旋轉(zhuǎn)的三角也瘋狂-基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思索

旋轉(zhuǎn)的三角也瘋狂——基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思索旋轉(zhuǎn)的三角也瘋狂——基于圓錐體積公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思索

面對(duì)書(shū)本，假如對(duì)學(xué)問(wèn)沒(méi)有了質(zhì)疑，對(duì)挑戰(zhàn)沒(méi)有了渴望，對(duì)自我沒(méi)有了信念，那么學(xué)習(xí)的過(guò)程就沒(méi)有了贊嘆，沒(méi)有了思辨，沒(méi)有了期盼，沒(méi)有了樂(lè)趣—那不是我想要的課堂。

變故突生，課堂遭受意外

圓錐體積的推導(dǎo)，最常用的就是倒三次水的方法，清晰明白地發(fā)覺(jué)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。學(xué)校6班級(jí)的時(shí)候，我學(xué)過(guò)一次，等我當(dāng)了老師，我教過(guò)同學(xué)兩次。今日還是上這節(jié)課，輕車(chē)熟路，試驗(yàn)和講解都很順當(dāng)，同學(xué)開(kāi)頭做練習(xí)了。

過(guò)了一會(huì)兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來(lái)掩不住興奮炸裂開(kāi)來(lái)。兩個(gè)臉漲得通紅的男同學(xué)，高聲叫著，“二分之一！是二分之一！你看?！薄皩O老師”，其中叫范托的同學(xué)感動(dòng)地說(shuō)：“你先看，這個(gè)三角形的面積是不是這個(gè)長(zhǎng)方形的一半？”一個(gè)涂得臟兮兮的長(zhǎng)方形，以及一個(gè)沿這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)對(duì)折后剪下來(lái)的三角形出現(xiàn)在我眼前(如圖一)。

“對(duì)呀。”

“那這個(gè)呢？”他又拿出和剛才相同的兩個(gè)圖形。

“也是呀?！?/p>

“這樣兩個(gè)疊起來(lái)，兩個(gè)三角形的體積是不是兩個(gè)長(zhǎng)方形的一半?！?/p>

“是呀?！?/p>

“那3個(gè)、4個(gè)、許多個(gè)疊起來(lái)呢？”

“也是二分之一啊。”

“那就對(duì)了。”他得意地說(shuō)，接著開(kāi)頭演示，他把一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動(dòng)另外一邊旋轉(zhuǎn)360度（如圖三），撥一下，數(shù)一下，“1張、2張、3張……一起轉(zhuǎn)的，那張數(shù)是一樣多，長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)一圈就是圓柱,三角形轉(zhuǎn)一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?”

教室里突然靜了下來(lái)，部分同學(xué)已經(jīng)停下了對(duì)作業(yè)的爭(zhēng)論，盯著講臺(tái)上的三角形碎片想著剛才的推論。

太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮(zhèn)靜，頭腦中快速地調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)問(wèn)：旋轉(zhuǎn)成形的任一瞬間，三角形的面積都是長(zhǎng)方形的二分之一，由于是同步旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)的度數(shù)完全相同，也就是說(shuō)，累計(jì)疊加的個(gè)數(shù)也完全相同，因此，由很多個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓錐的體積，應(yīng)當(dāng)就是由同樣多個(gè)數(shù)的長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個(gè)推理似乎是天衣無(wú)縫，面對(duì)人們信之不移的“規(guī)律性學(xué)問(wèn)”，不同的方法怎么出現(xiàn)了不同的結(jié)論！應(yīng)當(dāng)是三分之一啊，怎么辦？我知道我的同學(xué)此刻都在盯著我。兩分鐘后，最終有人忍不住開(kāi)了口，教室里炸開(kāi)了鍋?！皶?shū)上印錯(cuò)了！”“倒水的時(shí)候，3次根本就沒(méi)有倒?jié)M，不是三分之一，應(yīng)當(dāng)是二分之一??！”“范托，你好厲害！”而我，只能臨時(shí)眼睜睜地看著他們，由于我的確無(wú)法當(dāng)堂反饋這個(gè)推理的規(guī)律漏洞。

尋根索源，問(wèn)題從何而來(lái)

1.試驗(yàn)不精確埋下了問(wèn)題的種子。試驗(yàn)用的圓柱量杯和圓錐量斗外表面比較時(shí)，的確是等底等高，但由于透亮?????塑料有肯定的厚度，實(shí)際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時(shí)候，總會(huì)比三等分的刻度線(xiàn)略微低一點(diǎn)。3次倒水完成后，離杯口還差一點(diǎn)距離。通常的做法就是簡(jiǎn)潔地向同學(xué)解釋一下，是試驗(yàn)誤差，同學(xué)也能接受。但在喜愛(ài)較真的同學(xué)心里卻埋下了問(wèn)題的種子，思考著是否有其他的推理方法來(lái)驗(yàn)證甚至推翻這個(gè)結(jié)論。

2.學(xué)問(wèn)漸豐使得問(wèn)題萌發(fā)。同學(xué)會(huì)想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶然的，雖然教材中沒(méi)有要求，但在面積體積的教學(xué)中，我鋪墊了有關(guān)點(diǎn)線(xiàn)面三者之間演化的過(guò)程，那時(shí)是為了關(guān)心他們更好地理解概念：把點(diǎn)一個(gè)個(gè)沿肯定的方向密密麻麻地排列，就形成了線(xiàn)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度可以理解為點(diǎn)的個(gè)數(shù)；把同樣長(zhǎng)度的線(xiàn)段沿肯定的方向平行疊加排列，就形成一個(gè)面，線(xiàn)的條數(shù)可以理解為所形成的長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)方形的面積＝線(xiàn)的長(zhǎng)度×線(xiàn)的條數(shù)＝長(zhǎng)×寬；大小相同的面，一層層往上疊