第18章 量子力學(xué)初步(電子工業(yè)出版社new)

2.本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)(1)實(shí)物粒子的波粒二象性與不確定關(guān)系(2)薛定諤方程的建立及初步應(yīng)用(3)原子中電子的存在狀況§17.1微觀粒子的波粒二象性一德布羅易物質(zhì)波觀念1.德布羅易物質(zhì)波觀念的提出光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)牛頓光的微粒說(shuō)惠更斯光的波動(dòng)說(shuō)物質(zhì)微粒的微粒說(shuō)物質(zhì)微粒的波動(dòng)說(shuō)物質(zhì)微粒的波粒二象性光電效應(yīng)光的波粒二象性2.德布羅易物質(zhì)波觀念的數(shù)學(xué)表述

第二式推導(dǎo)結(jié)論：實(shí)物粒子不僅具有粒子性，同時(shí)也具有波動(dòng)性實(shí)物粒子的波粒二象性是其內(nèi)稟屬性實(shí)物粒子的波粒二象性數(shù)學(xué)表述是通過(guò)類(lèi)比光的波粒二象性得到的討論：I.德布羅易關(guān)系式的物理意義

II.對(duì)實(shí)物粒子，德布羅易關(guān)系式的兩個(gè)公式互相獨(dú)立III.物質(zhì)微粒的能量是指其總能量，而不是粒子的動(dòng)能粒子低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可用粒子動(dòng)能代替其總能量求解波長(zhǎng)

例：電子的總能量可寫(xiě)為推算：物質(zhì)波波長(zhǎng)計(jì)算公式；并得到低速近似計(jì)算公式

解：由狹義相對(duì)論文獻(xiàn)查閱：文先俊，簡(jiǎn)述建立量子力學(xué)基本原理的思想方法，高等函授學(xué)報(bào)，1997，vol.4，p29~333.由德布羅易關(guān)系得到的若干結(jié)論

I宏觀粒子的波長(zhǎng)極小，僅顯示出極其微弱的波動(dòng)性例：已知：微塵：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：

m2=10-3kgv2=10-1m/s；電子:

m3=9.1110-31kg，v3=5107m/s求：它們各自的德布羅意波長(zhǎng)解：微塵小球電子(m)II由德布羅易關(guān)系得到玻爾量子條件駐波條件：電子回轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)應(yīng)為其波長(zhǎng)整數(shù)倍，即討論作用量：稱(chēng)與mrv有相同量綱的物理量為系統(tǒng)作用量結(jié)論：當(dāng)微觀粒子的作用量與h可相比擬時(shí)，該系統(tǒng)稱(chēng)量子系統(tǒng)思考題：無(wú)限深勢(shì)阱中粒子能量量子化III由德布羅易關(guān)系得到氫原子基態(tài)能量解：氫原子能量E對(duì)r求極值，可得(?)小結(jié)：由德布羅易關(guān)系推導(dǎo)出的若干結(jié)論與已有理論或?qū)嶒?yàn)結(jié)果是一致的，初步檢驗(yàn)了它的合理性二德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1.戴維遜－革末實(shí)驗(yàn)陰極電壓實(shí)驗(yàn)裝置陰極電壓實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象集電器電流強(qiáng)度隨電壓?jiǎn)握{(diào)增加作周期性變化周期變化滿(mǎn)足布拉格公式理論分析對(duì)鎳單晶，d=0.91?實(shí)驗(yàn)時(shí)，=65，V=54V理論波長(zhǎng)：1.67?實(shí)驗(yàn)波長(zhǎng)：1.65?三實(shí)物粒子波粒二象性的物理圖象

