數(shù)值分析總復(fù)習(xí)

總復(fù)習(xí)第一章、緒論

1.掌握絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限及有效數(shù)字的概念。掌握誤差限和有效數(shù)字之間的關(guān)系。會計(jì)算誤差限和有效數(shù)字。

2.了解數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的一些問題.

一般地,凡是由精確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。

定義1設(shè)數(shù)x是數(shù)x*的近似值，如果x的絕對誤差限是它的某一數(shù)位的半個(gè)單位，并且從x左起第一個(gè)非零數(shù)字到該數(shù)位共有n位，則稱這n個(gè)數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x*時(shí)具有n位有效數(shù)字。第二章、解線性方程組的直接法

1.了解Gauss消元法的基本思想,知道適用范圍

2.掌握矩陣的直接三角分解法。

順序Gauss消元法:矩陣A的各階順序主子式都不為零.

主元Gauss消元法:矩陣A的行列式不為零.

定理設(shè)n階方陣A的各階順序主子式不為零,則存在唯一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A=LU.會對矩陣進(jìn)行Doolittle分解

、Crout分解熟練掌握用三角分解法求方程組的解。了解平方根法和追趕法的思想。

3.了解向量和矩陣的范數(shù)的定義,會判定范數(shù)(三要素非負(fù)性、齊次性、三角不等式);會計(jì)算幾個(gè)常用的向量和矩陣的范數(shù)；了解范數(shù)的等價(jià)性和向量矩陣極限的概念。

4.了解方程組的性態(tài)，會計(jì)算簡單矩陣的譜半徑和條件數(shù)。第三章、解線性方程組的迭代法

1.會建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。

（1）迭代法收斂迭代矩陣譜半徑小于1.

（2）迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的范數(shù)小于1.

（3）A嚴(yán)格對角占優(yōu),則J法,GS法,SOR法(0<1)收斂.

（4）A對稱正定,則GS法,SOR法(0<<2)收斂.J_法收斂的充分必要條件是2D-A也正定.

2.掌握并會應(yīng)用迭代法的誤差估計(jì)式。第四章、解非線性方程的迭代法

1.了解二分法的思想,誤差估計(jì)式|xk-|2-(k+1)(b-a).

2.會建立簡單迭代法迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。整體收斂若1.a(x)b;2.|(x)|L<1,x[a,b].則xk+1=(xk),x0[a,b]都收斂于方程的唯一根.局部收斂若|()|<1,則對充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收斂.

3.了解迭代法收斂階的概念,會求迭代法收斂的階.

(1)xkp階收斂于是指:

(2)若()0,則迭代法線性收斂.

4.會建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的優(yōu)缺點(diǎn).了解Newton迭代法的變形.局部平方收斂.

(3)若()=()=…=(m-1)()=0,但(m)()0,則迭代法是m階收斂的.第五章、插值與逼近

1.了解差商的概念和性質(zhì).

Lagrange、Newton、Hermite插值多項(xiàng)式；基函數(shù)法及待定系數(shù)法。

2.會建立插值多項(xiàng)式并導(dǎo)出插值余項(xiàng).

3.了解分段插值及三次樣條插值的概念及構(gòu)造思想。會構(gòu)造簡單的三次樣條插值函數(shù).

4.了解正交多項(xiàng)式的概念，會求簡單的正交多項(xiàng)式。

5.掌握最小二乘法的思想，會求擬合曲線及最佳均方誤差.

1.了解求積公式的一般形式及插值型求積公式的構(gòu)造.掌握梯形公式和Simpson公式及其誤差。

2.掌握求積公式的代數(shù)精度的概念，會用待定系數(shù)法確定求積公式。第六章、數(shù)值積分

3.會用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分并會用誤差估計(jì)式.

1.了解構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想及概念。第七章、常微分方程數(shù)值解法

2.掌握差分公式局部截?cái)嗾`差和階的概念。

3.會判斷單步方法的收斂性和穩(wěn)定性，求穩(wěn)定區(qū)間。

如差分公式的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1),則稱p階方法.

