2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題解析

高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練試題〔2〕一．填空題：本大題共10小題，每題7分，共70分．1．設(shè)方程的根大于，且小于，那么實(shí)數(shù)的范圍是．2．從6雙不同號(hào)碼的鞋中取出4只，至少配成一雙的概率為．3．設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足x2-4x+y2+3＝0，那么的最大值與最小值之差是．4．假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足〔是虛數(shù)單位，〕，那么的最小值是．5．假設(shè)三角形的三邊，，成等差數(shù)列，那么的取值范圍是．6．假設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，〔〕，那么滿(mǎn)足條件的的所有可能值之積是．7．，那么．8．設(shè)，，且滿(mǎn)足，那么的最大值為．9．復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1+z2|＝6，那么|z1-z2|＝___________10．將小王和小孫現(xiàn)在的年齡按從左到右的順序排列得到一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)為完全平方數(shù)，再過(guò)31年，將他們倆的年齡以同樣方式排列又得到一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)數(shù)仍為完全平方數(shù)，小王現(xiàn)在的年齡是．二．解答題：本大題共4小題，每題20分，共80分．11．在中，分別是角的對(duì)邊，設(shè)．求的值．12．如圖，梯形中，、關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別是、，、關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別是、．證明：四邊形是梯形．13．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的兩個(gè)根為、，(t為實(shí)數(shù)，<)．⑴假設(shè)x1，x2為區(qū)間[，]上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：4x1x2－t(x1＋x2)－4<0；⑵設(shè)f(x)＝eq\f(4x－t,x2+1)，f(x)在區(qū)間[，]上的最大值與最小值分別為fmax與fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值．14．正100邊形的每個(gè)頂點(diǎn)染紅、黃、藍(lán)三色之一．證明：必存在四個(gè)同色點(diǎn)，恰為某等腰梯形的頂點(diǎn)．11．在中，分別是角的對(duì)邊，設(shè)．求的值．分析化角為邊轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系處理．解由正弦定理及角變換求解．由，得．再由三角形內(nèi)角和定理及得，所以，，又，代入到中得，由得，從而，所以．13．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的兩個(gè)根為、，(t為實(shí)數(shù)，<)．⑴假設(shè)x1，x2為區(qū)間[，]上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：4x1x2－t(x1＋x2)－4<0；⑵設(shè)f(x)＝eq\f(4x－t,x2+1)，f(x)在區(qū)間[，]上的最大值與最小值分別為fmax與fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值．(湖南省2002年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)解⑴考察函數(shù)h(x)=2x2－tx－2．由于<x1，x2<，故2x12－tx1－2<0，2x22－tx2－2<0，兩式相加得2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－4<0．又4x1x2≤2(x12＋x22)．所以4x1x2－t(x1＋x2)－4≤2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－4<0．⑵由得2x2－2＝tx，所以2x2＋2＝tx＋4>0。對(duì)于t≠0，及tx＋4>0，f(x)＝eq\f(2(4x－t),tx+4)=eq\f(2,t)(4－eq\f(t2+16,tx+4))．此時(shí)f(x)單調(diào)增．所以fmax＝f()，fmin＝f()．所以g(t)＝f()－f()＝eq\f(2(t2+16),t)(eq\f(1,t+4)－eq\f(1,t+4))=eq\f(2(t2+16),t)(eq\f(t