第十二章 壓桿穩(wěn)定

第十二章壓桿穩(wěn)定§12.1壓桿穩(wěn)定性的概念§12.2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式§12.3歐拉公式的適用范圍.經(jīng)驗(yàn)公式及壓桿的穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡微小擾動(dòng)就使小球遠(yuǎn)離原來(lái)的平衡位置。微小擾動(dòng)使小球離開原來(lái)的平衡位置，但擾動(dòng)撤銷后小球回復(fù)到平衡位置?！?2.1壓桿穩(wěn)定性的概念某施工工地腳手架細(xì)長(zhǎng)壓直桿的穩(wěn)定性（1）當(dāng)軸向力F較小時(shí)，其平衡形態(tài)為直線此時(shí)如有一微小的側(cè)向干擾力，壓桿會(huì)產(chǎn)生微小的橫向彎曲變形；一旦干擾力撤去，壓桿仍可回到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)。（2）當(dāng)軸向力F較大時(shí)，如有一微小的側(cè)向干擾力，壓桿產(chǎn)生彎曲變形；此時(shí)，原來(lái)的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的此時(shí)，原來(lái)的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的當(dāng)側(cè)向力去掉后，桿不能回到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)。而是處于微彎平衡狀態(tài)。使桿件保持直線平衡狀態(tài)的最大軸向壓力——臨界壓力使桿件保持微彎平衡狀態(tài)的最小軸向壓力——臨界壓力穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡桿件失穩(wěn)壓桿的臨界壓力Fcr越高，越不易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。研究壓桿穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定臨界壓力。細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)的應(yīng)力一般都小于強(qiáng)度破壞時(shí)的應(yīng)力。壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn)穩(wěn)定計(jì)算的重要性1983年10月4日，地處北京的中國(guó)社會(huì)科學(xué)院科研樓工地的鋼管腳手架在距離地面5m～6m處突然外弓，剎那間，這座高達(dá)54.2m、長(zhǎng)17.25m、總重565.4kN大型腳手架轟然坍塌，5人死亡、7人受傷。橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;

地面未夯實(shí)，局部桿受力大；與墻體連接點(diǎn)太少；安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。2000年10月25日南京電視臺(tái)演播中心工地事故造成5人死亡新華網(wǎng)南京10月25日電（記者王家言）今天上午10時(shí)30分，位于南京大光路北側(cè)的南京電視臺(tái)演播中心，在演播廳施工澆筑混凝土中，因腳手架失穩(wěn)，造成演播廳屋蓋模板倒塌，部分施工人員被壓。據(jù)統(tǒng)計(jì)，這次事故已造成5人死亡，另有35人受傷被送往醫(yī)院搶救和治療。2003年2月19日在浙江發(fā)生的腳手架倒塌事故

2004年5月12日上午9時(shí)20分，河南安陽(yáng)信益電子玻璃有限責(zé)任公司剛剛竣工的68米高煙囪施工工程，在準(zhǔn)備拆除煙囪四周腳手架時(shí)，上料架突然傾翻，30名正在施工的民工全部翻下墜落，造成21人死亡，9人受傷。

1907年8月29日，正在施工中的加拿大魁北克市圣勞倫斯河大鐵橋突然全橋坍塌，橋下的74人全部遇難。事故調(diào)查分析結(jié)果表明，它是橋下弦壓桿的穩(wěn)定性不足造成的。在19世紀(jì)末，當(dāng)一輛客車通過(guò)瑞士的一座鐵路橋時(shí)，桁架橋壓桿失穩(wěn)，致使橋發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇難。加拿大和俄國(guó)的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)造成災(zāi)難性事故。