定理設(shè)單步方法的增量函數(shù)(x,y,h)關(guān)于y滿足Lipschitz條件,則方法是收斂的.若單步方法用于試驗(yàn)方程為:yn+1=g(h)yn,則方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域是:|g(h)|<1.

利用三角分解方法解線性方程組

解:例1先解

,得再解

,得例題講解

矩陣的1-范數(shù):‖A‖1

矩陣的2-范數(shù):‖A‖2

,也稱為譜范數(shù).

矩陣的-范數(shù):‖A‖

,也稱為行范數(shù).

矩陣的F-范數(shù):‖A‖F(xiàn)

向量的1-范數(shù):‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn|

向量的2-范數(shù):‖x‖2=

向量的-范數(shù):‖x‖=

例2設(shè)矩陣求矩陣A的范數(shù)‖A‖p,p=1,2,,F.(求譜半徑、條件數(shù)）解‖A‖1=4,‖A‖=5,‖A‖F(xiàn)例3設(shè)線性方程組

(1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)討論這兩種迭代法的收斂性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計(jì)算時(shí),預(yù)估誤差x*-x(10)(取三位有效數(shù)字).

(2)因?yàn)锳是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacobi法收斂,SOR法當(dāng)0<1時(shí)收斂.

解(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為

(3)由(1)可見B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計(jì)算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有

的數(shù)據(jù)表

已知函數(shù)分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分

解:(1)例4xk?(xk)xk?(xk)xk?(xk)013/80.97672673/40.90885171/80.99739781/20.95885117/80.87719261/40.98961585/80.936155610.8414710的近似值。取n=8,取n=4,(2)定積分I精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的值是0.9460831。例5：給定數(shù)表，求次數(shù)不高于5的Hermite插值多項(xiàng)式。-10121014161510.1解：設(shè)由xyo4-314例6給出如下離散數(shù)據(jù)xi-3-2-101234yi-3.2-2.1-1.20.10.92.13.34權(quán)函數(shù)(x)=1，試求y(x)的擬合曲線.-3

解繪草圖故求線性擬合曲線,0(x)=1,1(x)=x.權(quán)函數(shù)(x)=1,記0=(1,1,1,1,1,1,1,1)T,1=(-3,-2,-1,0,1,2,3,4)T,=(-3.2,-2.1,-1.2,0.1,0.9,2.1,3.3,4)T.正則方程組為所求擬合曲線為y=-0.036905+1.048810x此時(shí),擬合曲線的均方誤差為||*20.329666例7對下列數(shù)據(jù)求形如y=aebx的擬合曲線xi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6解設(shè)z=lny,則z=A+bx,其中A=lna,由zi=lnyi

得zi2.727853.020423.310543.600053.893864.183584.475064.76729對z(x)作線性擬合曲線,取0(x)=1,1(x)=x.權(quán)函數(shù)(x)=1,則0=(1,1,1,1,1,1,1,1)T,1=(1,2,3,4,5,6,7,8)T,z=(2.72785,3.02042,3.31054,3.60005,3.89386,4.18358,4.47506,4.76729)T,得正則方程組

8A+36b=29.97865

36A+204b=147.13503解得A=2.43686,b=0.29122,于是有a=eA=11.43707,擬合曲線為:(x)=11.43707e0.29122x例8（P129)定義內(nèi)積試在中尋求對于的最佳平方逼近元素p(x).

解0(x)=1,1(x)=x，權(quán)函數(shù)(x)=1法方程為：y=y-2x/y,0x1的數(shù)值解,取步長h=0.1.[精確解為y(x)=(1+2x)1/2.]例9求初值問題y(0)=1解(1)利用Euler方法計(jì)算結(jié)果如下:

(2)利用改進(jìn)Euler方法y=y-2x/y,0x1y(0)=1nxnEuler方法yn改進(jìn)Euler法yn精確解y(xn)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.19181