自動(dòng)控制原理第三章 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)

二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)定義：

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。1編輯ppt二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的微分方程一般式為：二階系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)圖2編輯ppt二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：3編輯ppt二階系統(tǒng)的特征方程為解方程求得特征根：當(dāng)輸入為階躍信號(hào)時(shí)，則微分方程解的形式為：式中為由r(t)和初始條件確定的待定的系數(shù)。s1,s2完全取決于，n兩個(gè)參數(shù)。4編輯ppt此時(shí)s1,s2為一對(duì)共軛復(fù)根，且位于復(fù)平面的左半部。①特征根分析—

（欠阻尼）典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性5編輯ppt②特征根分析—（過阻尼）此時(shí)s1,s2為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，且位于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上。6編輯ppt③特征根分析—（臨界阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根。

s1=s2=-n7編輯ppt④特征根分析—（無阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)純虛根，位于虛軸上。S1,2=jn8編輯ppt⑤特征根分析—（負(fù)阻尼）此時(shí)s1,s2為一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的右半部。9編輯ppt⑥特征根分析—（負(fù)阻尼）此時(shí)s1,s2為兩個(gè)正實(shí)根，且位于復(fù)平面的正實(shí)軸上。10編輯ppt二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)取C(s)拉氏反變換得：由得11編輯ppt過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較tc(t)0二階過阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)響應(yīng)112編輯ppt過阻尼二階系統(tǒng)分析衰減項(xiàng)的冪指數(shù)的絕對(duì)值一個(gè)大，一個(gè)小。絕對(duì)值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對(duì)值小的離虛軸近，衰減速度慢；（指數(shù)關(guān)系）衰減項(xiàng)前的系數(shù)一個(gè)大，一個(gè)?。欢A過阻尼系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)；離虛軸近的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時(shí)甚至可以忽略不計(jì)。13編輯ppt過阻尼二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)分析對(duì)于過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)，只著重討論，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程的長短，是系統(tǒng)響應(yīng)快速性的一個(gè)方面，但確定的表達(dá)式是很困難的，一般取相對(duì)量及經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算后制成曲線或表格。14編輯ppt2.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)15編輯ppt欠阻尼二階系統(tǒng)單位響應(yīng)系統(tǒng)的輸出拉氏反變換得：16編輯ppt欠阻尼二階系統(tǒng)輸出分析二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1，暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為ωd。右圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線17編輯ppt根據(jù)右圖分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、對(duì)階躍響應(yīng)的影響平穩(wěn)性（％）結(jié)論：越大，ωd越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，越小，ωd越大，振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性越差。18編輯ppt當(dāng)＝0時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為的不衰減（等幅）振蕩。阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線在一定的情況下，越大，振蕩頻率

也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。結(jié)論：對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)而言，大，小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。19編輯ppt快速性從圖中看出，對(duì)于5％誤差帶，當(dāng)時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好。同時(shí)，其超調(diào)量<5％，平穩(wěn)性也較好，故稱為最佳阻尼比?？偨Y(jié)：越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短；當(dāng)一定時(shí)，越大，快速性越好。20編輯ppt穩(wěn)態(tài)精度從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時(shí)間t的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。21編輯ppt補(bǔ)充說明：穩(wěn)態(tài)分量（steadystatecomponent）即周期性激勵(lì)作用于有損、線性和時(shí)不變的動(dòng)態(tài)電路時(shí)，電路中所出現(xiàn)的與激勵(lì)周期相同的響應(yīng)分量。

瞬態(tài)分量（transientcomponent）周期性激勵(lì)作用于有損、線性和時(shí)不變的動(dòng)態(tài)電路時(shí)，從全響應(yīng)中減去穩(wěn)態(tài)分量的剩余部分。

穩(wěn)態(tài)分量就是時(shí)間趨向正無窮，也就是電路穩(wěn)定時(shí)的量。瞬態(tài)分量就是開關(guān)打開或閉合后瞬時(shí)值。22編輯ppt欠阻尼二階系統(tǒng)

單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)1.上升時(shí)間：令，則所以：23編輯ppt根據(jù)極值定理有：該項(xiàng)不可能為零2.峰值時(shí)間：取n=1得:24編輯ppt3.超調(diào)量：將峰值時(shí)間代入下式得:所以:25編輯ppt4.調(diào)節(jié)時(shí)間寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式相當(dāng)困難。在分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)十，經(jīng)常采用下列近似公式。當(dāng)阻尼比時(shí)26編輯ppt二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系由阻尼比判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)：過阻尼時(shí)，單調(diào)線性，無超調(diào)，無振蕩，時(shí)間長。小于等于零時(shí)，有等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)。一般欠阻尼工作。阻尼比過小，超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長，品質(zhì)差。最大超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)，由其來選擇阻尼比。調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比和自然振蕩角頻率的乘機(jī)成反比。阻尼比在0.4-0.8之間，此時(shí)超調(diào)量在1.5%-25%27編輯ppt

三、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)的措施1.誤差信號(hào)的比例－微分控制28編輯ppt系統(tǒng)開環(huán)傳函為：閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動(dòng)態(tài)性能，因?yàn)樗a(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實(shí)際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個(gè)修正作用。29編輯ppt前面圖的相應(yīng)的等效結(jié)構(gòu)由此知道：30編輯ppt和及的大致形狀如下一方面，增加項(xiàng)，增大了等效阻尼比，使曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使加上了它的微分信號(hào)，加速了c(t)的響應(yīng)速度，但同時(shí)削弱了等效阻尼比的平穩(wěn)作用。31編輯ppt總結(jié)：引入誤差信號(hào)的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，還需要適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)。若大一些，使具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點(diǎn)的微分作用，將在保證響應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。32編輯ppt2.輸出量的速度反饋控制將輸出量的速度信號(hào)c(t)采用負(fù)反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e(t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)回路，稱為速度反饋控制。如下圖示。33編輯ppt閉環(huán)傳函為：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。34編輯ppt3.比例－微分控制和速度反饋控制比較從實(shí)現(xiàn)角度看，比例－微分控制的線路結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會(huì)使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。35編輯ppt四、二階系統(tǒng)舉例2設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)給定輸入為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA＝200，1500，13.5時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp，調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量，并分析比較之。36編輯ppt例題解析(1)輸入：?jiǎn)挝浑A躍閉環(huán)傳遞函數(shù)：37編輯ppt例題解析(2)當(dāng)KA

＝200時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函