423直線與圓方程的應(yīng)用

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用2013.10.28復(fù)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系下，與坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題1.兩點(diǎn)間距離公式2.直線的方程點(diǎn)到直線的距離，平行直線間距離3.圓的方程點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系4.解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)2）幾何方法1）代數(shù)方法譬如，用解方程組的方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系譬如，用平面幾何相切的意義來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系5.用建立坐標(biāo)系的方法解決實(shí)際問(wèn)題或平面幾何中問(wèn)題.

例1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m）ABA1A2A3A4OPP2

分析:如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，求出圓弧所在的圓的方程，那么只要知道點(diǎn)P2的坐標(biāo)，就可得出支柱A2P2的高度，化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題.ABA1A2A3A4OPP2xy例1、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度

AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度（精確到0.01）yx思考:(用坐標(biāo)法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？

2.怎樣求出圓的方程？

3.怎樣求出支柱A2P2的長(zhǎng)度？解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）,圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因?yàn)閥>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86m.

例2.已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.Xyo

分析：許多平面幾何問(wèn)題常利用“坐標(biāo)法”來(lái)解決，首先選擇合適的位置建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，由于四邊形的對(duì)角線互相垂直，以對(duì)角線為坐標(biāo)軸較好，進(jìn)而設(shè)定四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，隨后用坐標(biāo)法驗(yàn)證本題的結(jié)論.AO’DCBE例2、已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN分析：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系證明問(wèn)題。由已知，可選擇互相垂直的兩條對(duì)角線所在的直線為坐標(biāo)軸，關(guān)鍵在求圓心坐標(biāo)。解：如圖，以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線CA，DB所在直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)過(guò)四邊形ABCD外接圓圓心Q分別作AC，BD，AD的垂線，垂足分別為M，N，E，則M，N，E分別是線段AC，BD，AD的中點(diǎn)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：所以，OEMNxQABCD又

同理，可證其它所以即：圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半反思：

用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟——“三步曲”1、建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題2、通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題（有目的地）3、把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論幾何

代數(shù)幾何

例3如圖，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，點(diǎn)P是△AOB內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、O、B的距離的平方和的最大值和最小值.OABPCXy分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出點(diǎn)P所在的圓的方程，再寫出點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離的平方和，用代數(shù)方法求出最值.O1MO2PNoyx

例4如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，圓心距為4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線，切點(diǎn)為M、N，且使得|PM|=|PN|，試求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么曲線？分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，在依據(jù)方程判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.思想方法小結(jié)

用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論，這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”.

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.“坐標(biāo)法“三步曲作業(yè)P132