2022年北京宣武區(qū)外國語實驗學校高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

2022年北京宣武區(qū)外國語實驗學校高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}，則A∩B=(

)A．（﹣1，1） B．{﹣1，0，1} C．（0，2） D．{0，1，2}參考答案：D【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中不等式變形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即B=（﹣1，4），∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對稱，它的周期是π，則（）A．f（x）的圖象過點（0，）

B．f（x）的圖象在[，]上遞減C．f（x）的最大值為A

D．f（x）的一個對稱中心是點（，0）參考答案：D考點： 三角函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性．專題： 計算題．分析： 由周期公式可先求ω，根據(jù)函數(shù)對稱軸處取得函數(shù)最值，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱，可得sin（?+）=±1，代入可得?=，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個檢驗選項．解答： 解：T=π，∴ω=2．∵圖象關(guān)于直線x=對稱，sin（φ+×2）=±1即×2+φ=+kπ，k∈Z又∵﹣＜φ＜，∴φ=∴f（x）=Asin（2x+）．再用檢驗法逐項驗證．故選D點評： 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)：周期公式的應(yīng)用；三角函數(shù)對稱軸的性質(zhì)，正弦函數(shù)在對稱軸處取得最值．3.若，則下列不等式不成立的是

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.如圖是根據(jù)我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中更相減損術(shù)設(shè)計的程序框圖，若輸入的，，則輸出的a=（

）A.2 B.3 C.6 D.8參考答案：C【分析】更相減損術(shù)求的是最大公約數(shù)，由此求得輸出的值.【詳解】由于更相減損術(shù)求的是最大公約數(shù)，和的最大公約數(shù)是，故輸出，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知滿足條件的點（x,y）構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，滿足條件的點（x,y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為,其中分別表示不大于的最大整數(shù)，例如:[-0.4]=-1,[1.6]=1,則的關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：略6.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表廣告費用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為()A.63.6萬元

B.65.5萬元

C.67.7萬元

D.72.0萬元參考答案：B7.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（

）(A)．1個

(B)．2個

(C)．3個

(D)．4個參考答案：D略8.已知兩條直線m，n和兩個不同平面α，β，滿足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，則（）A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l參考答案：D【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】利用直線與平面平行于垂直的關(guān)系，平面與平面垂直的關(guān)系判斷選項即可．【解答】解：兩條直線m，n和兩個不同平面α，β，滿足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，則m，n的位置關(guān)系是，平行，相交或異面，直線n與l的位置關(guān)系是垂直，如圖：故選：D．9.過的直線被圓截得的線段長為2時，直線的斜率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.在實數(shù)集上隨機取一個數(shù)，事件=“,”，事件=“”，則（︱）=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量滿足，則向量與夾角的余弦值為

.參考答案：12.已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值有_________個.參考答案：9【分析】由，，結(jié)合正弦函數(shù)圖像的特征可知（），由正弦函數(shù)最小正周期公式可得，因為在區(qū)間上單調(diào)可得范圍，從而求出的整數(shù)解的個數(shù)，得到值的個數(shù)?！驹斀狻坑深}意知函數(shù)的周期，由，，結(jié)合正弦函數(shù)圖像的特征可知，，故，，；又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，故，所以，即，∴，，∴符合條件的的值有9個.【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖像的特點，最小正周期的公式，熟練掌握正弦函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，屬于中檔題。13.曲線方程，其圖像與直線有兩個不同的交點，則a的取值范圍是_______

___.參考答案：略14.觀察下列等式：

參考答案：15.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于_____________.

參考答案：

本題主要考查了直線與直線以及直線與平面的位置關(guān)系，以及線段長度的求法。屬容易題。若,E為AD的中點，那么F為CD的中點所以16.設(shè)為正整數(shù)，，計算得，觀察上述結(jié)果，可推測一般結(jié)論為：

；參考答案：

略17.已知是R上的奇函數(shù)，當時，，則

.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，A為橢圓（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過焦點F1，F(xiàn)2．當AC垂直于x軸時，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)，，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題．【分析】（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及橢圓定義|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求（2）由（1）可得b=c．橢圓方程為，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程，結(jié)合韋達定理可求，從而可求，同理可得，代入可求【解答】解：（1）當AC垂直于x軸時，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a，得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2解得e=．…（2）由e=，則，b=c．焦點坐標為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），則橢圓方程為，化簡有x2+2y2=2b2．設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直線AC⊥x軸，x0=b，λ2=1，∴λ1+λ2=6．

…②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0．由韋達定理得：，∴…所以，同理可得…故λ1+λ2=．綜上所述：λ1+λ2是定值6．…【點評】本題主要考查了利用橢圓得性質(zhì)及橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交中方程思想的應(yīng)用，這是處理直線與橢圓位置關(guān)系的通法，但要注意基本運算的考查19.（本題12分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

已知．（1）求的值；

（2）若cosB=，b=2，求的面積S.參考答案：解：

（I）由正弦定理，設(shè)則所以即，化簡可得又，所以

因此…………6分

（II）由得由余弦定理解得a=1。因此c=2又因為，所以因此………12分.

略20.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點.（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若PE=EC，求二面角F-BE-A的余弦值.參考答案：（1）證明：連接交于，并連接，，，，為中點，

，且，四邊形為平行四邊形，

┄┄┄┄┄┄2分為中點，又為中點，，

┄┄┄┄┄┄4分平面，平面，平面.

┄┄┄┄┄┄6分（2）（法一）由為正方形可得，.取中點，連，，，側(cè)面底面，且交于，，面，又，為二面角的平面角

┄┄┄┄┄┄9分又，，，，所以二面角的余弦值為.┄┄┄┄┄┄12分（法二）由題意可知面，，如圖所示，以為原點，、、分別為、、建立直角坐標系，則，，，.

┄┄┄┄┄┄7分

平面法向量可?。?/p>

┄┄┄┄┄┄8分平面中，設(shè)法向量為，則取

┄┄┄┄┄┄10分，所以二面角的余弦值為

┄┄┄┄┄┄12分21.已知函數(shù)且a≠0）．（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知．，由此能求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（2）當a＜-1時，求出，解得，不成立；②當a=-1時，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．f（x）無極小值；當-1＜a＜0時，極小值f（1）=-a-4，由題意可得，求出；當a＞0時，極小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．由題意可知．∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．（Ⅱ）①當a＜-1時，x變化時變化情況如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘

此時，解得，故不成立．②當a=-1時，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．此時f（x）無極小值，故不成立．③當-1＜a＜0時，x變化時變化情況如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）↘極小值↗極大值↘

此時極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或．因為-1＜a＜0，所以．④當a＞0時，x變化時變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）-0+f（x）↘極小值↗

此時極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或，故不成立．綜上所述．22.（12分）（2012?宜春模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）當0＜a≤1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負確定取得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），…（2分）（1）當0＜a＜1時，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，1）…（4分）（2）當a=1時，f′（x）≥0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）…（5分）（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分