給-第九章4重積分應(yīng)用

重積分的應(yīng)用教學(xué)目的：學(xué)會用重積分計(jì)算曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量與引力．教學(xué)內(nèi)容：曲面面積的計(jì)算公式；物體重心的計(jì)算公式；轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算公式；引力的計(jì)算公式．基本要求：掌握曲面面積的計(jì)算公式，了解物體重心的計(jì)算公式，轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算公式和引力的計(jì)算公式．曲面的面積質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量引力求由方程所確定的曲面S

的面積對區(qū)域D

作分割T,一、曲面和面積曲面面積的計(jì)算公式先計(jì)算Ai

的面積.所以若曲面方程為則該曲面的面積S

為說明:

則曲面面積S

：如果曲面方程為如果曲面方程為則有公式：例1求圓錐在圓柱體內(nèi)那一部分的面積.解所求面積的曲面的方程為所以例2xyzo11xyzo1.例2xyzo11DS.......例2aaxz

y0設(shè)圓柱面為考慮第一卦限例3Daa..xz

y0aaxoyD.....設(shè)圓柱面為.例3ayxzo例4xyzoDS=共同的D:..例42xzyo例5xzy2問題：曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？.o只能向xoz平面投影例5xzy2得z=2.Dxz..o其中，例5xzy2Dxz....得z=2.o.其中，例5設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),由力學(xué)知,分別位于其質(zhì)量分別為該質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心坐標(biāo)為二、質(zhì)心設(shè)空間物體V,有連續(xù)密度函數(shù)采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心坐標(biāo)公式.求V

的質(zhì)心坐標(biāo).將V

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)的質(zhì)心坐標(biāo).例如,此質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量為在第i塊上任取一點(diǎn)令各小區(qū)域的最大直徑即得其中m

為物體V

的質(zhì)量，同理可得

則其中V

表示區(qū)域V

的體積若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(SD

為D

的面積)則則它的重心坐標(biāo)為其面密度為

例6.求位于兩圓

和之間均勻薄片的質(zhì)心.解:

利用對稱性可知而質(zhì)點(diǎn)A

對于軸l

的轉(zhuǎn)動慣量J

慣量可用積分計(jì)算.質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)和A

與轉(zhuǎn)動軸l

的距離r

的平方的乘積,即

三、轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動等于A

的質(zhì)量m

設(shè)在該物體位于(x,y,z)處取一微元，因此該物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量為其體積記為dV

，質(zhì)量為

到z

軸的距離為從而為空間物體V

的密度函數(shù)，求V

對

z

軸的轉(zhuǎn)動慣量.類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量一般說來，若V

中的點(diǎn)(x,y,z)到轉(zhuǎn)動軸l

的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為對坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動慣量分別為對xy

平面的轉(zhuǎn)動慣量對yz

平面的轉(zhuǎn)動慣量對xz

平面的轉(zhuǎn)動慣量如果物體D

是平面薄片,

面密度為

則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.一般說來，若D

中的點(diǎn)(x,y)到轉(zhuǎn)動軸l

的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為例7求密度均勻的圓環(huán)D

對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動慣量解設(shè)圓環(huán)D

為密度為ρ，則D

中任一點(diǎn)(x,y)與轉(zhuǎn)軸的距離為于是轉(zhuǎn)動慣量例8.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)薄片的密度為ρ，則求密度為的物體V

對物體外質(zhì)量為1的的單位質(zhì)點(diǎn)A

的引力在該物體位于(x,y,z)處取一微元，其體積記為dV

，質(zhì)量為

對質(zhì)點(diǎn)A

的引力為設(shè)A

點(diǎn)的坐標(biāo)為四、引力該引力在坐標(biāo)軸上的投影