常系數(shù)齊次微分方程求解

會(huì)計(jì)學(xué)1常系數(shù)齊次微分方程求解一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性微分方程第1頁/共20頁二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特點(diǎn)未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子猜想有特解

由此可見只要r滿足代數(shù)方程r2prq0函數(shù)yerx就是微分方程的解

第2頁/共20頁有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為1.當(dāng)?shù)?頁/共20頁2.當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為第4頁/共20頁3.當(dāng)時(shí),特征方程有一對共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為第5頁/共20頁小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.第6頁/共20頁若特征方程含k

重復(fù)根若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)特征方程:推廣:第7頁/共20頁例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第8頁/共20頁例3.解:由第七節(jié)例1(P293)

知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為自由振動(dòng)方程,第9頁/共20頁方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動(dòng)情況(

n=0)第10頁/共20頁解的特征:簡諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)第11頁/共20頁方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況

大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k第12頁/共20頁(n<k)

小阻尼自由振動(dòng)解的特征:

由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t

的增大物體趨于平衡位置.第13頁/共20頁(n>k)

大阻尼解的特征:

1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對任何初始條件即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.第14頁/共20頁(n=k)

臨界阻尼解的特征:

任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t

軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;第15頁/共20頁例4.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解第16頁/共20頁例6.

解:

特征方程:即其根為方程通解:第17頁/共20頁例7.解:

特征方程:特征根為則方程通解:第18頁/共20頁

作業(yè)：P-3