1.“波包”解釋

不同介質(zhì)中波的群速度不同一旦波彌散開(kāi)去，不能重新凝結(jié)2.“鬼場(chǎng)”解釋

約束粒子的導(dǎo)波產(chǎn)生機(jī)制問(wèn)題3.實(shí)物粒子波粒二象性的統(tǒng)計(jì)解釋例：分析電子的雙縫衍射實(shí)驗(yàn)，并說(shuō)明玻恩統(tǒng)計(jì)解釋的觀點(diǎn)思考：從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中總結(jié)波函數(shù)的物理意義弱電子束強(qiáng)電子束§18.2.不確定關(guān)系一不確定關(guān)系的內(nèi)涵1.不確定關(guān)系的引入由于粒子的波粒二象性，描述粒子經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)的參量：已經(jīng)不能描述量子粒子的運(yùn)動(dòng)狀況描述量子粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，繼續(xù)沿用軌道參量，但它們不再具有經(jīng)典物理中的軌道物理圖像

2.不確定關(guān)系的特例說(shuō)明以單電子單縫衍射中，電子坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系為例忽略次極大時(shí)，電子在x方向動(dòng)量范圍電子在x方向動(dòng)量不確定度有考慮次極大時(shí)，電子在x方向動(dòng)量不確定度單縫衍射第一級(jí)暗條紋出現(xiàn)位置的條件德布羅易波假設(shè)3.不確定關(guān)系典型特例表示方法一般表述方法嚴(yán)格表示方法典型特例表示方法討論不確定關(guān)系是微觀粒子的內(nèi)稟屬性，是波粒二象性的結(jié)果任何一對(duì)廣義動(dòng)量與廣義坐標(biāo)之乘積都滿(mǎn)足不確定關(guān)系不確定關(guān)系的本質(zhì)含義是：任何一對(duì)廣義動(dòng)量與廣義坐標(biāo)在理論上不可能同時(shí)具有確定值不確定關(guān)系只有在量子系統(tǒng)中才明顯表現(xiàn)出來(lái)利用不確定關(guān)系估算物理參量時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

二不確定關(guān)系的應(yīng)用舉例例：小球質(zhì)量m=10-3kg，速度v=0.1m/s，位置不確定度x=10-6m求：(1).小球的作用量；(2).小球動(dòng)量、速度不確定度解：(1).作用量

(2).由可得對(duì)作用量遠(yuǎn)大于h的經(jīng)典物理系統(tǒng)，廣義動(dòng)量與廣義坐標(biāo)是可以被同時(shí)精確測(cè)定1.不確定關(guān)系適用的條件例：電子的質(zhì)量me=9.110-31kg，氫原子的半徑為10-10m數(shù)量級(jí)求：(1).電子的作用量；(2).測(cè)量電子速度時(shí)的不確定度解：(1).作用量(2).由可得作用量與h相當(dāng)?shù)牧孔酉到y(tǒng)，不確定關(guān)系將起很重要作用，此時(shí)，不能再用經(jīng)典理論討論物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律例：顯象管中電子運(yùn)動(dòng)速度為107m/s數(shù)量級(jí)，電子束橫截面尺寸為10-4m數(shù)量級(jí)求：(1).顯象管中電子的作用量；

(2).電子橫向速度的不確定度解：(1).作用量(2).由可得不能單純以物理對(duì)象是否十分“微小”來(lái)判定該系統(tǒng)屬于經(jīng)典系統(tǒng)或量子系統(tǒng)，而必須依據(jù)其作用量是否與h相當(dāng)來(lái)判定2.不確定關(guān)系在估算物理量中的應(yīng)用例：用不確定關(guān)系，估算氫原子中可能有的最低能量解：不計(jì)原子核運(yùn)動(dòng)時(shí)，氫原子的能量就是原子中電子的能量取因?qū)⑸鲜酱肽芰勘磉_(dá)式求極值例：利用不確定關(guān)系估算譜線的自然寬度，取t~10-8s解：能級(jí)寬度：原子中電子的能級(jí)有一個(gè)寬度

