《離散型隨機變量的均值與方差》同步練習（） 一等獎

《離散型隨機變量的均值與方差》同步練習一、選擇題1．已知離散型隨機變量X的分布列為()X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的均值E(X)＝()\f(3,2) B．2\f(5,2) D．3[答案]A[解析]E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).2．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝，則n，p的值分別為()A．100和 B．20和C．10和 D．10和[答案]D[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝8，,np1－p＝，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝10，,p＝.))3．下列說法中，正確的是()A．離散型隨機變量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B．離散型隨機變量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．離散型隨機變量的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．離散型隨機變量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值[答案]C[解析]離散型隨機變量X的均值反映了離散隨機變量取值的平均水平，隨機變量的方差反映了隨機變量取值離于均值的平均程度．4．已知隨機變量X的概率分布列是X123P則D(X)等于()A．0 B．C．2 D．1[答案]B[解析]根據(jù)方差的計算公式，易求DX＝.5．甲、乙兩名運動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下：環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)P(η＝k)其中射擊比較穩(wěn)定的運動員是()A．甲 B．乙C．一樣 D．無法比較[答案]B[解析]E(ξ)＝，E(η)＝＝E(ξ)，D(ξ)＝，D(η)＝<D(ξ)，乙穩(wěn)定．二、填空題6.(2022·上海理，12)賭博有陷阱，某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1、2、3、4、5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金(元)；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的倍作為其獎金，若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元)．[答案][解析]ξ1的分布列ξ112345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)∴E(ξ1)＝eq\f(1,5)(1＋2＋…＋5)＝3ξ2的分布列ξ2Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)E(ξ2)＝×eq\f(2,5)＋×eq\f(3,10)＋×eq\f(1,5)＋×eq\f(1,10)＝∴E(ξ1)－E(ξ2)＝.[反思總結(jié)]均值E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)．7．已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X＝xi－1012P(X＝xi)abceq\f(1,12)若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.[答案]eq\f(5,12)eq\f(1,4)[解析]由分布列中概率滿足的條件可知a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1①，由均值和方差的計算公式可得－a＋c＋eq\f(1,6)＝0②，12×a＋12×c＋22×eq\f(1,12)＝1③，聯(lián)立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).8．設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?eq\r(2)、－eq\r(3)、－eq\f(\r(5),2)、0、eq\f(\r(5),2)、eq\r(3)、2eq\r(2)，用X表示坐標原點到l的距離，則隨機變量X的均值E(X)＝________.[答案]eq\f(4,7)[解析]設(shè)l的方程為y＝kx＋1，則點(0,0)到直線的距離X＝eq\f(1,\r(k2＋1))，將k＝－2eq\r(2)、－eq\r(3)、－eq\f(\r(5),2)、0、eq\f(\r(5),2)、eq\r(3)、2eq\r(2)分別代入，求得X分別為eq\f(1,3)、eq\f(1,2)、eq\f(2,3)、1、eq\f(2,3)、eq\f(1,2)、eq\f(1,3)，由于k取值是等可能的，故X的概率分布列為Xeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)由上表可求得E(X)＝eq\f(4,7).三、解答題9.一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1、2、3、4；白色卡片3張，編號分別為2、3、4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)．(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列和均值．[解析](1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(3,5)＋C\o\al(2,2)C\o\al(2,5),C\o\al(4,7))＝eq\f(6,7).所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為eq\f(6,7).(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(4,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,7).所以隨機變量X的分布列是X1234Peq\f(1,35)eq\f(4,35)eq\f(2,7)eq\f(4,7)隨機變量X的均值E(X)＝1×eq\f(1,35)＋2×eq\f(4,35)＋3×eq\f(2,7)＋4×eq\f(4,7)＝eq\f(17,5).10.現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及均值E(X)．[解析](1)P＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＋eq\f(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)；(2)X＝0、1、2、3、4、5P(X＝0)＝eq\f(1,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝eq\f(1,4)Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,3).∴X的分布列為X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12)＝3eq\f(5,12).一、選擇題1．設(shè)離散型隨機變量ξ的可能取值為0,1，且P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)，則D(ξ)＝()\f(1,3) B．eq\f(2,3)\f(1,9) D．eq\f(2,9)[答案]D[解析]由題意知ξ服從兩點分布，且P(ξ＝1)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，故D(ξ)＝P(ξ＝1)[1－P(ξ＝1)]＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).2．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()\f(126,125) B．eq\f(6,5)\f(168,125) D．eq\f(7,5)[答案]B[解析]P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).3．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的6支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個．則X的均值為()A．5 B．C． D．[答案]B[解析]由題意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，∴EX＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝.4．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為d(a，b∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為1(不計其他得分情況)，則ab的最大值為()\f(1,48) B．eq\f(1,24)\f(1,12) D．eq\f(1,6)[答案]B[解析]由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)·(eq\f(3a＋2b,2))2＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,24)，當且僅當3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)時取“等號”，故選B.二、填空題5.(2022·浙北名校聯(lián)盟聯(lián)考)一袋中裝有分別標記著1、2、3數(shù)字的3個小球，每次從袋中取出一個球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個球后放回袋中，記3次取出的球中標號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X、Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝________.[答案]eq\f(4,3)[解析]由題意知ξ的取值為0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2×2×3,33)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq\f(4,9)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,3).6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的均值E(ξ)＝，則y的值為________．[答案][解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋＋＋y＝1，,7x＋＋＋10y＝，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝，,7x＋10y＝，))由此解得y＝.三、解答題7．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X、Y，X和Y的分布列如下：X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較．[解析]工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的均值和方差分別為：E(X)＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝，D(X)＝(0－2×eq\f(6,10)＋(1－2×eq\f(1,10)＋(2－2×eq\f(3,10)＝；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的均值和方差分別為：E(Y)＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝，D(Y)＝(0－2×eq\f(5,10)＋(1－2×eq\f(3,10)＋(2－2×eq\f(2,10)＝.由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的均值相同，技術(shù)水平相當，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．8．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x、y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與均值；(2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算