2007年高考理科數學試題及參考(上海卷)

2007年全國一般高等學校招生一致考試（上海卷）數學(理科)全解全析一、填空題（本大題滿分44分）本大題共有11題，只需求直接填寫結果，每個空格填對得4分，不然一律得零分．1、函數fxlg4x的定義域為_____x3【答案】xx4且x3【分析】4x0xx4且x3x302、已知l1:2xmy10與l2:y3x1，若兩直線平行，則m的值為_____【答案】23【分析】2m1m231133、函數fxx的反函數f1x_____x1【答案】x（x1）x1【分析】由yxxy(y1)f1xx1）1（xxy1x14、方程9x63x70的解是_____【答案】xlog37【分析】x263x70xx1（舍去），xlog37。(3)37或35、已知x,yR，且x4y1，則xy的最大值為_____【答案】116【分析】xy14y1x4y211x()，當且僅當x=4y=時取等號.4421626、函數fxsinx3sinx2的最小正周期是T_____【答案】π共9頁第1頁【分析】ysin(x)sin(x)(sinxcoscosxsin)cosx32331sinxcosx3cos2x1sin2x31cos2x2242231x)T。4sin(2327、有數字1、2、3、4、5，若從中任取三個數字，剩下兩個數字為奇數的概率為_____【答案】0.3【分析】C22C313C5310228、已知雙曲線xy1，則以雙曲線中心為焦點，以雙曲線左焦點為極點的拋物線方45程為_____【答案】212(x3)y【分析】雙曲線x2y21的中心為O（0,0），該雙曲線的左焦點為F（－3,0）則拋物線45的極點為（－3,0），焦點為（0,0），所以p=6，所以拋物線方程是)y212(x3)9、若a,b為非零實數，則以下四個命題都成立：10222abb2③若ab，則ab①a②abaa④若a2ab，則ab。則關于隨意非零復數a,b，上述命題仍舊成立的序號是_____。【答案】②④【分析】關于①：解方程a10得ai，所以非零復數ai使得a1a0，①a不行立；②明顯成立；關于③：在復數集C中，|1|=|i|，則abab，所以③不行立；④明顯成立。則關于隨意非零復數a,b，上述命題仍舊成立的全部序號是②④10、平面內兩直線有三種地點關系：訂交，平行與重合。已知兩個訂交平面,與兩直線l1,l2，又知l1,l2在內的射影為s1,s2，在內的射影為t1,t2。試寫出s1,s2與t1,t2滿足的條件，使之必定能成為l1,l2是異面直線的充分條件共9頁第2頁【答案】s1//s2，而且t1與t2訂交（t1//t2，而且s1與s2訂交）【分析】作圖易得“能成為l1,l2是異面直線的充分條件”的是“s1//s2，而且t1與t2訂交”或“t1//t2，而且s1與s2訂交”。11、已知圓的方程22，P為圓上隨意一點（不包含原點）。直線OP的傾斜xy11角為弧度，OPd，則df的圖象大概為_____【答案】【分析】OP2cos()2sin,(0,)2二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A，B，C，D的四個結論，此中有且只有一個結論是正確的，一定把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或許選出的代號超出一個（無論能否都寫在圓括號內），一律得零分．12、已知2ai,bi是實系數一元二次方程x2pxq0的兩根，則p,q的值為A、p4,q5B、p4,q5C、p4,q5D、p4,q5【答案】A【分析】由于2ai，bi（i是虛數單位）是實系數一元二次方程x2pxq0的兩個根，所以a=－1，b=2，所以實系數一元二次方程x2pxq0的兩個根是2i所以p[(2i)(2i)]4,q(2i)(2i)5.。13、已知a,b為非零實數，且ab，則以下命題成立的是A、a2b2B、ab2a2bC、11D、baab2a2bab【答案】C【分析】若aba2b2，A不行立；若ab02bab2,B不行立；若a=1，b=2，aabba1ba則2,2a,所以D不行立,應選C。abb14、在直角坐標系xOy中，i,j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC共9頁第3頁中，AB2ij，AC3ikj，則k的可能值有A、1個B、2個C、3個D、4個【答案】B【分析】解法一：BCBAAC2ij3ikji(k1)j（1）若A為直角，則ABAC(2ij)(3ikj)6k0k6；（2）若B為直角，則ABBC(2ij)[i(k1)j]1k0k1；（3）若C為直角，則ACBC(3ikj)[i(k1)j]2k30k。k所以k的可能值個數是2，選B解法二：數形聯合．如圖，將A放在座標原點，則B點坐標為(2,1)，C點坐標為(3,k)，所以C點在直線x=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不行能為直角．所以k的可能值個數是2，選B15、已知fx是定義域為正整數集的函數，關于定義域內隨意的k，若fk2成立，則fk1k2成立，以下命題成立的是k1A、若f39成立，則關于隨意k1，均有fk2成立；kB、若f416成立，則關于隨意的k4，均有fkk2成立；C、若f749成立，則關于隨意的k7，均有fkk2成立；D、若f425成立，則關于隨意的k4，均有fkk2成立?！敬鸢浮緿【分析】對A，當k=1或2時，不必定有fkk2成立；對B，應有fkk2成立；對C，只好得出：關于隨意的k7，均有fkk2成立，不可以得出：隨意的k7，均有fk2成立；對D，f42516,關于隨意的k4，均有fkk2k成立。應選D。三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答以下各題一定寫出必需的步驟．16、體積為1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC1，求直線AB1與平面BCC1B1所成角?！痉治觥糠ㄒ唬河深}意，可得體積VCC1S△ABCCC1111，ACBCCC122AA1CC12．連結BC1．A1C1B1C1，A1C1CC1，共9頁第4頁C1B1A1C1平面BB1C1C，A1A1BC1是直線A1B與平面BB1C1C所成的角．BC12BC25，tanA1BC1A1C11，CBCC1BC15A則A1BC1＝arctan5．即直線A1B與平面BB1C1C所成角的大小為arctan5．55法二：由題意，可得z體積VCC1SABC11CC11，CCC1ACBC1B122CC12，A1如圖，成立空間直角坐標系．