

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)最短路徑問(wèn)題——和最小【方法說(shuō)明】“和最小”問(wèn)題常見(jiàn)的問(wèn)法是，在一條直線上面找一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和最?。▽④婏嬹R問(wèn)題）．如圖所示，在直線l上找一點(diǎn)P使得PA＋PB最?。?dāng)點(diǎn)P為直線AB′與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA＋PB最?。痉椒w納】①如圖所示，在直線l上找一點(diǎn)B使得線段AB最?。^(guò)點(diǎn)A作AB⊥l，垂足為B，則線段AB即為所求．②如圖所示，在直線l上找一點(diǎn)P使得PA＋PB最?。^(guò)點(diǎn)B作關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，BB′與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB最小，則點(diǎn)P即為所求．③如圖所示，在∠AOB的邊AO，BO上分別找一點(diǎn)C，D使得PC＋CD＋PD最小．過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于AO，BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，并與AO，BO分別交于點(diǎn)C，D，此時(shí)PC＋CD＋PD最小，則點(diǎn)C，D即為所求．④如圖所示，在∠AOB的邊AO，BO上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)使得DE＋EF＋CF最?。謩e過(guò)點(diǎn)C，D作關(guān)于AO，BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，C′，連接D′C′，并與AO，BO分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，此時(shí)DE＋EF＋CF最小，則點(diǎn)E，F(xiàn)即為所求．⑤如圖所示，長(zhǎng)度不變的線段CD在直線l上運(yùn)動(dòng)，在直線l上找到使得AC＋BD最小的CD的位置．分別過(guò)點(diǎn)A，D作AA′∥CD，DA′∥AC，AA′與DA′交于點(diǎn)A′，再作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′與直線l交于點(diǎn)D′，此時(shí)點(diǎn)D′即為所求．⑥如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為拋物線（y＝eq\f(1,4)x2）上的一點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1）在y軸正半軸．點(diǎn)P在什么位置時(shí)PA＋PB最??？過(guò)點(diǎn)B作直線l：y＝－1的垂線段BH′，BH′與拋物線交于點(diǎn)P′，此時(shí)PA＋PB最小，則點(diǎn)P即為所求．【典型例題】1．（13廣東）已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2－1．（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC＋PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函數(shù)解析式，令x＝0，求出y的值，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)當(dāng)P、C、D共線時(shí)根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直線解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題過(guò)程】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），∴代入二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴拋物線的頂點(diǎn)為：D（2，－1），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）當(dāng)P、C、D共線時(shí)PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，當(dāng)y＝0時(shí)，－2x＋3＝0，解得x＝eq\f(3,2)，∴PC＋PD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（eq\f(3,2)，0）．【方法二】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，∵PO∥DE，∴eq\f(PO,DE)＝eq\f(CO,CE)，∴eq\f(PO,2)＝eq\f(3,4)，解得：PO＝eq\f(3,2)，∴PC＋PD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（eq\f(3,2)，0）．2．（11菏澤）如圖，拋物線y＝eq\f(1,2)x2＋bx﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC＋MD的值最小時(shí)，求m的值．【思路點(diǎn)撥】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出b的值，即可得出拋物線的解析式，通過(guò)配方法即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）觀察發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形，可以通過(guò)勾股定理的逆定理證明．由拋物線的解析式，分別求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再得出AB，AC，BC的長(zhǎng)度，易得AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC是直角三角形；（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C'D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知MC＋MD的值最?。蟪鲋本€C'D的解析式，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出m的值．【解題過(guò)程】解：（1）∵點(diǎn)A（－1，0）在拋物線y＝eq\f(1,2)x2＋bx－2上，∴eq\f(1,2)×（－1）2＋b×（－1）－2＝0，解得b＝－eq\f(3,2)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)（x－eq\f(3,2)）2－eq\f(25,8)，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（eq\f(3,2)，－eq\f(25,8)）．（2）當(dāng)x＝0時(shí)y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．當(dāng)y＝0時(shí)，eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′＝2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC＋MD的值最小．【方法一】設(shè)直線C′D的解析式為y＝kx＋n，則eq\b\lc\{(\a\al(n＝2,\f(3,2)k＋n＝－\f(25,8)))，解得：eq\b\lc\{(\a\al(n＝2,k＝－\f(41,12)))．