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Hamilton-Cayley定理的計算應(yīng)用及冪等變換的性質(zhì)特征集美大學(xué)理學(xué)院朱榮坤2006.3
傳統(tǒng)的《高等代數(shù)》教材,在介紹完Hamilton-Cayley定理(即:方陣A的特征多項式是A的零化多項式)之后,利用該定理對“線性空間的直和分解”和“最小多項式”理論推導(dǎo)了相關(guān)結(jié)論,但未涉及它在計算方面的應(yīng)用。以下簡單考慮該定理在矩陣計算方面的兩個應(yīng)用,旨在拋磚引玉。1.求矩陣大方冪
一般地,矩陣大方冪的求法有二:一是尋找規(guī)律,利用數(shù)學(xué)歸納法;二是該矩陣可以對角化,從而轉(zhuǎn)化為對角矩陣的方冪運算。利用Hamilton-cayley定理也不失為一個有效的方法,值得在教學(xué)過程中加以介紹。例
,求解:特征多項式,由帶余除法可設(shè)令,得;令,得又是三重根,故有,得最后有利用定理即得:
2.求逆矩陣?yán)?/p>
可逆矩陣的逆矩陣與伴隨矩陣都可表示為的多項式利用證設(shè)特征多項式定理,則有而可逆,得從而以及證畢。[利用該結(jié)論即可做具體的求逆計算]
冪等變換是一類較為常見的線性變換,它有著良好的性質(zhì)特征,并且涉及了線性變換的諸多內(nèi)容,對訓(xùn)練學(xué)生融會貫通“線性變換”知識點有較好的作用。以下對冪等變換的良好性質(zhì)作歸納整理,供教學(xué)上參考。A3.值域A=對應(yīng)于特征值1的特征子空間核A-1(0)=對應(yīng)于特征值0的特征子空間=
4.=AA-1(0),且A是平行于核在值域上的投影;[考慮A+(E-A)
易證]5.值域A與核A-1(0)對的線性變換B不變的充要條件是A,B可交換;6.E+A
為可逆變換;[逆為E-A/2]7.秩(A)+秩(E-A)=;[A-1(0)=
A=(E-A),已知A與A-1(0)的維數(shù)和=
]8.A必可對角化,且關(guān)于
某個基的矩陣為
設(shè)A是維線性空間的冪等變換(A2=A),則有以
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