電子壽命：電子在每一個(gè)能級(jí)上停留的時(shí)間

譜線的自然寬度：電子在能級(jí)間躍遷時(shí)的頻率寬度§18.3.波函數(shù)一波函數(shù)的引入

1.用波函數(shù)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀念的提出

用r、p、L描述方法不適合如何定量描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律？微觀粒子具有波粒二象性微觀粒子的不確定關(guān)系2.波函數(shù)引入的思路從波動(dòng)性角度描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)自由粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律以平面波描述束縛粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程給出(與經(jīng)典波動(dòng)對(duì)應(yīng))討論引入波函數(shù)概念是微觀粒子波粒二象性的必然結(jié)果波函數(shù)引入的思路同時(shí)給出了波動(dòng)量子力學(xué)數(shù)學(xué)體系的建立思路3.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋例：分析電子的雙縫衍射實(shí)驗(yàn)，并說(shuō)明玻恩統(tǒng)計(jì)解釋的觀點(diǎn)弱電子束強(qiáng)電子束

波函數(shù)模之平方代表粒子取得某一物理量值的幾率量子力學(xué)中波函數(shù)不代表任何實(shí)在形式的物質(zhì)波4.幾率波的數(shù)學(xué)表述討論波函數(shù)可乘以任意常數(shù)而不影響其幾率相對(duì)強(qiáng)弱的分布波函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足歸一化條件(自由粒子平面波函數(shù)例外)數(shù)學(xué)表述歸一化波函數(shù)可以寫(xiě)為

幾率密度三量子力學(xué)中波函數(shù)的基本特征1.波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)波函數(shù)形式(思考題?)2.波函數(shù)可以相差一個(gè)相位因子例：設(shè)1、2為體系的兩個(gè)可能狀態(tài)，作如下三種線性疊加那些狀態(tài)相同B和C3.量子力學(xué)中波函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件是：?jiǎn)沃?、連續(xù)、有限4.量子力學(xué)中波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理如果1、2分別是粒子存在的一個(gè)可能狀態(tài)，那么，它們的線性疊加1＋2——也是粒子的一個(gè)可能狀態(tài)；當(dāng)粒子處于1和2的線性疊加態(tài)時(shí)，微觀粒子同時(shí)處于1

和2態(tài)各粒子出現(xiàn)的幾率為例：設(shè)一維空間運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)可以表述為其中，A為任意常數(shù)，E、b為確定常數(shù)求：歸一化波函數(shù)；幾率密度解：由歸一化條件歸一化常數(shù)歸一化波函數(shù)幾率密度最大幾率密度點(diǎn)§17.4.非相對(duì)論薛定諤方程一建立薛定諤方程的限制條件1.動(dòng)力學(xué)微分方程的解必須是線性的2.微分方程中的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)參量二非相對(duì)論的薛定諤方程1.一維自由粒子非相對(duì)論的薛定諤方程一維自由粒子非相對(duì)論的波函數(shù)為對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)對(duì)空間求二次導(dǎo)數(shù)再由非相對(duì)論動(dòng)量、能量關(guān)系式考慮到非相對(duì)論自由粒子非相對(duì)論的薛定諤方程2.非相對(duì)論的薛定諤方程的一般形式及討論將自由粒子薛定諤方程中能量推廣為粒子的總能量，就可得到一般粒子的薛定諤方程引入算符則薛定諤方程可以寫(xiě)為一般形式下的薛定諤方程討論薛定諤方程反映量子微觀粒子體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如果量子微觀粒子體系的勢(shì)函數(shù)不含時(shí)間變量t，對(duì)應(yīng)的薛定諤方程可以寫(xiě)為定態(tài)薛定諤方程其中三定態(tài)薛定諤方程的應(yīng)用舉例1.一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題例：求解一維無(wú)限深方勢(shì)阱問(wèn)題解：束縛態(tài)：量子粒子在保守力場(chǎng)下被限制在一定空間范圍內(nèi)的狀態(tài)，稱(chēng)為束縛態(tài)定解問(wèn)題泛定方程邊界條件自然條件泛定方程的通解為代入邊界條件于是歸一化波函數(shù)為

