北京市昌平區(qū)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷+答案

昌平區(qū)2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷2023.1本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則集合（）A. B.C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，且滿足，則（）A.1 B. C.2 D.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.4.若，，則一定有（）A. B. C. D.5.已知二項式的展開式中的系數(shù)是10，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.26.若，則（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的（）A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.圖1：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在圖2中，將小球放入容器中從頂部下落，則小球落入D區(qū)的路線數(shù)有（）A.16 B.18 C.20 D.229.設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點，交拋物線于點，交準(zhǔn)線于點（在軸的兩側(cè)）.若，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.10.已知向量滿足，則的最大值是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為__________.12.已知雙曲線的焦點為，點在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為__________；若，則__________.13.在中，，則__________，__________.14.若直線與圓有公共點，則的最小值為__________.15.已知正三棱錐的六條棱長均為是底面的中心，用一個平行于底面的平面截三棱錐，分別交于點（不與頂點，重合）.給出下列四個結(jié)論：①三棱錐為正三棱錐；②三棱錐的高為；③三棱錐的體積既有最大值，又有最小值；④當(dāng)時，.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，再從條件①?條件②?條件③中選擇一個作為已知，（1）求解析式；（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到；條件③：函數(shù)圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.注：如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.17.不粘鍋是家庭常用廚房用具，近期，某市消費者權(quán)益保護(hù)委員會從市場上購買了12款不粘鍋商品，并委托第三方檢測機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測.本次選取了食物接觸材料安全項目中與消費者使用密切相關(guān)的6項性能項目進(jìn)行比較試驗，性能檢測項目包含不粘性?耐磨性?耐堿性?手柄溫度?溫度均勻性和使用體驗等6個指標(biāo).其中消費者關(guān)注最多的兩個指標(biāo)“不沾性?耐磨性”檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：檢測結(jié)果序號品牌名稱不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ級Ⅰ級2品牌2Ⅱ級Ⅰ級3品牌3Ⅰ級Ⅰ級4品牌4Ⅱ級Ⅱ級5品牌5Ⅰ級Ⅰ級6品牌6Ⅱ級Ⅰ級7品牌7Ⅰ級Ⅰ級8品牌8Ⅰ級Ⅰ級9品牌9Ⅱ級Ⅱ級10品牌10Ⅱ級Ⅱ級11品牌11Ⅱ級Ⅱ級12品牌12Ⅱ級Ⅱ級（Ⅰ級代表性能優(yōu)秀，Ⅱ級代表性能較好）（1）從這12個品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率；（2）從前六個品牌中隨機(jī)選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從后六個品牌中隨機(jī)選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù)，比較隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的大小（結(jié)論不要求證明）.18.如圖，在多面體中，側(cè)面為矩形，平面，平面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求直線到平面的距離.19.已知橢圓過點，且離心率是.（1）求橢圓的方程和短軸長；（2）已知點，直線過點且與橢圓有兩個不同的交點，問：是否存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：對任意的恒成立.21.已知數(shù)列滿足：，且.記集合.（1）若，寫出集合的所有元素；（2）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合的元素個數(shù)的最大值.答案本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.C第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.12.；13.①②##14.515.①②④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）;選①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，所以，則，由，可得，則；選②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，即的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，則，則.選③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為，故，故.（2）當(dāng)時，,則，故，又當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，故,即實數(shù)的取值范圍為.17.（1）“不粘性”性能都是Ⅰ級的品牌有5個，記事件A為兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級，則（2）前六個品牌中性能都是Ⅰ級的品牌有3個，可能取值為0,1,2,;;;∴分布列為X012P（3）后六個品牌性能都是Ⅰ級的品有2個，可能取值為0,1,2,；；；∴數(shù)學(xué)期望為18.（1）證明：由題意平面，平面,故平面平面，又側(cè)面為矩形，故,而平面平面平面，所以平面，又平面，所以,而平面，平面，故平面.（2）因為平面，平面，故，而平面，故以A為坐標(biāo)原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為,則,則設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.（3）因為側(cè)面為矩形，所以,而平面,平面,故平面，則直線到平面的距離即為點到平面的距離，，平面的法向量為，故點到平面的距離為,即直線到平面的距離為.19.（1）由題意知橢圓過點，且離心率是，則，且，故橢圓的方程為，短軸長為.（2）假設(shè)存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形,由于直線過點,當(dāng)直線斜率不存在時,直線l為，此時為橢圓的短軸上的兩頂點，此時是以點為頂點的等腰三角形；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，當(dāng)直線與橢圓C有兩個不同的交點時，該方程，整理得，設(shè)，則，所以，設(shè)的中點為點D，則，即，則,當(dāng)時，斜率不存在，此時的斜率k為0，不滿足，故，由題意可知,即，解得或，由于，故或不適合題意，綜合以上，存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形.20.（1）當(dāng)時，，，所以切線方程為.（2）依題意，，，當(dāng)時，，解得,則在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.當(dāng)時，解得或,當(dāng)時，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.當(dāng)時，在上遞增.當(dāng)時，在區(qū)間遞增；區(qū)間遞減.（3）當(dāng)時，，由（2）可知，在遞減，在遞增，所以，所以對任意的恒成立.21.（1）若，則，，，，故中的項的大小從第3項開始周期變化，且周期為2.故.（2）設(shè)，若，則，因互質(zhì)，故為3的倍數(shù)；若，則即，因互質(zhì)，故為3的倍數(shù)，依次類推，有均為3的倍數(shù).當(dāng)時，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：也是3的倍數(shù).當(dāng)時，若，則，故為3的倍數(shù)；若，則，故為3的倍數(shù)，設(shè)當(dāng)時，是3的倍數(shù)即為3的倍數(shù)，若，則，故為3的倍數(shù)；若，則，因為3的倍數(shù)，故為3的倍數(shù)，故當(dāng)時，是3的倍數(shù)也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得是3的倍數(shù)成立，綜上，的所有元素都是3的倍數(shù).（3）當(dāng)，則，，，，故的元素個數(shù)為5；