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云南省大理市青華中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)和點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)x的值是(
)A.5或-1 B.5或1 C.2或-6 D.-2或6參考答案:A【分析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式建立方程求得結(jié)果.【詳解】解得:或本題正確選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)O在BC邊上,且,過(guò)點(diǎn)O的直線與直線AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn)(M,N不與點(diǎn)B,C重合),若,,則(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得:;根據(jù)三點(diǎn)共線可設(shè),利用平面向量基本定理得:,從而可建立方程組求得,整理即可得到結(jié)果.【詳解】由得:,即:又三點(diǎn)共線,設(shè):,則:整理可得:
則:,即:
本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠利用三點(diǎn)共線和平面向量基本定理構(gòu)造出關(guān)于的方程組,從而得到之間的關(guān)系,進(jìn)而求得結(jié)果.3.設(shè)集合,集合,則(
). A. B. C. D.參考答案:B集合,,∴.故選.4.定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是減函數(shù),是鈍角三角形的兩個(gè)銳角,則與的大小關(guān)系是(
)A.
B.C.
D.參考答案:B5.中,若,則的形狀為A.直角三角形
B.等邊三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形參考答案:C6.下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是
(
)A.若直線、互相平行,則直線、確定一個(gè)平面B.若四點(diǎn)不共面,則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線C.若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線是異面直線D.兩條異面直線不可能垂直于同一個(gè)平面參考答案:C略7.已知,則取得最大值時(shí)的值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略8.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,D為OC的中點(diǎn),直線AD交拋物線于點(diǎn)E(2,6),且△ABE與△ABC的面積之比為3∶2.(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)連結(jié)BD,試判斷BD與AD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)連結(jié)BC交直線AD于點(diǎn)M,在直線AD上,是否存在這樣的點(diǎn)N(不與點(diǎn)M重合),使得以A、B、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案:(1)根據(jù)△ABE與△ABC的面積之比為3∶2及E(2,6),可得C(0,4).∴D(0,2).…………………(2分)由D(0,2)、E(2,6)可得直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2.………(3分)當(dāng)y=0時(shí),2x+2=0,解得x=-1.∴A(-1,0).…………………(4分)由A(-1,0)、C(0,4)、E(2,6)求得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+3x+4.…………………(6分)(2)BD⊥AD……………………(7分)求得B(4,0),…………………(8分)通過(guò)相似或勾股定理逆定理證得∠BDA=90°,即BD⊥AD.……………(10分)9.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足且,下列選項(xiàng)中不一定成立的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C因?yàn)?,所以.?duì)于A,因?yàn)?,所以;?duì)于B,因?yàn)?,所以,又,所以;?duì)于D,因?yàn)?,所以,又,所以;?duì)于C,因?yàn)閏<b<a且c<0,a>0,所以b2>0或b2=0,因此cb2與ab2的大小不能確定,即cb2<ab2不一定成立.故選C.
10.設(shè)a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是
(
)
A.
B.
C.a(chǎn)>b2
D.a(chǎn)2>2b參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知一正方體的內(nèi)切球體積為,則該正方體的表面積為
Δ
.參考答案:24略12.在中,a,b,c分別是的對(duì)邊,
,b=1,面積為,則=_________.參考答案:13.對(duì)于實(shí)數(shù),符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如,定義函數(shù),則下列命題中正確的是
______(填題號(hào))①函數(shù)的最大值為1;②函數(shù)的最小值為0;③函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn);④函數(shù)是增函數(shù)參考答案:(2)(3)略14.已知,與的夾角為,則在方向上的投影為
.參考答案:115.在△ABC中,,則的最大值是________。參考答案:
解析:16.已知兩個(gè)單位向量和夾角為60°,則向量在向量上的投影是____;的最小值是____.參考答案:
【分析】根據(jù)向量的投影的概念,計(jì)算即可得到所求值;將平方,再由已知的向量關(guān)系計(jì)算出其最小值?!驹斀狻坑深}得,,投影為;,由,是單位向量,夾角為可得,因此?!军c(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì),向量的平方即為模的平方。17.已知,則tanx=.參考答案:或【分析】利用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知可得3sin2x﹣5sinx﹣2=0,從而解得sinx的值,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosx,tanx的值.【解答】解:∵,化簡(jiǎn)可得:3cos2x+5sinx=1,∴3sin2x﹣5sinx﹣2=0,∴解得:sinx=2(舍去)或﹣,∴cosx=±=±,∴tanx==或.故答案為:或.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知,,求的值.參考答案:【分析】通過(guò),平方后求出的值,然后對(duì)二次的齊次式進(jìn)行弦化切,得到關(guān)于的二次方程進(jìn)行求解。【詳解】,【點(diǎn)睛】本題主要考查的是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。本題也可以求出的值,聯(lián)立題目條件解出的值,然后求出的值。19.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,且S3=9,a1,a3,a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案:考點(diǎn):等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:(1)根據(jù)條件利用等比數(shù)列的公式,求出公差,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)化簡(jiǎn)bn=2,然后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解答: 解:(1)∵a1,a3,a7成等比數(shù)列.∴a32=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),化簡(jiǎn)得d=a1,d=0(舍去).∴S3=3a1+=a1=9,得a1=2,d=1.∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)=n+1,即an=n+1.(2)∵bn=2an=2n+1,∴b1=4,.∴{bn}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴Tn==2n+2﹣4.點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算,要求熟練掌握相應(yīng)的公式.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示.是函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若點(diǎn)是平面上的一點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)k的值.參考答案:解:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|)的部分圖象,可得A=2,?,求得ω=2,再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2?φ=π,∴φ,故有;(2)由題意可得,(2,k﹣2),(,﹣2),?2?2(k﹣2)=0,求得k2.
21.(本小題滿分12分)設(shè)為奇函數(shù),a為常數(shù)。(1)求的值;并證明在區(qū)間上為增函數(shù);(2)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案:解:(1)由得,令,得,是奇函數(shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,。
且當(dāng)時(shí),定義域?yàn)?,,函?shù)為奇函數(shù)故設(shè)任意,,則而,因?yàn)?,,,則,故,故,即,即,上為增函數(shù)。
(2)由題意知時(shí)恒成立,令由(1)知上為增函數(shù),又在上也是增函數(shù),故上為增函數(shù),最小值為,故由題意可知,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是略22.已知函數(shù)f(x)=cos
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