《平均變化率與瞬時變化率》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.1平均變化率與瞬時變化率教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.從實例分析中理解平均變化率和瞬時變化率的意義，會求簡單函數(shù)在某一區(qū)間的平均變化率和在某一點(diǎn)處的瞬時變化率；2.領(lǐng)會從平均變化率到瞬時變化率的逼近過程，使學(xué)生體會、理解平均變化率與瞬時變化率的聯(lián)系．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時變化率．難點(diǎn)：從平均變化率到瞬時變化率的逼近．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入問題1：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？答案：①根據(jù)圖象可以看出在這兩段時間下降的體溫一樣多；②這兩段時間的長度不一樣，因此在20min到30min這段時間內(nèi)，體溫變化較快．我們可以用單位時間內(nèi)的變化情況來刻畫快慢；如，在0min到20min這段時間內(nèi)，單位時間體溫變化為：38.5-3920-0=-0.520=-0.025(℃/min)二、新知探究平均變化率：對一般的函數(shù)y=fx來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從fx1變?yōu)閒通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化fΔ用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x問題2：函數(shù)平均變化率有怎樣的幾何意義？答案：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是函數(shù)圖象上過Px1，fx1，設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的生活體驗，提煉出數(shù)學(xué)模型，歸納出函數(shù)平均變化率的概念，讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)來源于生活”，感知如何探討問題的本質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析問題.如果一塊巖石突然松動，從峭壁頂上垂直下落，請估算巖石在時刻t=5s時的速度．問題３：用數(shù)學(xué)語言表達(dá)巖石下落過程中的平均速度答案：下落的巖石是自由落體，由物理學(xué)知識可得h=12gt于是，取一小段時間由t1到t2，可得這一小段時間內(nèi)的平均速度追問：你能計算某一時刻的速度嗎？答案：我們可以用平均速度逼近某一時刻的速度．若想求t1時刻的速度，當(dāng)Δt＝t2-t1很小時，t1時刻的速度就可以用[tt時間t的改變量(Δ高度的改變量(Δ平均速度Δ4.95-0.1-0.485148.514.995-0.01-0.4895148.954.9995-0.001-0.048995148.99514.99995-0.0001-0.00489995148.99951?????如果時間進(jìn)一步縮短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t0=5s從以上的計算可以看出，當(dāng)時間趨t2于t瞬時變化率：對于一般的函數(shù)y＝fx，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)Δx＝如果當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于某個值，那么這個值就是fx在點(diǎn)問題4：平均變化率與瞬時變化率有什么關(guān)系？答案：區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率ΔyΔ（2）“ΔxΔx趨于0的距離要多近有多近，即Δx-0可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終三、應(yīng)用舉例例1已知函數(shù)fx=2x2+3x-5，且Δx=1解因為fx=2x2+3x-5所以當(dāng)x1=4，Δx=1時，總結(jié)：求函數(shù)平均變化率的三個步驟：第一步，求自變量的增量Δx=第二步，求函數(shù)值的增量Δy=f第三步，求平均變化率Δy例2.某物體的運(yùn)動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t2+t+1表示，求物體在解Δs當(dāng)Δt趨于0時，ΔsΔ探究：若例題中的條件不變，試求物體的初速度．解求物體的初速度，即求物體在t=1s時的瞬時速度．∵Δs當(dāng)Δt趨于0時，ΔsΔ探究：若例題中的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s．解設(shè)物體在t0時的瞬時速度為9m/s又Δs當(dāng)Δt趨于0時，ΔsΔt趨于2t0+1則物體在4s時的瞬時速度為9m/s．總結(jié)：求函數(shù)fx在點(diǎn)x=(1)求Δy=f(2)計算ΔyΔx，并化簡，直到當(dāng)(3)將Δx=0四、課堂練習(xí)1．在求解平均變化率時，自變量的變化量Δx應(yīng)滿足(A.Δx>0B.Δx<0C.Δx≠02．函數(shù)fx=8x-6在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為3．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律是s=t2+3(s的單位為m，t參考答案：1．答案C解析因平均變化率為ΔyΔ2．答案８解析因平均變化率為f3．答案2解析Δ∴ΔsΔt=2五、課堂小結(jié)１.概念：平均變化率，瞬時變化率．２.平均變