2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷三題號(hào)一二總成績(jī)13141516得分評(píng)卷人復(fù)核人考生注意：1.本試卷共三大題〔16小題〕，全卷總分值150分.考試時(shí)間：120分鐘.2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.3.解題書寫不要超出裝訂線.4.不能使用計(jì)算器.一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕得分評(píng)卷人此題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的.請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過(guò)一個(gè)〔不管是否寫在括號(hào)內(nèi)〕，一律得0分.1.函數(shù)，那么答：[]〔A〕有最小正周期〔B〕有最小正周期〔C〕有最小正周期〔D〕無(wú)最小周期2.關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)，那么的最大值與最小值的和是答：[]〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，那么一定共線的三點(diǎn)是答：[]〔A〕、、〔B〕、、〔C〕、、〔D〕、、4.設(shè)、、為平面，、為直線，那么的一個(gè)充分條件是答：[]〔A〕，，〔B〕，，〔C〕，，〔D〕，，5.假設(shè)、，其中，，并且，那么實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為答：[]〔A〕個(gè)〔B〕個(gè)〔C〕個(gè)〔D〕個(gè)6.〔R〕，且那么a的值有答：[]〔A〕個(gè)〔B〕個(gè)〔C〕個(gè)〔D〕無(wú)數(shù)個(gè)二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕得分評(píng)卷人此題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)，，那么公差為.8.設(shè)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么等于.9.函數(shù)的圖象如圖，那么滿足的的取值范圍為.yyOx1Ox110.圓錐曲線的離心率是.11.在中，，，，那么的面積為.12.設(shè)命題:，命題:對(duì)任何R，都有.命題與中有且僅有一個(gè)成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題〔此題總分值60分，共4小題，每題各15分〕得分評(píng)卷人13.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn).假設(shè)以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率.14.如圖，斜三棱柱中，面是菱形，，側(cè)面B1BA1CB1BA1C1AC求證：〔1〕；〔2〕求點(diǎn)到平面的距離.15.數(shù)列中，，，.求.16.平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交.是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論.2007年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1．函數(shù)，那么〔B〕.〔A〕有最小正周期為〔B〕有最小正周期為〔C〕有最小正周期為〔D〕無(wú)最小正周期解：，那么最小正周期.應(yīng)選〔B〕．2．關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)9，那么的最大值與最小值的和是〔C〕.〔A〕2〔B〕1〔C〕0〔D〕解：方程的兩根是，，那么由關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過(guò)，得，即.應(yīng)選〔C〕．3.向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，那么一定共線的三點(diǎn)是〔A〕.〔A〕A、B、D〔B〕A、B、C〔C〕B、C、D〔D〕A、C、D解：ab，所以A、B、D三點(diǎn)共線.應(yīng)選〔A〕．4．設(shè)、、為平面，、為直線，那么的一個(gè)充分條件是〔D〕.〔A〕，，〔B〕，，〔C〕，，〔D〕，，解：〔A〕選項(xiàng)缺少條件；〔B〕選項(xiàng)當(dāng)，時(shí)，；〔C〕選項(xiàng)當(dāng)、、兩兩垂直〔看著你現(xiàn)在所在房間的天花板上的墻角〕，時(shí)，；〔D〕選項(xiàng)同時(shí)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．本選項(xiàng)為真命題.應(yīng)選〔D〕．5.假設(shè)、，其中，，并且，那么實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〔C〕〔A〕個(gè)〔B〕個(gè)〔C〕個(gè)〔D〕個(gè)解：由及題設(shè)知，個(gè)位數(shù)字的選擇有5種.因?yàn)?，故?〕由知，首位數(shù)字的可能選擇有種；〔2〕由及知，首位數(shù)字的可能選擇有種.于是，符合題設(shè)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為種.應(yīng)選〔C〕．6．〔R〕，且那么a的值有〔D〕.〔A〕2個(gè)〔B〕3個(gè)〔C〕4個(gè)〔D〕無(wú)數(shù)個(gè)解：由題設(shè)知為偶函數(shù)，那么考慮在時(shí)，恒有．所以當(dāng)，且時(shí)，恒有．由于不等式的解集為，不等式的解集為．因此當(dāng)時(shí)，恒有.應(yīng)選〔D〕．二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)，，那么公差為.解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.由題設(shè)得即解之得.8.設(shè)且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么等于.解：由題設(shè)知化簡(jiǎn)得解之得〔舍去〕.故等于4.9．函數(shù)的圖象如圖，那么滿足的的取值范圍為．yyOx1Ox1〔第9題〕〔第9題〕解：因?yàn)椋?于是，由圖象可知，，即，解得.故x的取值范圍為．10．圓錐曲線的離心率是．解：原式變形為，即．所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線，離心率為．11．在中，，，，那么的面積為．解：在中，由得．由正弦定理得．因?yàn)?，所以角可取銳角或鈍角，從而．．故．12.設(shè)命題:，命題:對(duì)任何R，都有.命題與中有且僅有一個(gè)成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是或.解：由得．由對(duì)于任何R成立，得，即．因?yàn)槊}、有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是或．三、解答題〔此題總分值60分，每題15分〕13.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn).假設(shè)以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率.解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示．xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，那么，即xyO．由知，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分設(shè)，，那么以線段為直徑的圓的圓心為.因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以半徑，即．①…………10分因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(2eq\r(2)，0)，當(dāng)ABx軸時(shí)，不合題意．所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2eq\r(2))．代入雙曲線方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化簡(jiǎn)得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1〔k2＝－eq\r(2)－1不合題意，舍去〕．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…15分解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示．xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，那么eq\f(|x＋y|,eq\r(2))eq\f(|x－y|,eq\r(2))＝2，xyO即|x2－y2|＝4．由P∈D知：x＋y＞0，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)．即曲線C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以線段AB為直徑的圓的圓心為Q(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓與y軸相切，∴半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝|eq\f(x1＋x2,2)|．即|AB|＝|x1＋x2|．①…10分因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(2eq\r(2)，0)，當(dāng)ABx軸時(shí)，不合題意．所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2eq\r(2))．代入雙曲線方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化簡(jiǎn)得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1〔k2＝－eq\r(2)－1不合題意，舍去〕．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…………15分14.如圖，斜三棱柱中，面是菱形，，側(cè)面B1BA1CB1BA1C1AC求證：〔1〕；〔2〕求點(diǎn)到平面的距離.證：〔1〕設(shè)中點(diǎn)為，連、.〔第14題〕因?yàn)?，所以．因?yàn)槊妗驳?4題〕，所以面．又為正三角形，，所以.從而．………………6分〔2〕由〔1〕，有，，面．設(shè)到面的距離為，那么A.A因?yàn)?，CEB所以．CEB又，且.設(shè)的高為，那么，，.于是有，即到平面的距離為．………………15分15．?dāng)?shù)列中，，，.求.解：由題設(shè)，，那么.………5分由，得，那么.………………10分于是，所以a2007=2007．易知數(shù)列，，，符合此題要求．………………15分注意：猜得答案或，給2分．16．平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交．是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論．A1Ak10A2BA1Ak10A2B1B2Bm證明如下：如圖，先作直線，設(shè)第個(gè)圓在直線上的正投影是線段，其中、分別是線段的左右端點(diǎn)．個(gè)圓有個(gè)投影線段，有個(gè)左端點(diǎn)，有個(gè)