CG二維變換及二維觀察

會(huì)計(jì)學(xué)1CG二維變換及二維觀察2023/1/1726.1.2幾何變換圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。第2頁(yè)/共80頁(yè)第1頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1736.1.3二維變換矩陣第3頁(yè)/共80頁(yè)第2頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1746.2基本幾何變換基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換6.2.1平移變換平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位過(guò)程。第4頁(yè)/共80頁(yè)第3頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/175平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換（rigid-bodytransformation）第5頁(yè)/共80頁(yè)第4頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/176Tx，Ty稱(chēng)為平移矢量推導(dǎo)：矩陣：第6頁(yè)/共80頁(yè)第5頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1776.2.2比例變換比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱(chēng)為比例系數(shù)。第7頁(yè)/共80頁(yè)第6頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/178推導(dǎo)：矩陣：第8頁(yè)/共80頁(yè)第7頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/179第9頁(yè)/共80頁(yè)第8頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1710整體比例變換：第10頁(yè)/共80頁(yè)第9頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17116.2.3旋轉(zhuǎn)變換二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)p’的重定位過(guò)程。第11頁(yè)/共80頁(yè)第10頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1712推導(dǎo)：矩陣：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角?第12頁(yè)/共80頁(yè)第11頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1713簡(jiǎn)化計(jì)算

第13頁(yè)/共80頁(yè)第12頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17146.2.4對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。第14頁(yè)/共80頁(yè)第13頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1715第15頁(yè)/共80頁(yè)第14頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1716(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)第16頁(yè)/共80頁(yè)第15頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1717(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)第17頁(yè)/共80頁(yè)第16頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1718(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)第18頁(yè)/共80頁(yè)第17頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1719(4)關(guān)于y=x軸對(duì)稱(chēng)第19頁(yè)/共80頁(yè)第18頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1720(5)關(guān)于y=-x軸對(duì)稱(chēng)第20頁(yè)/共80頁(yè)第19頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17216.2.5錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換，也稱(chēng)為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。第21頁(yè)/共80頁(yè)第20頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1722其變換矩陣為：

(1)沿x方向錯(cuò)切

(2)沿y方向錯(cuò)切

(3)兩個(gè)方向錯(cuò)切第22頁(yè)/共80頁(yè)第21頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17236.2.6二維圖形幾何變換的計(jì)算幾何變換均可表示成P’=P*T的形式

1.點(diǎn)的變換

2.直線的變換 3.多邊形的變換 4.曲線的變換第23頁(yè)/共80頁(yè)第22頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17246.3復(fù)合變換復(fù)合變換是指：圖形作一次以上的幾何變換，變換結(jié)果是每次的變換矩陣相乘。任何一復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式。復(fù)合變換具有形式：第24頁(yè)/共80頁(yè)第23頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17256.3.1二維復(fù)合平移 兩個(gè)連續(xù)平移是加性的。6.3.2二維復(fù)合比例 連續(xù)比例變換是相乘的。6.3.3二維復(fù)合旋轉(zhuǎn) 兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)是相加的?？蓪?xiě)為：第25頁(yè)/共80頁(yè)第24頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17266.3.4其它二維復(fù)合變換第26頁(yè)/共80頁(yè)第25頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17276.3.5相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)某個(gè)參考點(diǎn)(xF,yF)作二維幾何變換，其變換過(guò)程為： (1)平移 (2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行二維幾何變換。 (3)反平移 例1.相對(duì)點(diǎn)(xF,yF)的旋轉(zhuǎn)變換 例2.相對(duì)點(diǎn)(xF,yF)的比例變換第27頁(yè)/共80頁(yè)第26頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17286.3.6相對(duì)任意方向的二維幾何變換相對(duì)任意方向作二維幾何變換，其變換的過(guò)程是： (1)旋轉(zhuǎn)變換 (2)針對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行二維幾何變換； (3)反向旋轉(zhuǎn) 例3.相對(duì)直線y=x的反射變換第28頁(yè)/共80頁(yè)第27頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1729 例4.將正方形ABCO各點(diǎn)沿圖6-8所示的(0,0)→(1,1)方向進(jìn)行拉伸，結(jié)果為如圖所示的，寫(xiě)出其變換矩陣和變換過(guò)程。第29頁(yè)/共80頁(yè)第28頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17306.3.7坐標(biāo)系之間的變換問(wèn)題：第30頁(yè)/共80頁(yè)第29頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1731分析：第31頁(yè)/共80頁(yè)第30頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1732可以分兩步進(jìn)行：第32頁(yè)/共80頁(yè)第31頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1733于是：

第33頁(yè)/共80頁(yè)第32頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17346.3.8光柵變換直接對(duì)幀緩存中象素點(diǎn)進(jìn)行操作的變換稱(chēng)為光柵變換。