∴y＝－eq\f(41,12)x＋2．∴當(dāng)y＝0時(shí)，－eq\f(41,12)x＋2＝0，x＝eq\f(24,41)．∴m＝eq\f(24,41)．【方法二】設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E．∵ED∥y軸，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM，∴△C′OM∽△DEM．∴eq\f(OM,EM)＝eq\f(OC′,ED)，∴eq\f(m,\f(3,2)－m)＝eq\f(2,\f(25,8))，∴m＝eq\f(24,41)．3．（11福州）已知，如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：y＝eq\f(\r(,3),3)x＋eq\r(,3)對(duì)稱(chēng)．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；（2）求二次函數(shù)解析式；（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）二次函數(shù)y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一個(gè)未知參數(shù)a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），即可得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l的解析式即可判斷A（2）根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：y＝eq\f(\r(,3),3)x＋eq\r(,3)對(duì)稱(chēng)，得出AH＝AB＝4，過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，得AC＝eq\f(1,2)AB＝2，利用勾股定理求出HC的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；（3）直線BK∥AH易得直線BK的解析式，聯(lián)立直線l的解析式方程組，即可求出K的坐標(biāo)．因?yàn)辄c(diǎn)H，B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng)，所以HN＝BN，所以根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值為BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的長(zhǎng)即可．【解題過(guò)程】解：（1）依題意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∵直線l：y＝eq\f(\r(,3),3)x＋eq\r(,3)，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝eq\f(\r(,3),3)×(－3)＋eq\r(,3)＝0，∴點(diǎn)A在直線l上．（2）∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：y＝eq\f(\r(,3),3)x＋eq\r(,3)對(duì)稱(chēng)，∴AH＝AB＝4，過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，則AC＝eq\f(1,2)AB＝2，HC＝2eq\r(,3)，∴頂點(diǎn)H（－1，2eq\r(,3)），代入二次函數(shù)解析式，解得a＝－eq\f(\r(,3),2)，∴二次函數(shù)解析式為y＝－eq\f(\r(,3),2)x2－eq\r(,3)x＋eq\f(3\r(,3),2)，（3）直線AH的解析式為y＝eq\r(,3)x＋3eq\r(,3)，直線BK的解析式為y＝eq\r(,3)x＋3eq\r(,3)，由eq\b\lc\{(\a\al(y＝\f(\r(,3),3)x＋\r(,3),y＝\r(,3)x－\r(,3)))QUOTE&y=33x+3&y=3x﹣3，解得eq\b\lc\{(\a\al(x＝3,y＝2\r(,3)))，即K（3，2eq\r(,3)），則BK＝4，∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng)，∴HN＋MN的最小值是MB，KD＝KE＝2eq\r(,3)，過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，則QM＝MK，QE＝EK＝2eq\r(,3)，AE⊥QK，∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN＋NM＋MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值為8．4．（14海南）如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過(guò)A（－1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a＋1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，可以得出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x－2）2＋k，再把點(diǎn)A，B的代入即可求出拋物線的解析式；（2）求四邊形MEFP的面積的最大值，要先表示出四邊形MEFP面積．直接求不好求，可以考慮用割補(bǔ)法來(lái)求，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，由S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME即可得出；（3）四邊形PMEF的四條邊中，線段PM，EF長(zhǎng)度固定，當(dāng)ME＋PF取最小值時(shí)，四邊形PMEF的周長(zhǎng)取得最小值．將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得到點(diǎn)M1（1，1），作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M2（1，－1），連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME＋PF＝PM2最?。窘忸}過(guò)程】解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－2）2＋k．將A（－1，0），C（0，5）代入得：eq\b\lc\{(\a\al(9a＋k＝0,4a＋k＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝－1,k＝9))，∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設(shè)P（x，－x2＋4x＋5），如答圖2，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝eq\f(1,2)（PN＋OF）?ON－eq\f(1,2)PN?MN－eq\f(1,2)OM?OE＝eq\f(1,2)（x＋2）（－x2＋4x＋5）－eq\f(1,2)x?（－x2＋4x＋4）－eq\f(1,2)×1×1＝－x2＋eq\f(9,2)x＋eq\f(9,2)＝－（x－eq\f(9,4)）2＋eq\f(153,16)∴當(dāng)x＝eq\f(9,4)時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為eq\f(153,16)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（eq\f(9,4)，eq\f(153,16)）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±eq\r(,6)．∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2＋eq\r(,6)，3）．