得點B(0，1，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)．則A1B(，，2)，CB11y平面BB1C1C的法向量為n(1，0，0)．Ax設直線A1B與平面BB1C1C所成的角為，AB與n的夾角為，1則cosA1Bn6，sin|cos|6,arcsin6，A1Bn666即直線A1B與平面BB1C1C所成角的大小為arcsin6．617、在三角形ABC中，a2,C,cosB25，求三角形ABC的面積S。254【分析】由題意，得cosB3為銳角，sinB4，B，55sinAsin(πBC)sin3π72，B104c10S1acsinB121048．由正弦定理得，72275718、最近幾年來，太陽能技術運用的步伐日趨加速，已知2002年全世界太陽能年生產量為670兆瓦，年增加率為34%。在今后的四年里，增加率以每年2%的速度增加（比方2003年的年生產量增加率為36%）（1）求2006年的太陽能年生產量（精準到0.1兆瓦）（2）已知2006年太陽能年安裝量為1420兆瓦，在今后的4年里年生產量保持42%的增加共9頁第5頁率，若2010年的年安裝量許多于年生產量的95%，求4年內年安裝量的增加率的最小值（精確到0.1%）【分析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產量的增加率挨次為36%，38%，40%，42%．則2006年全世界太陽電池的年生產量為6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)．1420(1)4（2）設太陽電池的年安裝量的均勻增加率為x，則x≥95%．解得x≥0.615．42499.8(142%)所以，這四年中太陽電池的年安裝量的均勻增加率最少應達到61.5%．19、已知函數fxx2a0,aR)(xx（1）判斷fx的奇偶性（2）若fx在2,是增函數，務實數a的范圍【分析】（1）當a0時，f(x)x2，對隨意x(，0)(0，)，f(x)(22f(x)，f(x)為偶函數．x)x當a0時，f(x)x2a(a0，x0)，x取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(，1)f(1)f，函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數．（2）解法一：設2≤x1x2，f(x1)f(x2)2a2a(x1x2)x1x2(x1x2)a，x1x1x2x2x1x2要使函數f(x)在x[2，)上為增函數，一定f(x1)f(x2)0恒成立．x1x20，124，即ax1x2(x1x2)恒成立．xx又x1x24，x1x2(x1x2)16．a的取值范圍是(，16]．解法二：當a0時，f(x)x2，明顯在[2，)為增函數．當a0時，反比率函數a在[2，)為增函數，f(x)x2a在[2，)為增函數．xx當a0時，同解法一．20、如有窮數列a1,a2...an（n是正整數），滿足a1an,a2an1....ana1即aiani1（i是正整數，且1in），就稱該數列為“對稱數列”。（1）已知數列bn是項數為7的對稱數列，且b1,b2,b3,b4成等差數列，b12,b411，共9頁第6頁試寫出bn的每一項（2）已知cn是項數為2k1k1的對稱數列，且ck,ck1...c2k1構成首項為50，公差為4的等差數列，數列cn的前2k1項和為S2k1，則當k為什么值時，S2k1取到最大值？最大值為多少？（3）關于給定的正整數m1，試寫出全部項數不超出2m的對稱數列，使得2m11,2,2...2成為數列中的連續(xù)項；當m1500時，試求此中一個數列的前2008項和S2008【分析】（1）設bn的公差為d，則b4b13d23d11，解得d3，數列bn為2，5，8，11，8，5，2．（2）S2k1c1c2ck1ckck1c2k12(ckck1c2k1)ck，S2k2250，14(k13)413當k13時，S2k1獲得最大值．S2k1的最大值為626．3）全部可能的“對稱數列”是：1，2，22，，2m2，2m1，2m2，，22，2，1；1，2，22，，2m2，2m1，2m1，2m2，，22，2，1；2m1，2m2，，22，2，1，，222，，2m2，2m1；2m1，2m2，，22，2，1，1，2，22，，2m2，2m1．關于①，當m≥2008時，S2008122222007220081．當1500m≤2007時，S2008122m22m12m222m2009m1m12m2009mm122m20091．22222關于②，當m≥2008時，S2008220081．當1500時，S2008m12m20081．m≤200722關于③，當m≥2008時，S20082m2m2008．當1500時，S2008m2009m3．m≤200722共9頁第7頁關于④，當m≥2008時，S20082m2m2008．當1500m≤2007時，S20082m22008m2．222221、已知半橢圓xy1x0與半橢圓yx21x0構成的曲線稱為“果圓”，222cabb2220,bc0。如圖，設點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點，A1，A2此中abc,a和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，（1）若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若A1AB1B，求b的取值范圍；a（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。能否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，獲得的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出全部的值；若不存在，說明原由。【分析】（1）F0(c，0)，F10，b2c2，F20，b2c2，yB2F0F2b2c2c2b1，F1F22b2c21，.F2于是c4，a2bc4.23227，所求“果圓”方程為OMA1F0x4x2y21(x≥0)，y24x21(x≤0).A273F1（2）由題意，得ac2b，即a2b22ba．B1(2b)2b2c2a2，a2b2(2ba)2b4，得．a52又b2c2a2b2,b21．a2

2，4．a252222（3）設“果圓”C的方程為xy1(x≥0)，yx1(x≤0)．a2b2b2c2記平行弦的斜率為k．22當k0時，直線yt(b≤t≤b)與半橢圓xy1(x≥0)的交點是a2b2Pt2，與半橢圓y2x