Chapter 5-維納濾波課件

第五章維納濾波5.1維納濾波問題描述5.2維納濾波器的時(shí)域解5.3維納預(yù)測(cè)器5.4維納濾波器的應(yīng)用2023/1/141/315.1維納濾波問題描述……2023/1/14NorbertWiener美國數(shù)學(xué)家BS

atTuftsCollegePhDatHarvardUniversity1949年出版的書籍《Extrapolation,Interpolation,andSmoothingofStationaryTimeSeries》（平穩(wěn)時(shí)間序列的外延、內(nèi)插和平滑）被引用次數(shù)：41602/315.1維納濾波問題描述……2023/1/14真實(shí)信號(hào)觀察/測(cè)量數(shù)據(jù)加性噪聲/干擾線性估計(jì)問題最小均方誤差估計(jì)(minimummean-squareerror)估計(jì)誤差維納濾波->對(duì)真實(shí)信號(hào)的最小均方誤差估計(jì)問題.3/315.1維納濾波問題描述2023/1/14平滑濾波預(yù)測(cè)

這里我們只考慮濾波和預(yù)測(cè)問題！4/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/145.2.1因果的維納濾波器設(shè)h(n)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即因果序列：h(n)=0,n<0將上式對(duì)h(m)求偏導(dǎo)(m=0,1,2,…)，得：5/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/14即：用相關(guān)函數(shù)R來表達(dá)上式，則得到維納－霍夫方程的離散形式：6/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/14從維納－霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h:hopt(n)。求到hopt(n),這時(shí)的均方誤差為最?。?/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/145.2.2有限脈沖響應(yīng)法求解維納-霍夫方程如何求解維納－霍夫方程，即下式hopt(n)。有限脈沖響應(yīng)指h(n)是因果序列，并且序列長度為N，則：8/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/14于是得到N個(gè)線性方程：轉(zhuǎn)化成矩陣形式：簡化形式：自相關(guān)矩陣待求單位脈沖響應(yīng)互相關(guān)序列9/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/14只要Rxx是非奇異的，就可以求單位脈沖響應(yīng)H：求到hopt(n),這時(shí)的均方誤差為最小：進(jìn)一步簡化：10/315.2維納濾波器的時(shí)域解……2023/1/14當(dāng)有限長的N不大時(shí)，可以通過下式求解：當(dāng)有限長的N較大時(shí)，可以通過下式求解：舉例：若信號(hào)s(n)與噪聲w(n)互不相關(guān)，即：則有：11/315.2維納濾波器的時(shí)域解2023/1/14有限長序列維納—霍夫方程和均方誤差轉(zhuǎn)化如下：【例5-1】參見教材pp.7212/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/14上節(jié)主要用當(dāng)前觀測(cè)信號(hào)x(n)和過去觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……來估計(jì)當(dāng)前信號(hào)值本節(jié)主要用當(dāng)前觀測(cè)信號(hào)x(n)和過去觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)……來估計(jì)當(dāng)前或?qū)淼男盘?hào)值。也是用真值和估計(jì)值的均方差最小為估計(jì)準(zhǔn)則。13/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/145.3.1因果的維納濾波預(yù)測(cè)器如下圖所示就是維納預(yù)測(cè)器的模型（N>0），yd(n)是期望得到的輸出，y(n)是實(shí)際的估計(jì)值。