波函數(shù)為代入自然條件本征能量

討論一維無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)實(shí)際上為駐波解一維無(wú)限深勢(shì)阱中的微觀粒子并不在勢(shì)阱中各點(diǎn)均勻出現(xiàn)一維無(wú)限深勢(shì)阱中微觀粒子的能量只能取分離值，且與n相關(guān)。稱(chēng)這些分離能量值為能量的本征值

微觀粒子的最低能量稱(chēng)為它的基態(tài)能量。一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的基態(tài)能量不為零，稱(chēng)為零點(diǎn)能例：設(shè)質(zhì)量為m的粒子處在寬度為a的一維無(wú)限深方勢(shì)阱中求：(1).粒子在0<xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率，并對(duì)n=1和n=的情況算出概率值

(2).在哪些量子態(tài)上，a/4處概率最大？解：(1).粒子在0<xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率已知粒子定態(tài)波函數(shù)概率密度粒子出現(xiàn)在0<xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率n=1時(shí)n=時(shí)(2).在哪些量子態(tài)上，a/4處概率最大當(dāng)或(k=0,1,2,)時(shí)，幾率取得極大，此時(shí)，n=2,6,10,

2.一維方形勢(shì)壘與隧道效應(yīng)問(wèn)題2.一維線形諧振子問(wèn)題A.泛定方程及化簡(jiǎn)

勢(shì)函數(shù)S.eq令S.eq(1).定解問(wèn)題

B.定解問(wèn)題

重要？(2).定解問(wèn)題求解A.漸近解B.本證值問(wèn)題波函數(shù)歸一常數(shù)本證值本證能量(2).討論A.零點(diǎn)能問(wèn)題B.在其它領(lǐng)域中的應(yīng)用例：一維方形勢(shì)壘與隧道效應(yīng)問(wèn)題勢(shì)能曲線寫(xiě)為解：(1).定解問(wèn)題A.泛定方程B.邊界條件重要？(2).定解問(wèn)題求解A.在情況下，令

泛定方程成為泛定方程的解將上面各式乘以時(shí)間因子三個(gè)區(qū)域解的第一項(xiàng)為右行波，第二項(xiàng)為左行波根據(jù)物理意義，得并與自由粒子波函數(shù)比較可知:考慮邊界條件，有考慮到幾率密度

入射波的幾率密度透射波的幾率密度反射波的幾率密度定義透射系數(shù)反射系數(shù)B.當(dāng)E<0時(shí)，k2為虛數(shù)，令k3為實(shí)數(shù)前面的計(jì)算仍成立，經(jīng)計(jì)算，得其中討論于是i.當(dāng)粒子的能量E很小，以致k1，k3具有相同數(shù)量級(jí)，時(shí)，于是透射系數(shù)隨勢(shì)壘寬度的增加而減小a(?)1.02.05.010.0D0.11.210-21.710-53.010-10ii.任意勢(shì)壘的透射系數(shù)iii.常見(jiàn)的隧道效應(yīng)現(xiàn)象及應(yīng)用a.全反射的透射光b.導(dǎo)線接頭處的電流c.STM隧道掃描顯微鏡任意形狀的勢(shì)壘§18.5量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述一氫原子的定態(tài)薛定諤方程與求解1.氫原子的定態(tài)薛定諤方程在球坐標(biāo)系下，薛定諤方程為重要？分離變量運(yùn)算，可得到如下三個(gè)方程其中，ml為待定系數(shù)2.氫原子的定態(tài)薛定諤方程的解(1).徑向波函數(shù)與能量量子化徑向本征函數(shù)其中，a0是玻爾第一軌道半徑是締合拉蓋爾多項(xiàng)式

能量本征值其中討論:A.關(guān)于能量本征值量子力學(xué)得到的氫原子能量本征值與玻爾理論給出的相同徑向波函數(shù)表明：對(duì)同一個(gè)n，有n個(gè)電子的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

簡(jiǎn)并態(tài)：對(duì)物理量，如果不同微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)相同的值，稱(chēng)這些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是物理量的簡(jiǎn)并態(tài)