1934年，前蘇聯(lián)在改建第聶伯羅彼得羅夫斯克城電車線路是，鋼軌和枕木都露在道蹅外面。鋼軌長(zhǎng)50m，其中間接合處是焊接的。白天氣候炎熱，比鋪設(shè)時(shí)高出30℃，結(jié)果鋼軌彎成蛇形(連枕木都帶動(dòng)了)，在一個(gè)學(xué)院附近半波長(zhǎng)約為5m，撓度達(dá)到30cm。鋼軌變彎的原因主要是由于此段焊接鋼軌相當(dāng)于一根靜不定細(xì)長(zhǎng)壓桿，溫度變化引起鋼軌內(nèi)部產(chǎn)生極大的溫度應(yīng)力，造成鋼軌失穩(wěn)發(fā)生彎曲。在礦山坑道中，在某些坑木上裝有過(guò)載預(yù)警裝置。當(dāng)坑木受載過(guò)大時(shí)，該裝置中的受壓元件先喪失穩(wěn)定，接通電路報(bào)警，以引起人們的警惕。RR§12.2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式一兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力xyll/2zyxyx材料在線彈性范圍內(nèi)工作，撓曲線近似微分方程由于桿的兩端可在任何方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)，所以當(dāng)它失穩(wěn)時(shí)必定在彎曲剛度最小的縱向平面內(nèi)發(fā)生彎曲，亦即繞慣性矩最小的形心主軸(通常稱為弱軸)而彎曲。距原點(diǎn)為x的任意橫截面上的彎矩為式中的軸向壓力F取為正值。這樣，撓度w和彎矩M(x)的符號(hào)相一致。xyll/2xyxzy引入記號(hào)則上式可以改寫為二階齊次線性微分方程通解為兩端鉸支壓桿的位移邊界條件x＝0處，w＝0x＝l處，w＝0利用x＝0處，w＝0，可得B＝0xyll/2利用x＝l處,w＝0，可得如果A＝0，則壓桿各截面的撓度均等于零，我們不研究這一種情況。欲使壓桿處于微彎的平衡狀態(tài)，必須有滿足此條件的kl值為將k值代回得顯然，能保持微彎平衡狀態(tài)的最小軸向壓力是在上式中取n＝1，于是得到壓桿的臨界力公式該式又稱為兩端鉸支壓桿的臨界力的歐拉公式。其中Iz是橫截面的最小形心主慣性矩。將k＝/l代入該式表明撓曲線是半波正弦曲線，最大撓度在稈的中點(diǎn)，用d表示，上式可以改寫為精確理論曲線是采用大變形理論得到。C二其它桿端約束情況下細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力§12.3歐拉公式的適用范圍.經(jīng)驗(yàn)公式及壓桿的穩(wěn)定條件一歐拉公式的適用范圍壓桿失穩(wěn)時(shí)橫截面上的平均壓應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力，用scr表示。則壓桿的臨界應(yīng)力公式為式中，A為橫截面面積。將形心主慣性矩寫成式中，i為橫截面的慣性半徑。則引入記號(hào)式中，l是一個(gè)無(wú)量綱的量，稱為柔度或長(zhǎng)細(xì)比。它綜合反映了壓桿的長(zhǎng)度、橫截面尺寸和形狀、桿端約束等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響。臨界應(yīng)力的歐拉公式與強(qiáng)度相似，只要材料的scr不超過(guò)比例極限sp時(shí)，才能適用歐拉公式。亦即能應(yīng)用歐拉公式的條件是令可見，只有壓桿的柔度l大于或等于柔度的極限值lp時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式。前面所稱的細(xì)長(zhǎng)壓桿，指的就是其柔度l不小于lP的壓桿。這類壓桿問(wèn)題自然屬于線彈性穩(wěn)定問(wèn)題。以Q235為例，E＝206GPa，sP＝200MPa，代入公式只有l(wèi)不小于100才能應(yīng)用歐拉公式。B二臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式當(dāng)l<lP時(shí)，壓桿橫截面上的應(yīng)力已超過(guò)比例極限sP，這類壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題屬于非彈性穩(wěn)定問(wèn)題。工程中多采用以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)公式，這里僅介紹直線公式。其公式為式中，a與b是和材料的力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。書中表11-2(P243)中列出了一些材料的a和b值。以Q235為例，由表查得a＝304MPa，b＝1.12MPa，ss＝235MPa?？梢?，由Q235制成的壓桿，當(dāng)l≥100時(shí)，用歐拉計(jì)算臨界應(yīng)力；當(dāng)61.6<l<100時(shí)，用直線公式計(jì)算臨界應(yīng)力。當(dāng)l≤61.6時(shí)壓桿發(fā)生強(qiáng)度破壞。綜上所述，壓桿按其柔度值分為三類：短桿中長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿三壓桿穩(wěn)定條件為了使壓桿在軸向壓力F作用下不至于失穩(wěn)，必須滿足下述條件式中，F(xiàn)cr為臨界力；nst為穩(wěn)定安全因數(shù)，其值可以從相關(guān)手冊(cè)中查到；[Fst]為穩(wěn)定許用壓力。上式稱為壓桿的穩(wěn)定條件。例1

