2022-2023學(xué)年甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼三中高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼三中高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】用觀察法總結(jié)其規(guī)律，寫(xiě)出一個(gè)通項(xiàng)公式即可.【詳解】先不考慮符號(hào)，數(shù)列1，3，5，7，9，的通項(xiàng)公式為，然后再考慮符號(hào)（正負(fù)交替出現(xiàn)），則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故選：C．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（

）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過(guò)解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.3．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】試題分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴l(xiāng)ga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2…×a8）==4lg10=4．故選C．【解析】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)，分析即得解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，所以，解得.故選：A5．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線的斜率，即可求出傾斜角；【詳解】解：設(shè)直線l的傾斜角為，則，所以.故選：A.6．若與相外切，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)兩圓外切，得到圓心距等于半徑之和，求出【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心的坐標(biāo)為，半徑，的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心的坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)榕c相外切，所以，即，解得：.故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意列式求的軌跡方程后結(jié)合圓的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，由，得，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以.故選：D8．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則立夏日影長(zhǎng)為（

）A．1.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺【答案】B【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，公差為，，解得，∴立夏日影長(zhǎng)為．故選：B．二、多選題9．已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項(xiàng)的值可能是（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)，建立不等式組，可得答案.【詳解】由題意，得，所以.故選：BC.10．已知直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，若，則直線l的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求出，得到直線l的斜率，可求出直線l的方程【詳解】因?yàn)?，，所以，所以直線l的斜率.當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即.故選：AC.11．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】利用求解出當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，判斷出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.故選：ACD.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，直線過(guò)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，l的方程為B．當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為C．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為D．若圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則直線斜率【答案】BCD【分析】分當(dāng)直線斜率不存在和存在時(shí)兩種情況討論判斷A；求得圓心到直線的距離，再與半徑求和判斷B；根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)判斷C；根據(jù)圓心到直線的距離解不等式判斷D.【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為.對(duì)于A，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)圓心到的距離為，等于半徑，故滿足；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，則有，解得，故方程為，故當(dāng)直線與圓相切時(shí)，l的方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，其方程為即，此時(shí)圓心到直線的距離為，故點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，其方程為即，此時(shí)圓心到直線的距離為，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，若圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，設(shè)直線方程為，則，即，解得，故D正確.故選：BCD三、填空題13．若直線：與直線：平行，則______.【答案】【分析】?jī)芍本€平行，則斜率相等，排除重合的情況.【詳解】已知直線：與直線：平行，則且，解得.故答案為：14．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=______.【答案】；【詳解】試題分析：解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a1+，解得a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝?an?1，即=-2，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案為（-2）n-1．考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．15．若“數(shù)列是遞增數(shù)列”為假命題，則的取值范圍是______.【答案】【分析】先根據(jù)“數(shù)列是遞增數(shù)列得的取值范圍是，再根據(jù)命題的真假求范圍即可.【詳解】解：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，所以，，所以，“數(shù)列是遞增數(shù)列”為假命題時(shí)，的取值范圍是因?yàn)椤皵?shù)列是遞增數(shù)列”為假命題，所以，的取值范圍是故答案為：16．函數(shù)的最小值是_____________.【答案】5【分析】依題意可得，設(shè)，，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和的最小值，求出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則，再根據(jù)距離公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋O(shè)，，，則表示點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和，即，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝2n2－30n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求Sn的最小值及對(duì)應(yīng)的n值．【答案】(1)an＝4n－32，n∈N＋.(2)當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn最小，且最小值為S7＝S8＝－112.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于前n項(xiàng)和的最值可以用以下兩種方法求解，方法一，利用二次函數(shù)的最值求法（對(duì)稱軸法）求解；方法二，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解，先判斷從第9項(xiàng)開(kāi)始，有an>0，之前各項(xiàng)為負(fù)，故其前7項(xiàng)或前8項(xiàng)之和最?。驹斀狻?1)∵Sn＝2n2－30n，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－28.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.∴an＝4n－32，n∈N＋.(2)方法一Sn＝2n2－30n＝2(n－)2－，∴當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn最小，且最小值為S7＝S8＝－112.方法二∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，當(dāng)n≥9時(shí)，an>0.∴當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn最小，且最小值為S7＝S8＝－112【點(diǎn)睛】數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題求解方法：（1）把前n項(xiàng)和看作是關(guān)于n的函數(shù)，利用具體函數(shù)的最值求法解決；（2）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性，確定它的正數(shù)項(xiàng)或負(fù)數(shù)項(xiàng)的開(kāi)始位置，再求和．18．直線與直線相交于點(diǎn)P，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.(1)若直線，求直線l的方程；(2)若直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直關(guān)系得斜率后求解，（2）由題意得過(guò)原點(diǎn)或斜率為后求解【詳解】（1）聯(lián)立得即.因?yàn)椋环猎O(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為.（2）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線l的方程是，即；當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入，得，所以直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程是或.19．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，，與相交于，兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若，求直線與之間的距離，【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）由，設(shè)直線方程為，根據(jù)弦長(zhǎng)可得圓心到直線距離，進(jìn)而可得的值.【詳解】（1）由與直線相切可知，的半徑，所以的方程是；（2）因?yàn)?，設(shè)直線的方程為，所以圓心到直線的距離，由，解得或，所以直線的方程為或，當(dāng)直線的方程為時(shí)，直線與直線的距離為；當(dāng)直線的方程為時(shí)，直線與直線的距離為，所以直線與直線的距離為或.20．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）定義法證明等差數(shù)列，即證明為常數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出，得到，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的形式，選擇錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也符合，所以，所以，所以，①，②①-②，得，所以.21．已知的方程是，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)若直線l與相切，求直線l的方程；(2)若直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，求證：為定值.【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑列式求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，設(shè)線段的中點(diǎn)為N，則，再根據(jù)，聯(lián)立直線與圓的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心，半徑，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為2，所以直線l與相切，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是，即，由直線l與相切，得，解得，所以直線l的方程是，即.綜上所述，直線l的方程是或.（2）證明：因?yàn)橹本€l與相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得即點(diǎn).設(shè)線段的中點(diǎn)為N，則，設(shè)直線的方程是，聯(lián)立得即點(diǎn)，所以，所以為定值-12.22．已知圓C1：x2+y2﹣2mx﹣4my+5m2﹣4＝0，圓C2：x2+y2＝1．(1)若圓C1、C2相交，求m的取值范圍；(2)若圓C1與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|，求m的值；(3)已知點(diǎn)P（2，0），圓C1上一點(diǎn)A，圓C2上一點(diǎn)B，求||的最小值的取值范圍．【答案】(1)或(2)m＝0或m(3)[3，+∞）【分析】（1）根據(jù)|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，即可求解m的取值范圍；（2）由C1到直線l的距離為，利用弦心距，半弦長(zhǎng)，半徑構(gòu)成的直角三角形即可求解m的值．（3）通過(guò)作圓C2的對(duì)稱圓C3，找到B的對(duì)稱點(diǎn)B1，然后將||轉(zhuǎn)化為||＝||，即圓C1與圓C3上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間距離．最后通過(guò)圓心距與兩圓半徑解決即可．【詳解】（1）解：圓C1的圓心為C1（m，2m），半徑r1＝2，圓C2的圓心C2（0，0），半徑r2＝1，因?yàn)閳AC1，C2相交，所以圓心距|r1﹣r2|＜