簡(jiǎn)并度：m個(gè)不同微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)相同的值，稱(chēng)物理量是m度簡(jiǎn)并的

主能量量子數(shù)n(主量子數(shù)、能量量子數(shù))徑向本征函數(shù)能量本征值B.量子數(shù)與物理模型相同量子數(shù)n的所有軌道(n個(gè))組成同一電子殼層；相同n，不同l的每一個(gè)軌道稱(chēng)為一個(gè)電子亞殼層(2).角向波函數(shù)與角動(dòng)量量子化將已得量子數(shù)取值代入分離變量式的第一和第二式并求解，可以得到如下結(jié)論方向本征波函數(shù)角動(dòng)量本征值角動(dòng)量量子數(shù)取值m為空間量子數(shù)(或稱(chēng)磁量子數(shù))討論量子力學(xué)中角動(dòng)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式與玻爾理論得到的不同，角動(dòng)量量子數(shù)的取值范圍也不相同角動(dòng)量量子數(shù)分別取1,2,3,4,5,6,7…時(shí)，分別稱(chēng)微觀粒子處于

s,p,d,f,g,h,i…等電子狀態(tài)角動(dòng)量為矢量，滿(mǎn)足平行四邊形合成法則(3).角動(dòng)量的空間量子化解分離變量式中的第一式，容易得到以下結(jié)論角動(dòng)量z方向取值方向的本征波函數(shù)磁量子數(shù)ml的取值范圍討論角動(dòng)量z方向的量子化角動(dòng)量z方向：磁場(chǎng)方向稱(chēng)為z方向

空間量子化現(xiàn)象3.斯特恩(O.stern)－革拉赫W.Gerlach)實(shí)驗(yàn)(1).stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)(i).實(shí)驗(yàn)裝置(ii).實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(2).實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象解釋與自旋量子數(shù)(i).量子力學(xué)中的角動(dòng)量合成法則角動(dòng)量l1與角動(dòng)量l2合成的總角動(dòng)量記為J，則例：設(shè)l1=1，l2=3，計(jì)算合成的角動(dòng)量值解：首先計(jì)算合成角動(dòng)量量子數(shù)j的取值范圍于是，合成角動(dòng)量值為(ii).stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象解釋與自旋量子數(shù)設(shè)處于l量子態(tài)上的電子有自旋角動(dòng)量S，則其總角動(dòng)量J為對(duì)基態(tài)銀原子，已知l=0，于是依據(jù)氫原子理論，角動(dòng)量在磁場(chǎng)中會(huì)發(fā)生空間取向量子化，且磁量子數(shù)ml的取值范圍應(yīng)用于基態(tài)銀原子，有共有2s+1種可能取值因?qū)嶒?yàn)發(fā)現(xiàn)共有2條銀原子斑紋，即討論電子自旋角動(dòng)量電子自旋角動(dòng)量的z分量為什么斑紋條數(shù)對(duì)應(yīng)磁量子數(shù)的2m+1電子自旋角動(dòng)量量子數(shù)電子自旋角動(dòng)量磁量子數(shù)二原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述磁量子數(shù)不應(yīng)該是從-到+么？重要？§18.6

Pauli不相容原理與元素周期表一能量最低原理原子中電子總是首先填充在能量最低的軌道上穩(wěn)定態(tài)的原子體系，其總能量最低二原子實(shí)與能級(jí)交錯(cuò)現(xiàn)象1.原子實(shí)原子實(shí)：原子核與內(nèi)層電子組成的系統(tǒng)2.軌道貫穿與能級(jí)交錯(cuò)(i).價(jià)電子軌道貫穿理論(ii).外層電子排布的能級(jí)交錯(cuò)現(xiàn)象能級(jí)交錯(cuò)現(xiàn)象1s2s,2p3s,3p4s,3d,4p5s,4d,5p6s,4f,5d,6p7s,5f,6d能級(jí)交錯(cuò)排序1s2s,2p3s,