上海梅山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

上海梅山高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若x＞0＞y，則下列各式中一定正確的是（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】舉反例否定A,B,C，根據(jù)不等式性質(zhì)證明D成立.【詳解】∵,,∴A,B,C不正確，∵x＞0，∴＞0，∵y＜0，∴＜0，∴＞．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基本題.2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，如該幾何體的表面積為，則的值為．

．

．

．參考答案：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面是直角梯形的四棱柱，其底面直角梯形的上底為，下底為，高為，四棱柱的高為，則幾何體的表面積，即，解得．故選．【解題探究】本題考查立體幾何中的三視圖及幾何體的表面積計(jì)算．通過(guò)題中給出的三視圖，分析可以得到該幾何體是一個(gè)底面是直角梯形的四棱柱，然后依據(jù)四棱柱的表面積公式進(jìn)行計(jì)算．3.在下列函中，既是偶函數(shù)又是在(0，)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D4.給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是A.①② B.②③ C.②④ D.③④參考答案：C5.若，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

)A． B． C． D．參考答案：D6.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為()A．2 B．1C. D.參考答案：A7.若對(duì)于任意x∈（﹣2，2）都有2x（x﹣a）＜1成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣6） B．（，+∞） C．[，+∞） D．（﹣6，+∞）參考答案：C8.下列四個(gè)結(jié)論：①命題“”的否定是“”；②命題“若”的逆否命題為“若”；③“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；④若，則恒成立.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)參考答案：C9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，則=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故選：B．10.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，它的周期為，則A．的圖象過(guò)點(diǎn)

B．在上是減函數(shù)

C．的一個(gè)對(duì)稱中心是

D．將的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程=k（x﹣2）+3有且只有一個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是

．參考答案：k=或k＞考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直線與圓．分析：作函數(shù)y=﹣3與函數(shù)y=k（x﹣2）的圖象，由圖象求出斜率的臨界值，從而寫出k的取值范圍即可．解答： 解：作函數(shù)y=﹣3與函數(shù)y=k（x﹣2）的圖象如下，圓心（0，﹣3）；①當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，即直線為l1時(shí)，=2；解得，k=；②當(dāng)直線為l2時(shí)，k==，③當(dāng)直線為l3時(shí)，k不存在；結(jié)合圖象可知，k=或k＞；故答案為：k=或k＞．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及直線的斜率的求法應(yīng)用，屬于中檔題．12.在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,則a∶b∶c=

,B的大小是

.參考答案：答案：5:7:8,解析：由正弦定理得?a:b:c＝5:7:8設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小為.13.曲線y=x﹣cosx在x=處的切線方程為．參考答案：x﹣y﹣﹣=0考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程．解答：解：y=x﹣cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=+sinx，則在x=處的切線斜率為=1，切點(diǎn)為（，），則在x=處的切線方程為y﹣（）=x﹣，即x﹣y﹣﹣=0．故答案為：x﹣y﹣﹣=0．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率，進(jìn)而求切線方程．14.“”是“”的

條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)參考答案：充分不必要略15.給出下列4個(gè)命題：①若函數(shù)f(x)在(2015,2019)上有零點(diǎn)，則一定有；②函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；③若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；④若函數(shù)f(x)滿足條件，則的最小值為.其中正確命題的序號(hào)是：_______.（寫出所有正確命題的序號(hào)）參考答案：④【分析】舉出特例，如，即可判斷①為假；根據(jù)定義域先將原函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷②為假；根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)?，可得二次函?shù)與軸必有交點(diǎn)，且開口向上，進(jìn)而可判斷③為假；用解方程組法，先求出的解析式，即可求出的最小值，判斷出④為真.【詳解】①若，則在上有零點(diǎn)，此時(shí)，，即，所以①錯(cuò)；②由得，所以，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故②錯(cuò)；③若函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，則二次函數(shù)與軸必有交點(diǎn)，且開口向上，即解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故③錯(cuò)；④因，所以有，聯(lián)立消去，可得（），所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即最小值為.故④正確.故答案為④【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)奇偶性的概念、對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、以及解方程組法求函數(shù)解析式等即可，屬于?？碱}型.16.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為

.

參考答案：略17.lg+2lg2﹣（）﹣1=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)各項(xiàng)，利用lg2+lg5=1化簡(jiǎn)求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算；用到了lg2+lg5=1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.過(guò)雙曲線的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中P是AB的中點(diǎn)；（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當(dāng)P坐標(biāo)為（x0，2）時(shí)，求直線l的方程；（3）求證：|OA|?|OB|是一個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線方程；（3）設(shè)P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m，n，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值．【解答】解：（1）雙曲線的a=1，b=2，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（負(fù)的舍去），設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率為k==2，則直線l的方程為y﹣2=2（x﹣），即為y=2x﹣2；（3）證明：設(shè)P（x0，y0），即有x02﹣=1，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，則|OA|?|OB|=|m|?|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5為定值．19.（本小題滿分16分）已知數(shù)列中，前和（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說(shuō)明理由。參考答案：（1）詳見解析；（2）；（3）．（1）由，知，兩式相減得，，整理得，所以，兩式再相減整理得，，∴數(shù)列為等差數(shù)列。20.已知橢圓：.(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足，且.①證明直線與軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān)；

②若?面積是?面積的5倍，求的值；(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.參考答案：解：（1）①因?yàn)?M(m,)，且，

直線AM的斜率為k1=,直線BM斜率為k2=,直線AM的方程為y=,直線BM的方程為y=,

……1分由得，

由得，；

……3分據(jù)已知，，直線EF的斜率

直線EF的方程為

,

令x=0,得EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).

……4分②,,,,，,

，整理方程得，即，又有，，，為所求.

……8分

(2)因?yàn)橹本€,且都過(guò)點(diǎn),所以設(shè)直線,直線,

……10分所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截的弦；由,所以

所以

……12分所以當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線

……13分略21.(本小題滿分12分)某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修．每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．（1）問(wèn)該廠至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資．每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)．若該廠現(xiàn)有2名工人．求該廠每月獲利的均值．參考答案：解：(1)一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件，則事件的概率為．該廠有臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，則，故，，，，即的分布列為：X01234設(shè)該廠有名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為，即，，，…，，這個(gè)互斥事件的和事件，則01234∵，∴至少要名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于．

………6分(2)設(shè)該廠獲利為萬(wàn)元，則的所有可能取值為：18，13，8，，，．即的分布列為：則．

故該廠獲利的均值為．……12分22.設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)①求證：函數(shù)具有性質(zhì)，②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，，且，若||<||，求的取值范圍。參考答案：解：（1）①∵時(shí)，恒成立，∴函數(shù)具有性質(zhì)；②當(dāng)b≤2時(shí)，對(duì)于x＞1，φ（x）=x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0所以f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；當(dāng)b＞2時(shí)，φ（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸x=＞1，方程φ（x）=0的兩根為：，而，，當(dāng)x∈（1，）時(shí)，φ（x）＜0，f′（x）＜0，故此時(shí)f（x）在區(qū)間（1，）上遞減；同理得：f（x）在區(qū)間[，+∞）上遞增．綜上所述，當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）在（1，，）上遞減；f（x）在[，+∞）上遞增．（2）由題設(shè)知，函數(shù)g（x）得導(dǎo)數(shù)g′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），其中h（x）＞0對(duì)于任意得x∈（1，+∞）都成立∴當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=h（x）（x﹣1）2＞0，從而g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增①m∈（0，1），α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1α＜mx2+（1﹣m）x2=x2∴α∈（x1，x2）同理可得β∈（