一 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

一

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

動(dòng)量力的累積效應(yīng)對(duì)積累對(duì)積累重寫(xiě)牛頓第二定律的微分形式動(dòng)量定理沖量

力對(duì)時(shí)間的積分（矢量）

動(dòng)量定理

在給定的時(shí)間內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量.(2)分量形式動(dòng)量定理的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)沖量的方向：沖量

的方向一般不是某一瞬時(shí)力

的方向，而是所有元沖量的合矢量的方向。(3)動(dòng)量定理在打擊或碰撞問(wèn)題中用來(lái)求平均力。打擊或碰撞，力的方向保持不變，曲線與t軸所包圍的面積就是t1到t2這段時(shí)間內(nèi)力的沖量的大小，根據(jù)改變動(dòng)量的等效性，得到平均力。平均沖力(4)對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，不考慮內(nèi)力。(5)動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其使用范圍是慣性系。(6)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。例1、質(zhì)量為2.5g的乒乓球以10m/s的速率飛來(lái)，被板推擋后，又以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為45o和30o，求：（1）乒乓球得到的沖量；（2）若撞擊時(shí)間為0.01s，求板

施于球的平均沖力的大小和方向。45o30o

nv2v145o30o

nv2v1Oxy解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用時(shí)間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對(duì)球的沖力為則有：取坐標(biāo)系，將上式投影，有：mv2mv1mv1為I與

x方向的夾角

例2

質(zhì)量M=3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。h解：以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖：解法一：錘對(duì)工件的沖力變化范圍很大，采用平均沖力計(jì)算，其反作用力用平均支持力代替。在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。末狀態(tài)動(dòng)量為0初狀態(tài)動(dòng)量為得到解得代入M、h、的值，求得：(1)(2)解法二：考慮從錘自由下落到靜止的整個(gè)過(guò)程，動(dòng)量變化為零。重力作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為根據(jù)動(dòng)量定理，整個(gè)過(guò)程合外力的沖量為零，即得到解法一相同的結(jié)果質(zhì)點(diǎn)系二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量.因?yàn)閮?nèi)力，故注意內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量初始速度則推開(kāi)后速度且方向相反則推開(kāi)前后系統(tǒng)動(dòng)量不變?nèi)齽?dòng)量守恒定律=常矢量如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即）1.合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；2.合外力沿某一方向?yàn)榱?，在該方向上?dòng)量守恒；說(shuō)明動(dòng)量守恒定律直角坐標(biāo)系下的分量形式=常量=常量=常量由于則有例P68：質(zhì)量為m的人站在長(zhǎng)為L(zhǎng)的平板車(chē)上，假如路面是平滑的，當(dāng)人從車(chē)的一端由靜止開(kāi)始走向車(chē)的另一端時(shí)，求平板車(chē)在路面上移動(dòng)的距離和人相對(duì)于路面實(shí)際走的路程Lxs例一質(zhì)量為m=60kg的人靜止地站在一條質(zhì)量為M=600kg，正以速率向湖岸駛近的小木船上，湖水是靜止的，其阻力不計(jì)，現(xiàn)在人相對(duì)于船以一水平速度沿船的前進(jìn)方向河岸跳去，該人起跳后，船速減為，對(duì)的大小，有人解法如下：解出：這個(gè)解法是否正確？若有錯(cuò)誤請(qǐng)指出并給出正確解答。四變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程物體m與質(zhì)量元dm在t時(shí)刻的速度以及在t+dt時(shí)刻合并后的共同速度如圖所示：mdmm+dm把物體與質(zhì)量元作為系統(tǒng)考慮，初始時(shí)刻與末時(shí)刻的動(dòng)量分別為：初始時(shí)刻末時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)利用動(dòng)量定理略去二階小量，兩端除dt變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)微分方程值得注意的是，dm可正可負(fù)，當(dāng)dm取負(fù)時(shí)，表明物體質(zhì)量減小，對(duì)于火箭之類(lèi)噴射問(wèn)題，為尾氣反推力?；鸺w行設(shè)在某一瞬時(shí)，火箭的質(zhì)量為，速度為，在其后到時(shí)間內(nèi)，火箭噴出了質(zhì)量為的氣體，是質(zhì)量在時(shí)間內(nèi)的增量，噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為，使火箭的速度增加了。噴氣前總動(dòng)量為：噴氣后火箭的動(dòng)量為：所噴出燃?xì)獾膭?dòng)量為：mtt+dtm-dmdm由于火箭不受外力的作用，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。根據(jù)動(dòng)量守恒定律設(shè)燃?xì)庀鄬?duì)于火箭的噴氣速度是一常量化簡(jiǎn)設(shè)火箭開(kāi)始飛行的速度為零，質(zhì)量為，燃料燒盡時(shí)，火箭剩下的質(zhì)量為，此時(shí)火箭能達(dá)到的速度是火箭的質(zhì)量比多級(jí)火箭第i級(jí)火箭噴氣速率第i級(jí)火箭質(zhì)量比(1)確定研究系統(tǒng)(2)寫(xiě)出系統(tǒng)動(dòng)量表達(dá)式(3)求出系統(tǒng)動(dòng)量變化率(4)分析系統(tǒng)受力(5)應(yīng)用動(dòng)量定理求解變質(zhì)量問(wèn)題的處理方法例1：勻加速提柔軟鏈條例2：裝煤車(chē)的牽引力例3：一長(zhǎng)為l，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，將其卷成一堆放在地面上，如圖所示。若用手握住鏈條的一端，以加速度a從靜止勻加速上提。當(dāng)鏈條端點(diǎn)離地面的高度為x時(shí)，求手提力的大小。OX解：以鏈條為系統(tǒng)，向上為X正向，地面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。t時(shí)刻，系統(tǒng)總動(dòng)量t時(shí)刻，系統(tǒng)受合外力OX系統(tǒng)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率為：根據(jù)動(dòng)量定理，得到例4：列車(chē)在平直鐵軌上裝煤,列車(chē)空載時(shí)質(zhì)量為m0,煤炭以速率v1豎直流入車(chē)廂,每秒流入質(zhì)量為。假設(shè)列車(chē)與軌道間的摩擦系數(shù)為,列車(chē)相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)速度v2保持不變,求機(jī)車(chē)的牽引力。XY解：車(chē)和煤為系統(tǒng),向下為Y正向，向左為X正向，建立坐標(biāo)系。tt+dt時(shí)刻，dm=dtXYXY豎直水平

例5

質(zhì)量為m1

和m2的兩個(gè)小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對(duì)方。開(kāi)始時(shí)靜止，相距為l。問(wèn)他們將在何處相遇？解把兩個(gè)小孩和繩看作一個(gè)系統(tǒng)，水平方向不受外力，此方向的動(dòng)量守恒。建立如圖坐標(biāo)系。設(shè)開(kāi)始時(shí)質(zhì)量為m1

的小孩坐標(biāo)為x10,質(zhì)量為m2的小孩坐標(biāo)為x20，他們?cè)谌我鈺r(shí)刻的速度分別v1為v2,相應(yīng)坐標(biāo)為x1和x2由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得Cm