《生活中的優(yōu)化問題舉例》同步練習 名師獲獎

《生活中的優(yōu)化問題舉例》同步練習一、選擇題1．汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是()[答案]A[解析]加速過程，路程對時間的導數(shù)逐漸變大，圖象下凸；減速過程，路程對時間的導數(shù)逐漸變小，圖象上凸，故選A．2．若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)x(百萬件)的函數(shù)關系式y(tǒng)＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為()A．1百萬件 B．2百萬件C．3百萬件 D．4百萬件[答案]C[解析]依題意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.因此，當x＝3時，該商品的年利潤最大．3．某箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2·(eq\f(60－x,2))(0<x<60)，則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為()A．30 B．40C．50 D．35[答案]B[解析]V′(x)＝(30x2－eq\f(x3,2))′＝60x－eq\f(3,2)x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.∴當x＝40時，箱子的容積有最大值．4．甲工廠八年來某種產(chǎn)品年產(chǎn)量與時間(單位：年)的函數(shù)關系如圖所示．現(xiàn)有下列四種說法：①前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越快；②前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越慢；③第四年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第四年后該產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的有()A．①④ B．②④C．①③ D．②③[答案]B[解析]由圖象可知，②④是正確的．5．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y1＝17x2(x>0)；生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，則應生產(chǎn)()A．6千臺 B．7千臺C．8千臺 D．9千臺[答案]A[解析]設利潤為y(萬元)，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴當x＝6時，y取最大值，故為使利潤最大，則應生產(chǎn)6千臺．6．設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[答案]C[解析]如圖，設底面邊長為x(x>0)，則底面積S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因為S表只有一個極值，故x＝eq\r(3,4V)為最小值點．二、填空題7．把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長為________，寬為________時，矩形的面積最大．[答案]15cm15cm[解析]設長為xcm，則寬為(30－x)cm，此時S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.所以長為15cm，寬為15cm時，矩形的面積最大．8．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為________.[答案]3[解析]設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋eq\f(54π,R)，∴S′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0，令S′＝0得R＝3，∴當R＝3時，S表最?。?．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，該長方體的最大體積是________.[答案]3m[解析]設長方體的寬為x，則長為2x，高為eq\f(9,2)－3x(0<x<eq\f(3,2))，故體積為V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<eq\f(3,2)，∴x＝1.∴該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m時，體積最大，最大體積Vmax＝3m3三、解答題10．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接成水箱．問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？[解析]設水箱底邊長為xcm，則水箱高為h＝60－eq\f(x,2)(cm)．水箱容積V＝V(x)＝60x2－eq\f(x3,2)(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－eq\f(3,2)x2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.當x在(0,120)內變化時，導數(shù)V′(x)的正負如下表：x(0,80)80(80,120)V′(x)＋0－因此在x＝80處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．將x＝80代入V(x)，得最大容積V＝802×60－eq\f(803,2)＝128000(cm3)．答：水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128000cm3.一、選擇題1．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150 B．200C．250 D．300[答案]D[解析]由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.當0≤x≤300時，p′(x)>0；當300<x≤390時，P′(x)<0，所以當x＝300時，P(x)最大，故選D．2．三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y(tǒng)，且x＋y＝3，則三棱錐O－ABC體積的最大值為()A．4 B．8C．eq\f(4,3) D．eq\f(8,3)[答案]C[解析]V＝eq\f(1,3)×eq\f(2x2,2)·y＝eq\f(x2y,3)＝eq\f(x23－x,3)＝eq\f(3x2－x3,3)(0<x<3)，V′＝eq\f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2時，V最大為eq\f(4,3).3．某工廠需要建一個面積為512m2A．16m,16m B．32m,16mC．32m,8m D．16m,8m[答案]B[解析]如圖所示，設場地一邊長為xm，則另一邊長為eq\f(512,x)m.因此新墻總長度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．∵L在(0，＋∞)上只有一個極值點，∴x＝16必是最小值點．∵x＝16，∴eq\f(512,x)＝32.故當堆料場的寬為16m，長為32m時，可使砌墻所用的材料最?。?．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．設存款利率為x，x∈(0,，若使銀行獲得最大效益，則x的取值為()A． B．C． D．[答案]B[解析]依題意，存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，貸款的收益是，其中x∈(0,．所以銀行的收益是y＝－kx3(0<x<，則y′＝－3kx2.令y′＝0，得x＝或x＝0(舍去)．當0<x<時，y′>0；當<x<時，y′<0.所以當x＝時，y取得最大值，即當存款利率為時，銀行獲得最大收益．二、填空題5．做一個容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時最省料．[答案]4[解析]設底面邊長為x，則高為h＝eq\f(256,x2)，其表面積為S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，則x＝8，則當高h＝eq\f(256,64)＝4時S取得最小值．6．某商品一件的成本為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為________元．[答案]85[解析]設每件商品定價x元，依題意可得利潤為L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因為在(0,200)內L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大．三、解答題7．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)＝200x＋eq\f(1,36)x3(元)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品？最大利潤是多少？[解析]設該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤為L(x)則L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3))＝300x－eq\f(1,36)x3－2500(x∈N)令L′(x)＝300－eq\f(1,12)x2＝0，得x＝60(件)又當0≤x<60時，L′(x)>0x>60時，L′(x)<0所以x＝60是L(x)的極大值點，也是最大值點．所以當x＝60時，L(x)＝9500元．答：要使利潤最大，該廠應生產(chǎn)60件這種產(chǎn)品，最大利潤為9500元．8.已知圓柱的表面積為定值S，求當圓柱的容積V最大時圓柱的高h的值．[分析]將容積V表示為高h或底半徑r的函數(shù)，運用導數(shù)求最值．由于表面積S＝2πr2＋2πrh，此式較易解出h，故將V的表達式中h消去可得V是r的函數(shù)．[解析]設圓柱的底面半徑為r，高為h，則S圓柱底＝2πr2，S圓柱側