與維納濾波器的推導(dǎo)一樣，設(shè)h(n)是物理可實(shí)現(xiàn)的，即因果序列：h(n)=0，當(dāng)n<0時(shí)，則有14/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/14要使均方誤差最小，則將上式對(duì)h(m)分別求偏導(dǎo)，并且等于0，則：即：用相關(guān)函數(shù)R來表達(dá)上式：如果是N點(diǎn)長序列，則有：15/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/145.3.2一步線性預(yù)測(cè)器對(duì)于純預(yù)測(cè)問題（沒有噪聲信號(hào)w(n)）,有：然而預(yù)測(cè)的問題往往建立在過去的p個(gè)觀測(cè)值的基礎(chǔ)上來預(yù)測(cè)當(dāng)前值，即：這就是一步線性預(yù)測(cè)公式，常用如下式子表示：16/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/14式中，p為階數(shù)，。預(yù)測(cè)的均方誤差為：要使均方誤差最小，將上式右邊分別對(duì)求偏導(dǎo)，得p個(gè)等式：最小均方誤差為：17/315.3維納預(yù)測(cè)器……2023/1/14Yule-Walker方程Yule-Walker方程與維納-霍夫方程比較：（1）維納-霍夫方程要估計(jì)的量是s(n),Yule-Walker方程估計(jì)的量是x(n)本身；（2）維納-霍夫方程要已知x(n)與s(n)的互相關(guān)函數(shù)，實(shí)際中往往是未知的，Yule-Walker方程只需x(n)的自相關(guān)函數(shù)。結(jié)論：Yule-Walker方程比維納-霍夫方程更具有實(shí)用價(jià)值。維納-霍夫方程18/315.3維納預(yù)測(cè)器2023/1/14pp.81,【例5-5】19/31回顧2023/1/141、濾波器的目的？信號(hào)和干擾以及隨機(jī)噪聲同時(shí)輸入濾波器時(shí)，在輸出端能將信號(hào)的盡可能精確的還原出來。2、維納濾波器的輸入與輸出的關(guān)系？20/312023/1/14回顧3、平滑（內(nèi)插）、濾波、預(yù)測(cè)的概念？平滑濾波預(yù)測(cè)

21/312023/1/14回顧4、判斷維納濾波器的類型有限脈沖維納-霍夫方程因果維納-霍夫方程信號(hào)與噪聲不相關(guān)的有限脈沖維納-霍夫方程Yule-Walker方程22/312023/1/14回顧5、將【例5-5】中的p=3，實(shí)現(xiàn)一步線性預(yù)測(cè)器，并求最小均方誤差。23/315.4維納濾波器的應(yīng)用……2023/1/14應(yīng)用例子1：維納濾波方法提取腦電誘發(fā)電位維納濾波器的傳遞函數(shù)：兩信號(hào)的相干函數(shù)：前i次觀測(cè)信號(hào)的功率譜密度和前i-1次的關(guān)系修正如下：噪聲修正如下：相干函數(shù)加權(quán)構(gòu)造的維納濾波器：24/315.4維納濾波器的應(yīng)用……2023/1/14應(yīng)用例子2：時(shí)-頻平面維納濾波在高分辨心電圖的應(yīng)用對(duì)每次觀測(cè)用短時(shí)傅立葉變換求時(shí)頻表示（TFR）：對(duì)N次觀測(cè)的時(shí)頻表示（TFR）求平均：樣本平均為：樣本平均的時(shí)頻表示（TFR）為：25/315.4維納濾波器的應(yīng)用……2023/1/14得到一個(gè)基于樣本平均的簡單時(shí)－頻平面后驗(yàn)維納濾波器：分別對(duì)和修正：26/315.4維納濾波器的應(yīng)用……2023/1/14流程圖如下：27/315.4維納濾波器的應(yīng)用2023/1/14結(jié)果如下：（a）原信號(hào)是兩個(gè)正弦波，觀測(cè)信號(hào)混有白噪聲測(cè)量的單個(gè)樣本樣本平均TFPW濾波原始信號(hào)（b）原信號(hào)是線性調(diào)頻信號(hào)，觀測(cè)信號(hào)混有白噪聲測(cè)量的單個(gè)樣本樣本平均TFPW濾波原始信號(hào)28/31本章小結(jié)2023/1/141、掌握：維納濾波的數(shù)學(xué)模型；2、熟悉：維納濾波器的時(shí)域解；3、了解：維納預(yù)測(cè)器和維納濾波的應(yīng)用。29/31本章習(xí)題2023/1/141、總結(jié)和歸納維納濾波器。30/312023/1/14下集預(yù)告第六章卡爾曼濾波31/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/14clearallnp=0:99;%p=sin(pi/5*np);%正弦%p=exp(-0.06*np);%指數(shù)衰減%p=sin(pi/5*np).