D102對坐標(biāo)曲線積分27899

會計學(xué)1D102對坐標(biāo)曲線積分278991)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共27頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共27頁2.定義.設(shè)

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共27頁若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共27頁3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共27頁二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共27頁對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點根據(jù)定義由于對應(yīng)參數(shù)因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共27頁特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共27頁例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共27頁例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共27頁例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共27頁例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共27頁例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共27頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共27頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共27頁二者夾角為例6.設(shè)曲線段L

的長度為s,證明續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共27頁例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共27頁1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共27頁3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共27頁4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共27頁原點O

的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指向原點,沿橢圓此質(zhì)點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共27頁2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共27頁作業(yè)P1413(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共27頁備用題

1.解:線移動到向坐標(biāo)原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質(zhì)點在力場F

作用下由點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共27頁2.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為