2022-2023學(xué)年湖北省仙桃市高一年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省仙桃市第一中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程求得集合，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.2．“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由冪函數(shù)在上是減函數(shù)，可得，由充分、必要條件的定義分析即得解【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，故充分性成立；若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得或故必要性不成立因此“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件故選：A3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量“1”即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.5．已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由求得，再將轉(zhuǎn)化為，再利用反函數(shù)的性質(zhì)即可得到正確選項(xiàng)B【詳解】由（且，且），可得，則，則則，又，則與互為反函數(shù)，則與單調(diào)性一致，且兩圖像關(guān)于直線軸對稱故選：B6．已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y的方程，則的最小值為（

）A．8 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)類指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)確定，從而代入并利用均值不等式即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象恒過定點(diǎn)又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于，的方程，所以，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號；所以的最小值為4．故選：C．7．設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.8．已知函數(shù)，用表示中的較大者，記為，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，得到的圖象，根據(jù)最小值為進(jìn)行數(shù)形結(jié)合可知，交點(diǎn)處函數(shù)值為，計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】依題意，先作兩個(gè)函數(shù)的草圖，因?yàn)?，故草圖如下：可知在交點(diǎn)A出取得最小值，令，得，故，代入直線，得，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于弄明白函數(shù)的圖象意義，通過數(shù)形結(jié)合確定在交點(diǎn)處取得最值，計(jì)算即可突破.二、多選題9．若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定沒有零點(diǎn)B．在區(qū)間(0，1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)C．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)D．在區(qū)間(0，1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)【答案】ABD【解析】根據(jù)的圖像在上連續(xù)不斷，，，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷出在區(qū)間和上零點(diǎn)存在的情況，得到答案．【詳解】由題知，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，又，無法判斷在區(qū)間上是否有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)．故選：．10．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”B．函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱C．為奇函數(shù)D．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)命題與命題的否定直接判斷即可；對于B，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱判斷即可；對于C，根據(jù)奇函數(shù)定義判斷即可；對于D，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性判斷即可；【詳解】因?yàn)槊}“，”的否定是“，”，故A錯(cuò)誤；函數(shù)與互為反函數(shù)，故其圖象關(guān)于對稱，故B正確；因?yàn)?，可求得定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，故D正確．故選：BCD．11．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是增函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù) D．若的定義域?yàn)?，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域可判斷B，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽，而，所以是奇函數(shù)，故C正確；若的定義域?yàn)?，則恒成立，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，故D正確.故選：ACD.12．定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和圖象如圖所示，給出下列四個(gè)命題，那么，其中正確命題是（

）A．方程有且僅有三個(gè)解B．方程有且僅有三個(gè)解C．方程有且僅有九個(gè)解D．方程有且僅有一個(gè)解【答案】AD【分析】通過利用或，結(jié)合函數(shù)和的圖象，分析每個(gè)選項(xiàng)中外層函數(shù)的零點(diǎn)，再分析外層零點(diǎn)對應(yīng)的直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】解：對于A中，設(shè)，則由，即，由圖象知方程有三個(gè)不同的解，設(shè)其解為，，，由于是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程，，分別有且僅有一個(gè)解，所以有三個(gè)解，故A正確；對于B中，設(shè)，則由，即，由圖象可得有且僅有一個(gè)解，設(shè)其解為b，可知，則直線與函數(shù)只有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有兩個(gè)解，所以方程有兩個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對于C中，設(shè)，若，即，方程有三個(gè)不同的解，設(shè)其解為，，，設(shè)，則由函數(shù)圖象，可知，，由圖可知，直線和直線分別與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)只有1個(gè)交點(diǎn)，所以或或共有7個(gè)解，所以共有七個(gè)解，故C錯(cuò)誤；對于D中，設(shè)，若，即，由圖象可得有且僅有一個(gè)解，設(shè)其解為b，可知，因?yàn)槭菧p函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有1解，所以方程只有一個(gè)解，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.三、填空題13．方程的一根大于1，一根小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得．【詳解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，令，則，解得.故答案為：.14．若，且，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】18【分析】由指對數(shù)互化可得，，代入題設(shè)等式，結(jié)合換底公式及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求k的值.【詳解】由題設(shè)，，，所以，則.故答案為：18.15．已知函數(shù)為上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，__________．【答案】【分析】先設(shè)時(shí)，則，求出，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即．所以當(dāng)時(shí)，．故答案為：．16．已知函數(shù)，若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意可得函數(shù)在[2，＋∞）時(shí)的值域包含于函數(shù)在（?∞，2）時(shí)的值域，利用基本不等式先求出函數(shù)在x∈[2，＋∞）時(shí)的值域，當(dāng)x∈（?∞，2）時(shí)，對a分情況討論，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域，從而求出a的取值范圍．【詳解】解：設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，因?yàn)閷θ我獾模即嬖谖ㄒ坏?，滿足，則，且中若有元素與中元素對應(yīng)，則只有一個(gè).當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)，取值范圍是，在上是增函數(shù)，取值范圍是，，解得，綜合得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題即有恒成立問題，又有存在性問題，最后可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.四、解答題17．（1）計(jì)算：（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)指、對數(shù)的運(yùn)算整理求解；（2）根據(jù)之間的平方關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)?，則，，所以．18．已知集合，．(1)若，求；(2)若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．從“①充分不必要條件，②必要不充分條件”中任選一個(gè)，填在上面空格處，補(bǔ)充完整該問題，并進(jìn)行作答．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分別求解兩個(gè)集合，再求并集；（2）若選①，則是的真子集．若選②，則是的真子集,根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等式，即可求解的取值范圍.【詳解】（1）因，則．當(dāng)時(shí)，，所以．（2）選①

因“”是“”成立的充分不必要條件，則是的真子集．所以．經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿足．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．選②

因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌谋匾怀浞謼l件所以是的真子集．所以，經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿足．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．設(shè)且，函數(shù)的圖像過點(diǎn)．(1)求的值及的定義域；(2)求在上的單調(diào)區(qū)間和最值．【答案】(1)；定義域?yàn)?2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，最大值為，最小值為【分析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)即可求參數(shù)a的值，在根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域列出方程組，即可求出函數(shù)的定義域；（2）構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，并利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的性質(zhì)，即可求出在上的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求出最值.【詳解】（1）函數(shù)的圖像過點(diǎn)，，，即，又且，，要使有意義，則，的定義域?yàn)?；?），令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，，在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，最大值為，最小值為.20．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值：（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，求出?的值.（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求出的值，可得的范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，解得，所以，又由，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)?，可得，所以，令，則，且.所以恒成立，令，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，因?yàn)?，所?即實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.21．某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入95萬元．設(shè)使用該設(shè)備前年的總盈利額為萬元．(1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以60萬元的價(jià)格處理；問哪種方案較為合理？并說明理由．【答案】(1)，該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利；(2)方案二更合適，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，直接求得，令，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果；（2）分別求得兩種方案下的總利潤，結(jié)合使用年限，即可判斷.【詳解】（1）由題意可得，由得，又，所以該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，總盈利額，當(dāng)時(shí)，取得最大值160，此時(shí)處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元；方案二：由（1）可得，平均盈利額為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立；即時(shí)，平均盈利額最大，此時(shí)，此時(shí)處理掉設(shè)備，總利潤為萬元．綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適．22．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.（1）求、；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由已知條件可得出、的等式組，由此可解得這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）令，分析可知函數(shù)在上有零點(diǎn)，分、兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)