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME＋PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M2，則M2（1，－1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME＋PF＝PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y＝mx＋n，將P（2＋eq\r(,6)，3），M2（1，－1）代入得：eq\b\lc\{(\a\al((2＋\r(,6))m＋n＝3,m＋n＝－1))，解得：m＝eq\f(4\r(,6)－4,5)，n＝eq\f(4\r(,6)＋4,5)，∴y＝eq\f(4\r(,6)－4,5)x－eq\f(4\r(,6)＋4,5)．當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝eq\f(\r(,6)＋5,4)．∴F（eq\f(\r(,6)＋5,4)，0）．∵a＋1＝eq\f(\r(,6)＋5,4)，∴a＝eq\f(\r(,6)＋1,4)．∴a＝eq\f(\r(,6)＋1,4)時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小．圖1圖22．（14福州）如圖，拋物線y＝eq\f(1,2)(x3)21與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D了．（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD．求證：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫(huà)圓，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】（1）由頂點(diǎn)式直接得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再令y＝0，得eq\f(1,2)(x3)21＝0解出方程，即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)HD與AE相交于點(diǎn)F，可以發(fā)現(xiàn)△HEF與△ADF組成一個(gè)“8字型”．對(duì)頂角∠HFE＝∠AFD，只要∠FHE＝∠FAD即可．因?yàn)椤螮HF＝90°，只需證明∠EAD＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE為直角三角形，得∠FHE＝∠FAD＝90°即可得出結(jié)論；（3）先畫(huà)出圖形．因?yàn)镻Q為⊙E的切線，所以△PEQ為直角三角形，半徑EQ長(zhǎng)度不變，當(dāng)斜邊PE最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小．設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解題過(guò)程】解：（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．令y＝0，得eq\f(1,2)(x3)21＝0，解得x1＝3＋eq\r(,2)，x2＝3eq\r(,2)．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)(3eq\r(,2)，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)（3eq\r(,2)，0）．（2）過(guò)D作DG⊥y軸，垂足為G．則G（0，1），GD＝3．令x＝0，則y＝eq\f(7,2)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，eq\f(7,2)）．∴GC＝eq\f(7,2)(1)＝eq\f(9,2)．設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M．∵OE⊥CD，∴∠GCD＋∠COH＝90．∵∠MOE＋∠COH＝90，∴∠MOE＝∠GCD．又∵∠CGD＝∠OMN＝90，∴△DCG∽△EOM．∴eq\f(CG,OM)＝eq\f(DG,EM)，即eq\f(\f(9,2),3)＝eq\f(3,EM)．∴EM＝2，即點(diǎn)E坐標(biāo)為(3，2)，ED＝3．由勾股定理，得AE2＝6，AD2＝3，∴AE2＋AD2＝6＋3＝9＝ED2．∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90．設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．∴∠ADC＋∠AFD＝90．又∵∠AEO＋∠HFE＝90，∴∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ2＝EP2－1．要使切線長(zhǎng)PQ最小，只需EP長(zhǎng)最小，即EP2最?。O(shè)P坐標(biāo)為（x，y），由勾股定理，得EP2＝(x－3)2＋(y－2)2．∵y＝eq\f(1,2)(x－3)2－1，∴(x－3)2＝2y＋2．∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5．當(dāng)y＝1時(shí)，EP2最小值為5．把y＝1代入y＝eq\f(1,2)(x－3)2－1，得eq\f(1,2)(x－3)21＝1，解得x1＝1，x2＝5．又∵點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，∴x1＝1舍去．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，1)．此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或(eq\f(19,5)，eq\f(13,5))．6．（14遂寧）已知：直線l：y＝﹣2，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO＝PQ．（3）請(qǐng)你參考（2）中結(jié)論解決下列問(wèn)題：（i）如圖②，過(guò)原點(diǎn)作任意直線AB，交拋物線y＝ax2＋bx＋c于點(diǎn)A、B，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別是點(diǎn)M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM．（ii）已知：如圖③，點(diǎn)D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，所以b＝0，再代入點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）即可求出拋物線的解析式；（2）由（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，分別表示出PE，PQ的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論；（3）（i）因?yàn)锽N∥AM，所以∠ABN＋∠BAM＝180°．由（2）的結(jié)論可得BO＝BN，AO＝AM，可得出∠BON＝∠BNO，∠AOM＝∠AMO，易得∠BON＋∠AOM＝90°再得到∠MON＝90°即可；（ii）如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：（1）由題意，得eq\b\lc\{(\a\al(－\f(b,2a)＝0,－1＝c,0＝4a＋2b＋c))，解得：eq\b\lc\{(\a\al(a＝\f(1,4),b＝0,c＝－1))，∴拋物線的解析式為：y＝eq\f(1,4)x2－1；（2）如圖①，設(shè)P（a，eq\f(1,4)a2﹣1），就有OE＝a，PE＝eq\f(1,4)a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ＝2，∴QP＝eq\f(1,4)a2＋1．