光柵平移變換：

第34頁(yè)/共80頁(yè)第33頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/173590°、180°和270°的光柵旋轉(zhuǎn)變換：

第35頁(yè)/共80頁(yè)第34頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1736任意角度的光柵旋轉(zhuǎn)變換：

第36頁(yè)/共80頁(yè)第35頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1737光柵比例變換：

第37頁(yè)/共80頁(yè)第36頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17386.3.9變換的性質(zhì)仿射變換具有平行線不變性和有限點(diǎn)數(shù)目的不變性平移、比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切和反射等變換均是二維仿射變換的特例，反過(guò)來(lái)，任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的復(fù)合。

二維仿射變換是具有如下形式的二維坐標(biāo)變換：

第38頁(yè)/共80頁(yè)第37頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1739二維幾何變換具有如下一些性質(zhì)：直線的中點(diǎn)不變性；平行直線不變性；相交不變性；僅包含旋轉(zhuǎn)、平移和反射的仿射變換維持角度和長(zhǎng)度的不變性；比例變化可改變圖形的大小和形狀；錯(cuò)切變化引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生畸變。第39頁(yè)/共80頁(yè)第38頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17406.4兩維觀察6.4.1基本概念在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，將在用戶坐標(biāo)系中需要進(jìn)行觀察和處理的一個(gè)坐標(biāo)區(qū)域稱(chēng)為窗口（Window）將窗口映射到顯示設(shè)備上的坐標(biāo)區(qū)域稱(chēng)為視區(qū)（Viewport）第40頁(yè)/共80頁(yè)第39頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1741 要將窗口內(nèi)的圖形在視區(qū)中顯示出來(lái)，必須經(jīng)過(guò)將窗口到視區(qū)的變換（Window-ViewportTransformation）處理，這種變換就是觀察變換（ViewingTransformation）。第41頁(yè)/共80頁(yè)第40頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1742第42頁(yè)/共80頁(yè)第41頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1743觀察坐標(biāo)系(ViewCoordinate)和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NormalizedDeviceCoordinate)

觀察坐標(biāo)系是依據(jù)窗口的方向和形狀在用戶坐標(biāo)平面中定義的直角坐標(biāo)系。規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系也是直角坐標(biāo)系，它是將二維的設(shè)備坐標(biāo)系規(guī)格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）的坐標(biāo)范圍內(nèi)形成的。第43頁(yè)/共80頁(yè)第42頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1744 引入了觀察坐標(biāo)系和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系后，觀察變換分為如下圖所示的幾個(gè)步驟，通常稱(chēng)為二維觀察流程。

第44頁(yè)/共80頁(yè)第43頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1745變焦距效果第45頁(yè)/共80頁(yè)第44頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1746整體放縮效果漫游效果

第46頁(yè)/共80頁(yè)第45頁(yè)/共80頁(yè)6.4.2用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換分由兩個(gè)變換步驟合成： 1.將觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)移動(dòng)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)第47頁(yè)/共80頁(yè)第46頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1748

2.繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使兩坐標(biāo)系重合

第48頁(yè)/共80頁(yè)第47頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17496.4.3窗口到視區(qū)的變換第49頁(yè)/共80頁(yè)第48頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1750

要將窗口內(nèi)的點(diǎn)（xw,yw）映射到相對(duì)應(yīng)的視區(qū)內(nèi)的點(diǎn)（xv,yv）需進(jìn)行以下步驟： (1)將窗口左下角點(diǎn)移至用戶系統(tǒng)系的坐標(biāo)原點(diǎn) (2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行比例變換 (3)進(jìn)行反平移第50頁(yè)/共80頁(yè)第49頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17516.5裁剪在二維觀察中，需要在觀察坐標(biāo)系下對(duì)窗口進(jìn)行裁剪，即只保留窗口內(nèi)的那部分圖形，去掉窗口外的圖形。假設(shè)窗口是標(biāo)準(zhǔn)矩形，即邊與坐標(biāo)軸平行的矩形，由上（y=wyt）、下（y=wyb）、左（x=wxl）、右（x=wxr）四條邊描述。第51頁(yè)/共80頁(yè)第50頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17526.5.1點(diǎn)的裁剪第52頁(yè)/共80頁(yè)第51頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17536.5.2直線段的裁剪假定直線段用p1(x1,y1)p2(x2,y2)表示。直線段和剪裁窗口的可能關(guān)系：完全落在窗口內(nèi)完全落在窗口外與窗口邊界相交

第53頁(yè)/共80頁(yè)第52頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1754實(shí)交點(diǎn)是直線段與窗口矩形邊界的交點(diǎn)。虛交點(diǎn)則是直線段與窗口矩形邊界延長(zhǎng)線或直線段的延長(zhǎng)線與窗口矩形邊界的交點(diǎn)。