兩端為球形鉸支的壓桿，l＝2m，d＝60mm，Q235鋼的E＝206MPa。試求壓桿的臨界力；若在其它條件不變的情況下，改用D1＝68mm，d1＝32mm的空心截面，問(wèn)此壓桿的臨界力等于多少？xyld解：

(1)求實(shí)心圓截面壓桿的臨界力。考慮壓桿的柔度由l>lP，屬細(xì)長(zhǎng)壓桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力D1d1于是桿的臨界力為(2)求空心圓截面壓桿的臨界力?？紤]壓桿的柔度由l>lP，屬細(xì)長(zhǎng)壓桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力于是桿的臨界力為它要比同樣的實(shí)心截面壓桿的臨界力大得多。例2

圖示矩形截面壓桿，h=60mm，b=40mm，桿長(zhǎng)l=2m，材料為Q235鋼，E=206GPa。兩端用柱形鉸與其他構(gòu)件相連接，在正視圖的平面(xy平面)內(nèi)兩端視為鉸支；在俯視圖的平面(xz平面)內(nèi)兩端為彈性固定，長(zhǎng)度因數(shù)y=0.8。壓桿兩端受軸向壓力F=100kN，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=2.5。校核該壓桿的穩(wěn)定性；又問(wèn)b與h的比值等于多少才是合理的。若壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，則兩端為鉸支，長(zhǎng)度因數(shù)z=1。此時(shí)橫截面的形心主軸z為中性軸，慣性半徑解:(1)校核壓桿的穩(wěn)定性。由于壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的桿端約束不同，故應(yīng)分別計(jì)算壓桿在這兩個(gè)平面內(nèi)的柔度。壓桿在該平面內(nèi)的柔度若壓桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，則兩端為彈性固定，長(zhǎng)度因數(shù)y=0.8。此時(shí)橫截面的形心主軸為y為中性軸，慣性半徑壓桿在此平面內(nèi)的柔度由于ly>lz，故應(yīng)當(dāng)以ly來(lái)計(jì)算臨界應(yīng)力。因?yàn)閴簵U總是在柔度較大的平面內(nèi)失穩(wěn)；又因ly>lp，故可計(jì)算臨界應(yīng)力壓桿的臨界力為壓桿的許用壓力為可見所以壓桿滿足穩(wěn)定性要求。(2)求b與h的合理比值。b與h的合理比值，應(yīng)滿足壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的柔度相等的條件。這樣，壓桿在這兩個(gè)平面內(nèi)就具有相同的穩(wěn)定性。由令由此得到

1056年建，“雙筒體”結(jié)構(gòu)，塔身平面為八角形。經(jīng)歷了1305年的八級(jí)地震。例3

圖示結(jié)構(gòu)，1、2兩桿截面和材料相同，為細(xì)長(zhǎng)壓桿。確定使載荷F