在Rt△POE中，由勾股定理，得PO＝eq\r(,a2＋(\f(1,4)a2－1)2)＝eq\f(1,4)a2＋1，∴PO＝PQ；（3）（i）如圖②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN＝BO，AM＝AO，BN∥AM，∴∠BNO＝∠BON，∠AOM＝∠AMO，∠ABN＋∠BAM＝180°．∵∠BNO＋∠BON＋∠NBO＝180°，∠AOM＋∠AMO＋∠OAM＝180°，∴∠BNO＋∠BON＋∠NBO＋∠AOM＋∠AMO＋∠OAM＝360°，∴2∠BON＋2∠AOM＝180°，∴∠BON＋∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴ON⊥OM；（ii）如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，∴∠EGH＝∠GHF′＝∠F′EG＝90°，F(xiàn)O＝FG，F(xiàn)′H＝F′O，∴四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O＋FD＝FG＋FD＝DG，F(xiàn)′O＋F′D＝F′H＋F′D，∴EG＝F′H，∴DE＜DF′，∴DE＋GE＜HF′＋DF′，∴DG＜F′O＋DF′，∴FO＋FD＜F′O＋DF′，∴F是所求作的點(diǎn)．∵D（1，1），∴F的橫坐標(biāo)為1，∴F（1，eq\f(5,4)）．【舉一反三】1．（12濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)．（1）求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，求AM＋OM的最小值．2．（13成都）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝﹣eq\f(1,2)x2＋bx＋c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q．（i）若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；（ii）取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究eq\f(PQ,NP＋BQ)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（11眉山）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（﹣4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较?0°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說(shuō)明d2＝d1＋1；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)有最小值，并求出△PAC的周長(zhǎng)的最小值．【參考答案】1．解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\al(4a－2b＋c＝－4,4a＋2b＋c＝0,c＝0))，解得a＝﹣eq\f(1,2)，b＝1，c＝0，∴解析式為y＝﹣eq\f(1,2)x2＋x．（2）由y＝﹣eq\f(1,2)x2＋x＝﹣eq\f(1,2)（x﹣1）2＋eq\f(1,2)，可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，并且對(duì)稱(chēng)軸垂直平分線段OB，∴OM＝BM，∴OM＋AM＝BM＋AM，連接AB交直線x＝1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM＋AM最小，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，在Rt△ABN中，AB＝eq\r(,AN2＋BN2)＝eq\r(,42＋42)＝4eq\r(,2)，∴OM＋AM最小值為4eq\r(,2)．2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，－1），C的坐標(biāo)為（4，3），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，－1）．∵拋物線過(guò)A（0，－1），B（4，－1）兩點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\al(c＝－1,－\f(1,2)×16＋4b＋c＝－1))，解得：b＝2，c＝－1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝－eq\f(1,2)x2＋2x－1．（2）（i）∵A（0，－1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y＝x－1．設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P0，則由（1）可得P0的坐標(biāo)為（2，1），且P0在直線AC上．∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，∴可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m－1），則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝－eq\f(1,2)（x－m）2＋m－1．解方程組：eq\b\lc\{(\a\al(y＝x－1,y＝－\f(1,2)(x－m)2＋(m－1)))，解得eq\b\lc\{(\a\al(x1＝m,y1＝m－1))，eq\b\lc\{(\a\al(x2＝m－2,y2＝m－3))，∴P（m，m－1），Q（m－2，m－3）．過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸，則PE＝m－（m－2）＝2，QF＝（m－1）－（m－3）＝2．∴PQ＝2eq\r(,2)＝AP0．若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為2eq\r(,2)（即為PQ的長(zhǎng)）．由A（0，－1），B（4，－1），P0（2，1）可知，△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0＝2eq\r(,2)．如答圖1，過(guò)點(diǎn)B作直線l1∥AC，交拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋2x－1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．∴可設(shè)直線l1的解析式為：y＝x＋b1，∵B（4，－1），∴－1＝4＋b1，解得b＝＝－5，∴直線l1的解析式為：y＝x－5．解方程組eq\b\lc\{(\a\al(y＝x－5,y＝－\f(1,2)x2＋2x－1))，得：eq\b\lc\{(\a\al(x1＝4,y1＝－1))，eq\b\lc\{(\a\al(x2＝－2,y2＝－7))，∴M1（4，－1），M2（－2，－7）．②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：MP＝MQ＝2，可求得點(diǎn)M到PQ的距離為2．如答圖2，取AB的中點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，－1）．由A（0，－1），F(xiàn)（2，－1），P0（2，1）可知：△AFP0為等腰直角三角形，且點(diǎn)F到直線AC的距離為2．過(guò)點(diǎn)F作直線l2∥AC，交拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋2x－1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．∴可設(shè)直線l2的解析式為：y＝x＋b2，∵F（2，－1），∴－1＝2＋b2，解得b2＝－3，∴直線l2的解析式為：y＝x－3．解方程組