第54頁(yè)/共80頁(yè)第53頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17551.Cohen-Sutherland算法基本思想：對(duì)每條直線段p1(x1,y1)p2(x2,y2)分三種情況處理：(1)直線段完全可見(jiàn)，“簡(jiǎn)取”之。(2)直線段完全不可見(jiàn)，“簡(jiǎn)棄”之。(3)直線段既不滿足“簡(jiǎn)取”的條件，也不滿足“簡(jiǎn)棄”的條件，需要對(duì)直線段按交點(diǎn)進(jìn)行分段，分段后重復(fù)上述處理。

第55頁(yè)/共80頁(yè)第54頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1756編碼：對(duì)于任一端點(diǎn)(x,y)，根據(jù)其坐標(biāo)所在的區(qū)域，賦予一個(gè)4位的二進(jìn)制碼D3D2D1D0。編碼規(guī)則如下：若x<wxl，則D0=1，否則D0=0；若x>wxr，則D1=1，否則D1=0；若y<wyb，則D2=1，否則D2=0；若y>wyt，則D3=1，否則D3=0。

第56頁(yè)/共80頁(yè)第55頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1757裁剪 裁剪一條線段時(shí)，先求出端點(diǎn)p1和p2的編碼code1和code2，然后： (1)若code1|code2=0，對(duì)直線段應(yīng)簡(jiǎn)取之。 (2)若code1&code2≠0，對(duì)直線段可簡(jiǎn)棄之。 (3)若上述兩條件均不成立。則需求出直線段與窗口邊界的交點(diǎn)。在交點(diǎn)處把線段一分為二，其中必有一段完全在窗口外，可以棄之。再對(duì)另一段重復(fù)進(jìn)行上述處理，直到該線段完全被舍棄或者找到位于窗口內(nèi)的一段線段為止。第57頁(yè)/共80頁(yè)第56頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1758求交：假定直線的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)和(x2,y2)左、右邊界交點(diǎn)的計(jì)算：上、下邊界交點(diǎn)的計(jì)算：

第58頁(yè)/共80頁(yè)第57頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1759算法的步驟：(1)輸入直線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標(biāo)：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)對(duì)p1、p2進(jìn)行編碼：點(diǎn)p1的編碼為code1，點(diǎn)p2的編碼為code2。(3)若code1|code2=0，對(duì)直線段應(yīng)簡(jiǎn)取之，轉(zhuǎn)(6)；否則，若code1&code2≠0，對(duì)直線段可簡(jiǎn)棄之，轉(zhuǎn)(7)；當(dāng)上述兩條均不滿足時(shí)，進(jìn)行步驟(4)。(4)確保p1在窗口外部：若p1在窗口內(nèi)，則交換p1和p2的坐標(biāo)值和編碼。(5)按左、右、上、下的順序求出直線段與窗口邊界的交點(diǎn)，并用該交點(diǎn)的坐標(biāo)值替換p1的坐標(biāo)值。也即在交點(diǎn)s處把線段一分為二，并去掉p1s這一段?？紤]到p1是窗口外的一點(diǎn)，因此可以去掉p1s。轉(zhuǎn)(2)。(6)用直線掃描轉(zhuǎn)換算法畫(huà)出當(dāng)前的直線段p1p2。(7)算法結(jié)束。

第59頁(yè)/共80頁(yè)第58頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1760例如：

特點(diǎn)：

第60頁(yè)/共80頁(yè)第59頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17612.中點(diǎn)分割算法基本思想：當(dāng)對(duì)直線段不能簡(jiǎn)取也不能簡(jiǎn)棄時(shí)，簡(jiǎn)單地把線段等分為二段，對(duì)兩段重復(fù)上述測(cè)試處理，直至每條線段完全在窗口內(nèi)或完全在窗口外。