*exp(-0.06*np);%指數(shù)衰減正弦p=ones(size(np));%方波figure;subplot(2,2,1);plot(np,p);n=0:1000;w=randn(size(n));s=zeros(size(n));A=3;%衰減系數(shù)s(100:199)=s(100:199)+A*p;s(500:599)=s(500:599)+A/3*p;s(800:899)=s(800:899)+A/3/3*p;x=s+w;figure;subplot(3,1,1);plot(n,w);title('Noise');subplot(3,1,2);plot(n,s);title('Signal');subplot(3,1,3);plot(n,x);title('SignalwithNoise');p=[p,zeros(1,length(x)-length(p))];%如果要求歸一化相關(guān)系數(shù)（相干系數(shù)），兩個(gè)序列要同樣長Rpw=xcorr(w,p,'coeff');Rps=xcorr(s,p,'coeff');Rpx=xcorr(x,p,'coeff');n2=(n(1)-n(end)):(n(end)-n(1));figure;subplot(3,1,1);plot(n2,Rpw);title('Rpwofp(n)andw(n)');title('Rpwofp(n)andw(n)');subplot(3,1,2);plot(n2,Rps);title('Rpsofp(n)ands(n)');title('Rpsofp(n)ands(n)');subplot(3,1,3);plot(n2,Rpx);title('Rpxofp(n)andx(n)');title('Rpxofp(n)andx(n)');源程序：32/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/141、模板為方波信號(hào)，A=3，噪聲均值為0，方差為133/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/142、模板為正弦信號(hào)，A=3，噪聲均值為0，方差為134/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/143、模板為指數(shù)衰減信號(hào)，A=3，噪聲均值為0，方差為135/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/144、模板為指數(shù)衰減正弦信號(hào)，A=3，噪聲均值為0，方差為136/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/145、只改變模板信號(hào)的形狀，A=3，噪聲均值為0，方差為1方波正弦波指數(shù)衰減波指數(shù)正弦衰減波37/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/146、模板信號(hào)為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為0.5、1和2噪聲均值為0，方差為0.5噪聲均值為0，方差為1噪聲均值為0，方差為238/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/147、模板信號(hào)為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數(shù)：線性互相干函數(shù)線性互相關(guān)函數(shù)線性卷積函數(shù)39/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/148、模板信號(hào)為正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數(shù)：線性互相干函數(shù)線性互相關(guān)函數(shù)線性卷積函數(shù)40/31實(shí)驗(yàn)三詳解……2023/1/149、模板信號(hào)為指數(shù)衰減波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數(shù)：線性互相干函數(shù)線性互相關(guān)函數(shù)線性卷積函數(shù)41/31實(shí)驗(yàn)三詳解2023/1/1410、模板信號(hào)為指數(shù)衰減正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，3種函數(shù)：線性互相干函數(shù)線性互相關(guān)函數(shù)線性卷積函數(shù)42/31實(shí)驗(yàn)三詳解2023/1/1411、模板信號(hào)為方波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，2種循環(huán)函數(shù)：1001點(diǎn)循環(huán)相關(guān)函數(shù)1001點(diǎn)循環(huán)卷積函數(shù)Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*Vps;Vpx=circler(p);Cpx=x*Vpx;Vpw=circlel(p);Rpw=w*Vpw;Vps=circlel(p);Rps=s*Vps;Vpx=circlel(p);Rpx=x*Vpx;43/31實(shí)驗(yàn)三詳解2023/1/1412、模板信號(hào)為正弦波，A=3，噪聲均值為0，方差為1，2種循環(huán)函數(shù)：1001點(diǎn)循環(huán)相關(guān)函數(shù)1001點(diǎn)循環(huán)卷積函數(shù)Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*