D正項級數(shù)及審斂法

會計學(xué)1D正項級數(shù)及審斂法都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共42頁(1)若強級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共42頁例1.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共42頁因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共42頁調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明級數(shù)發(fā)散.證:例2.而發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散。第5頁/共42頁判定級數(shù)的斂散性.證:是收斂的等比級數(shù),例3.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件知第6頁/共42頁判定級數(shù)的斂散性.證:又因為例4.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)比較判別法知即收斂

第7頁/共42頁定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共42頁由定理

2

可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共42頁是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束——比階判別法.第10頁/共42頁的斂散性.～例5.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例6.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共42頁判定級數(shù)的斂散性.證:例7.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束原級數(shù)與p—級數(shù)有相同的斂散性。第12頁/共42頁判定級數(shù)的斂散性.證:例8.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)用泰勒中值定理通項第13頁/共42頁定理4

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共42頁因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共42頁例9.

討論級數(shù)的斂散性.解:

利用達蘭貝爾比值判別法級數(shù)收斂;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束級數(shù)發(fā)散;通項不趨于零，級數(shù)發(fā)散。第16頁/共42頁判定的斂散性.解一:例10.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束級數(shù)收斂;級數(shù)收斂;級數(shù)收斂;第17頁/共42頁判定的斂散性.解二:例10.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以級數(shù)收斂;級數(shù)收斂;即公比小于1的等比級數(shù)，所以級數(shù)收斂;第18頁/共42頁對任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共42頁時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共42頁例11.

審斂：解:

①由定理5可知該級數(shù)收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②

②由定理5可知該級數(shù)收斂.①

③③由定理5可知該級數(shù)收斂.第21頁/共42頁定理6.

積分審斂法：

設(shè)在區(qū)間證明提示:

單調(diào)減，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上非負且則級數(shù)收斂的充要條件是收斂。當(dāng)有故對k求和，得則廣義積分第22頁/共42頁例12.

判定級數(shù)的斂散性。解:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束發(fā)散第23頁/共42頁二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共42頁證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共42頁收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共42頁判定級數(shù)的斂散性.解:例14.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此為交錯級數(shù)，注意：發(fā)散.第27頁/共42頁設(shè)則級數(shù)（）。例15.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（A）提示：（B）（C）（D）原級數(shù)收斂；C據(jù)萊布尼茨判別法，第28頁/共42頁三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂;均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束本身收斂乎？第29頁/共42頁定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂，證畢。且收斂,令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁/共42頁例16.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁/共42頁(2)令因此收斂,絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1第32頁/共42頁其和分別為絕對收斂比條件收斂具有更好的性質(zhì):*定理8.

絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.說明:

證明見參考書,這里從略.*定理9.

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為但需注意條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁/共42頁例17

級數(shù)重排次序后變?yōu)榘l(fā)散的級數(shù).解:

將級數(shù)重排次序為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下面我們將證明①是發(fā)散的，①將①相鄰三項加括弧，第34頁/共42頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②②的通項：正項、發(fā)散發(fā)散第35頁/共42頁內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁/共42頁3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁/共42頁思考與練習(xí)1.設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁/共42頁思考與練習(xí)2.設(shè)級數(shù)收斂,也收斂?提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且則研究級數(shù)第39頁/共42頁補充題1.

判別級數(shù)的斂散性:解