第61頁(yè)/共80頁(yè)第60頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1762算法步驟：(1)輸入直線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標(biāo)：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)對(duì)p1、p2進(jìn)行編碼：點(diǎn)p1的編碼為code1，點(diǎn)p2的編碼為code2。(3)若code1|code2=0，對(duì)直線段應(yīng)簡(jiǎn)取之，保留當(dāng)前直線段的端點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)(5)；否則，若code1&code2≠0，對(duì)直線段可簡(jiǎn)棄之，轉(zhuǎn)(5)；當(dāng)上述兩條均不滿足時(shí)，進(jìn)行步驟(4)。(4)求出直線段的中點(diǎn)M，將p1M、p2M入棧。(5)當(dāng)棧不空時(shí)，從棧中彈出一條直線段，取為p1p2，轉(zhuǎn)(2)進(jìn)行處理。否則，繼續(xù)(6)。(6)當(dāng)棧為空時(shí)，合并保留的直線段端點(diǎn)，得到窗口內(nèi)的直線段p1p2。用直線掃描轉(zhuǎn)換算法畫(huà)出當(dāng)前的直線段p1p2，算法結(jié)束。第62頁(yè)/共80頁(yè)第61頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1763 中點(diǎn)分割算法的核心思想是通過(guò)二分逼近來(lái)確定直線段與窗口的交點(diǎn)。第63頁(yè)/共80頁(yè)第62頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1764重新構(gòu)造算法步驟：(1)若code1|code2=0，對(duì)直線段應(yīng)簡(jiǎn)取之，結(jié)束；否則，若code1&code2≠0，對(duì)直線段可簡(jiǎn)棄之，結(jié)束；當(dāng)這兩條均不滿足時(shí)，進(jìn)行步驟(2)。(2)找出該直線段離窗口邊界最遠(yuǎn)的點(diǎn)和該直線段的中點(diǎn)。判中點(diǎn)是否在窗口內(nèi)：若中點(diǎn)不在窗口內(nèi)，則把中點(diǎn)和離窗口邊界最遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成的線段丟掉，以線段上的另一點(diǎn)和該中點(diǎn)再構(gòu)成線段求其中點(diǎn)；如中點(diǎn)在窗口內(nèi)，則又以中點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成線段，并求其中點(diǎn)，直到中點(diǎn)與窗口邊界的坐標(biāo)值在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)相等，則該中點(diǎn)就是該線段落在窗口內(nèi)的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)。(3)如另一點(diǎn)在窗口內(nèi)，則經(jīng)(2)即確定了該線段在窗口內(nèi)的部分。如另一點(diǎn)不在窗口內(nèi)，則該點(diǎn)和所求出的在窗口上的那一點(diǎn)構(gòu)成一條線段，重復(fù)步驟(2)，即可求出落在窗口內(nèi)的另一點(diǎn)。第64頁(yè)/共80頁(yè)第63頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1765例如：

特點(diǎn)：

第65頁(yè)/共80頁(yè)第64頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17663.Liang-Barsky算法

分析

推導(dǎo)

第66頁(yè)/共80頁(yè)第65頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1767特殊處理：第67頁(yè)/共80頁(yè)第66頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1768算法步驟：(1)輸入直線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)：(x1,y1)和(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標(biāo)：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)若Δx=0，則p1=p2=0。此時(shí)進(jìn)一步判斷是否滿足q1<0或q2<0，若滿足，則該直線段不在窗口內(nèi)，算法轉(zhuǎn)(7)。否則，滿足q1>0且q2>0，則進(jìn)一步計(jì)算u1和u2。算法轉(zhuǎn)(5)。(3)若Δy=0，則p3=p4=0。此時(shí)進(jìn)一步判斷是否滿足q3<0或q4<0，若滿足，則該直線段不在窗口內(nèi)，算法轉(zhuǎn)(7)。否則，滿足q1>0且q2>0，則進(jìn)一步計(jì)算u1和u2。算法轉(zhuǎn)(5)。(4)若上述兩條均不滿足，則有pk≠0（k=1,2,3,4）。此時(shí)計(jì)算u1和u2。(5)求得u1和u2后，進(jìn)行判斷：若u1>u2，則直線段在窗口外，算法轉(zhuǎn)(7)。若u1<u2，利用直線的參數(shù)方程求得直線段在窗口內(nèi)的兩端點(diǎn)坐標(biāo)。(6)利用直線的掃描轉(zhuǎn)換算法繪制在窗口內(nèi)的直線段。算法結(jié)束。第68頁(yè)/共80頁(yè)第67頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17694.其它裁剪算法簡(jiǎn)介Cohen-Sutherland算法、中點(diǎn)分割算法和Liang-Barsky算法Cyrus-Beck算法Nicholl-Lee-Nicholl算法第69頁(yè)/共80頁(yè)第68頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17706.5.3多邊形的裁剪問(wèn)題的提出：

第70頁(yè)/共80頁(yè)第69頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/17711.Sutherland-Hodgeman多邊形裁剪

基本思想第71頁(yè)/共80頁(yè)第70頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1772第72頁(yè)/共80頁(yè)第71頁(yè)/共80頁(yè)2023/1/1773算法實(shí)施策略：為窗口各邊界裁剪的多邊形存儲(chǔ)輸入與輸出頂點(diǎn)表。在窗口的一條裁剪邊界處理完所有頂點(diǎn)后，其輸出頂點(diǎn)表將用窗口的下一條邊界繼續(xù)裁剪。窗口