2023年高考試題匯編-理科數(shù)學(xué)：圓錐曲線

2023高考真題分類匯編：圓錐曲線一、選擇題1.【2023高考真題浙江理8】如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：〔a,b＞0〕的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，假設(shè)|MF2|=|F1F2|,那么C的離心率是A.B。C.D.【答案】B【解析】由題意知直線的方程為：，聯(lián)立方程組得點Q，聯(lián)立方程組得點P，所以PQ的中點坐標(biāo)為，所以PQ的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。應(yīng)選B2.【2023高考真題新課標(biāo)理8】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，；那么的實軸長為〔〕【答案】C【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，拋物線的準(zhǔn)線為，由,那么,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實軸長，選C.3.【2023高考真題新課標(biāo)理4】設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，那么的離心率為〔〕【答案】C【解析】因為是底角為的等腰三角形，那么有,，因為，所以,，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選C.4.【2023高考真題四川理8】拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點。假設(shè)點到該拋物線焦點的距離為，那么〔〕A、B、C、D、【答案】B【解析】設(shè)拋物線方程為，那么點焦點，點到該拋物線焦點的距離為，，解得，所以.5.【2023高考真題山東理10】橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，那么橢圓的方程為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】因為橢圓的離心率為，所以，，，所以，即，雙曲線的漸近線為，代入橢圓得，即，所以，，，那么第一象限的交點坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為，所以，所以橢圓方程為，選D.6.【2023高考真題湖南理5】雙曲線C：-=1的焦距為10，點P〔2,1〕在C的漸近線上，那么C的方程為A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C：-=1的半焦距為，那么.又C的漸近線為，點P〔2,1〕在C的漸近線上，，即.又，，C的方程為-=1.【點評】此題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等根底知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和根本運算能力，是近年來?？碱}型.7.【2023高考真題福建理8】雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，那么該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A.B.C.3D.5【答案】Ａ．【解析】由拋物線方程易知其焦點坐標(biāo)為，又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，所以，從而可得漸進線方程為，即，所以，應(yīng)選Ａ．8.【2023高考真題安徽理9】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是原點，假設(shè)，那么的面積為〔〕【答案】C【命題立意】此題考查等直線與拋物線相交問題的運算?！窘馕觥吭O(shè)及；那么點到準(zhǔn)線的距離為，得：又，的面積為。9.【2023高考真題全國卷理3】橢圓的中心在原點，焦距為4一條準(zhǔn)線為x=-4，那么該橢圓的方程為A+=1B+=1C+=1D+=1【答案】C【解析】橢圓的焦距為4，所以因為準(zhǔn)線為，所以橢圓的焦點在軸上，且，所以，，所以橢圓的方程為，選C.10.【2023高考真題全國卷理8】F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)〔B〕(C)(D)【答案】C【解析】雙曲線的方程為，所以，因為|PF1|=|2PF2|，所以點P在雙曲線的右支上，那么有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理得,選C.11.【2023高考真題北京理12】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。假設(shè)直線l的傾斜角為60o.那么△OAF的面積為【答案】【解析】由可求得焦點坐標(biāo)F(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此．二、填空題12.【2023高考真題湖北理14】如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦點為，.假設(shè)以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為.那么〔Ⅰ〕雙曲線的離心率；〔Ⅱ〕菱形的面積與矩形的面積的比值.【答案】【解析】〔Ⅰ〕由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點到直線的距離為，又由于虛軸兩端點為，，因此的長為，那么在中，由三角形的面積公式知，，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出〔Ⅱ〕設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故；菱形的面積，再根據(jù)第一問中求得的值可以解出.13.【2023高考真題四川理15】橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積是____________?！敬鸢浮?【命題立意】此題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、，考查推理論證能力、根本運算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.【解析】當(dāng)直線過右焦點時的周長最大，；將帶入解得；所以.14.【2023高考真題陜西理13】右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬米.【答案】.【解析】設(shè)水面與橋的一個交點為A，如圖建立直角坐標(biāo)系那么，A的坐標(biāo)為〔2，-2〕.設(shè)拋物線方程為，帶入點A得，設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點坐標(biāo)為，那么，所以水面寬度為.15.【2023高考真題重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，假設(shè)那么=.【答案】【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為的，那么，設(shè)，那么，所以有，解得或，所以.16.【2023高考真題遼寧理15】P，Q為拋物線上兩點，點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，那么點A的縱坐標(biāo)為__________。【答案】4【解析】因為點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8,2.由所以過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱坐標(biāo)為4【點評】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法，屬于中檔題。曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)鍵。17.【2023高考真題江西理13】橢圓的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。假設(shè)，，成等比數(shù)列，那么此橢圓的離心率為_______________.【答案】【命題立意】此題考查橢圓的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)和運算以及橢圓的離心率?！窘馕觥繖E圓的頂點,焦點坐標(biāo)為，所以，,又因為，，成等比數(shù)列，所以有，即，所以，離心率為.18.【2023高考江蘇8】〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)雙曲線的離心率為，那么的值為▲．【答案】2?！究键c】雙曲線的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻谩！?