常微分方程(王高雄)第三版 3.3

會(huì)計(jì)學(xué)1常微分方程(王高雄)第三版3.3考察的解對(duì)初值的一些基本性質(zhì)解對(duì)初值的連續(xù)性解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性解對(duì)初值的可微性內(nèi)容:第1頁(yè)/共26頁(yè)yxG圖例分析(見(jiàn)右)解可看成是關(guān)于的三元函數(shù)滿足

解對(duì)初值的對(duì)稱性:前提解存在唯一例:初值問(wèn)題的解不單依賴于自變量,同時(shí)也依賴于初值.初值變動(dòng),相應(yīng)的初值問(wèn)題的解也將隨之變動(dòng).…………

Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí),對(duì)應(yīng)的解是如何變化的?

當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí),方程的解變化是否也是很小？第2頁(yè)/共26頁(yè)證明則由解的唯一性知,即此解也可寫成:且顯然有:

解對(duì)初值的對(duì)稱性:前提解存在唯一,)()1.3(100xyxy值的解存在區(qū)間內(nèi)任取一滿足在=第3頁(yè)/共26頁(yè)一、解對(duì)初值的連續(xù)性定義設(shè)初值問(wèn)題1.解對(duì)初值的連續(xù)依賴性初值問(wèn)題第4頁(yè)/共26頁(yè)引理

如果函數(shù)于某域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L(zhǎng)），則對(duì)方程的任意兩個(gè)解及,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式.其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。第5頁(yè)/共26頁(yè)2定理1(解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理)條件:

I.

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;

II.

是(1)滿足的解,定義區(qū)間為[a,b].結(jié)論:

對(duì)

,

使得當(dāng)時(shí),方程(1)過(guò)點(diǎn)的解在[a,b]上也有定義,且方程第6頁(yè)/共26頁(yè)0思路分析：第7頁(yè)/共26頁(yè)記積分曲線段S：顯然S是xy平面上的有界閉集.第一步:找區(qū)域D,使,且在D上滿足Lips.條件.yxG(見(jiàn)下圖)由已知條件,對(duì),存在以它為中心的圓,使在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為.根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng)時(shí),有

對(duì),記則以為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點(diǎn)沿S運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí),掃過(guò)的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域Dba第8頁(yè)/共26頁(yè)0第9頁(yè)/共26頁(yè)0第二步:證明在[a,b]上有定義.第10頁(yè)/共26頁(yè)注：飽和解反證(引理)對(duì)連續(xù)令從而，可再延拓。第11頁(yè)/共26頁(yè)第三步:證明第12頁(yè)/共26頁(yè)根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:3定理2(解對(duì)初值的連續(xù)性定理)條件:

在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;方程結(jié)論:在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.,作為的函數(shù)第13頁(yè)/共26頁(yè)二、解對(duì)初值的可微性第14頁(yè)/共26頁(yè)1解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理,,,),()1.3(),,,(,),,(,,),,(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf￡￡￡￡=?其中義上有定在區(qū)間的解通過(guò)點(diǎn)方程條件局部滿足內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)lllljll為第15頁(yè)/共26頁(yè)2解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理3解對(duì)初值可微性定理.,,),,()1.3(,),(0000在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的的函數(shù)在它們的存作為的解則方程內(nèi)連續(xù)都在區(qū)域以及若函數(shù)yxxyxxyGyfyxfj=??第16頁(yè)/共26頁(yè)證明因此,解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立,即第17頁(yè)/共26頁(yè)即和于是第18頁(yè)/共26頁(yè)設(shè)即是初值問(wèn)題的解,則第19頁(yè)/共26頁(yè)的解,不難求得根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理第20頁(yè)/共26頁(yè)即和于是第