，即，解得。三、解答題19.【2023高考江蘇19】〔16分〕．和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P．〔i〕假設(shè)，求直線的斜率；〔ii〕求證：是定值．【答案】解：〔1〕由題設(shè)知，，由點在橢圓上，得，∴。由點在橢圓上，得∴橢圓的方程為，又∵∥，∴設(shè)、的方程分別為。∴∴。=1\*GB3①同理，。=2\*GB3②〔i〕由=1\*GB3①=2\*GB3②得，。解得=2?！咦⒁獾剑??！嘀本€的斜率為?！瞚i〕證明：∵∥，∴，即。∴。由點在橢圓上知，，∴。同理。。∴由=1\*GB3①=2\*GB3②得，，，∴?！嗍嵌ㄖ?。20.【2023高考真題浙江理21】(本小題總分值15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)求ABP的面積取最大時直線l的方程．【命題立意】此題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的根本思想方法和運算求解能力?！敬鸢浮?Ⅰ)由題：；(1)左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：．(2)由(1)(2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，當(dāng)|m＋2|＝，即m＝﹣3或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．此時直線l的方程y＝﹣．21.【2023高考真題遼寧理20】(本小題總分值12分)如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。(Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)動圓與相交于四點，其中，。假設(shè)矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮俊军c評】此題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。此題考查綜合性較強，運算量較大。在求解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【2023高考真題湖北理】〔本小題總分值13分〕設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當(dāng)點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線．〔Ⅰ〕求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)；〔Ⅱ〕過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點.是否存在，使得對任意的，都有？假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔Ⅰ〕如圖1，設(shè)，，那么由，可得，，所以，.①因為點在單位圓上運動，所以.②將①式代入②式即得所求曲線的方程為.因為，所以當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，.〔Ⅱ〕解法1：如圖2、3，，設(shè)，，那么，，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得，即.因為點H在直線QN上，所以.于是，.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.圖2圖2圖3圖1ODxyAM第21題解答圖解法2：如圖2、3，，設(shè)，，那么，，因為，兩點在橢圓上，所以兩式相減可得.③依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.④又，，三點共線，所以，即.于是由④式可得.而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.23.【2023高考真題北京理19】〔本小題共14分〕【答案】解：〔1〕原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：〔2〕由直線代入橢圓方程化簡得：，，解得：

由韋達定理得：①，，②設(shè)，，方程為：，那么，，，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將①②代入易知等式成立，那么三點共線得證。24.【2023高考真題廣東理20】〔本小題總分值14分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點到Q〔0，2〕的距離的最大值為3.〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕在橢圓C上，是否存在點M〔m,n〕使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？假設(shè)存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】此題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，意在考查學(xué)生的綜合分析問題與運算求解的能力。25.【2023高考真題重慶理20】〔本小題總分值12分〔Ⅰ〕小問5分〔Ⅱ〕小問7分〕如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段的中點分別為，且△是面積為4的直角三角形.〔Ⅰ〕求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕過做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程【答案】【命題立意】此題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量數(shù)量積的根本運算，直線的一般式方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題.26.【2023高考真題四川理21】(本小題總分值12分) 如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設(shè)動點的軌跡為。〔Ⅰ〕求軌跡的方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。【答案】此題主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等根底知識，考查根本運算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想27.【2023高考真題新課標(biāo)理20】〔本小題總分值12分〕設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，，以為圓心，為半徑的圓交于兩點；〔1〕假設(shè)，的面積為；求的值及圓的方程；〔2〕假設(shè)三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到距離的比值.【答案】〔1〕由對稱性知：是等腰直角，斜邊點到準(zhǔn)線的距離圓的方程為〔2〕由對稱性設(shè)，那么點關(guān)于點對稱得：得：，直線切點直線坐標(biāo)原點到距離的比值為.28.【2023高考真題福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8.〔Ⅰ〕求橢圓E的方程.〔Ⅱ〕設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？假設(shè)存在，求出點M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.29.【2023高考真題上海理22】〔4+6+6=16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：．〔1〕過的左頂點引的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積；〔2〕設(shè)斜率為1的直線交于、兩點，假設(shè)與圓相切，求證：；〔3〕設(shè)橢圓：，假設(shè)、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值.【答案】過點A與漸近線平行的直線方程為，,那么到直線的距離為.設(shè)到直線的距離為.【點評】此題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運用可以大大節(jié)省解題時間，此題屬于中檔題．30.【2023高考真題陜西理19】本小題總分值12分〕橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率?！?〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程?！敬鸢浮?1.【2023高考真題山東理21】〔本小題總分值13分〕在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第