函數(shù)與方程 課件

第9課時函數(shù)與方程

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第9課時函數(shù)與方程雙基研習?面對高考1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)a處的值______，即______,則a叫做這個函數(shù)的零點．在坐標系中表示圖象與x軸的公共點是(a,0)點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點?函數(shù)y＝f(x)有_______f(x)＝0x軸零點．雙基研習?面對高考基礎梳理等于零思考感悟1．是否任意函數(shù)都有零點？提示：并非任意函數(shù)都有零點，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間_________內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個__也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c思考感悟2．在上面的條件下，(a，b)內(nèi)的零點有幾個？提示：在上面的條件下，(a，b)內(nèi)的零點至少有一個c，還可能有其他零點，個數(shù)不確定．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點_______，______(x1,0)或(x2,0)無交點零點個數(shù)兩個一個零個(x1,0)(x2,0)3．用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點近似值的步驟第一步：確定區(qū)間[a，b]，驗證_________；第二步：求區(qū)間[a，b]的中點x1；第三步：計算f(x1)和f(a)，并判斷：①若_______，則x1就是函數(shù)的零點；②若_________，則令b＝x1(此時零點x0∈[a，x1])；③若_________，則令a＝x1(此時零點x0∈[x1，b])；第四步：判斷是否達到精確度，否則重復第二、三、四步．f(a)f(b)<0f(x1)＝0f(a)f(x1)<0f(a)f(x1)>01．(教材習題改編)如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是(

)A．①②

B．①③C．①④D．③④答案：B課前熱身2．函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x的零點是(

)A．0 B．1C．0和1 D．(0,0)和(1,0)答案：C3．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在區(qū)間為(

)A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能確定答案：A4．若函數(shù)f(x)＝2x2－ax＋3有一個零點是1，則f(－1)＝________.答案：105．(2009年高考山東卷)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：a＞1考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一函數(shù)零點的求解與判斷判斷函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點，常用以下方法：(1)解方程：當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷；(3)通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．例1【規(guī)律小結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以根據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定，但要確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào)的，它至多有一個零點，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點處函數(shù)值的正負，作出正確判斷．互動探究1

若例1中x的范圍改為R，試回答原來問題．考點二二分法求方程的近似解用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟，可借助于計算器一步步地求解，也可以借助于表格或數(shù)軸逐步縮小零點所在的區(qū)間，而運算終止的條件是區(qū)間長度小于精確度ε.

用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個零點(精確度0.1)．【思路分析】依據(jù)二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟．例2【解】由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在區(qū)間[1,1.5]上存在零點．取區(qū)間(1，1.5)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：中點的值中點函數(shù)值符號零點所在區(qū)間區(qū)間長度(1,1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，∴函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間[1.3125，1.375]內(nèi)，故函數(shù)零點的近似值為1.3125.【方法指導】求函數(shù)零點近似值的關鍵是判斷區(qū)間長度是否小于精確度ε，當區(qū)間長度小于精確度ε時，運算即告結(jié)束，此時區(qū)間內(nèi)的任何一個值均符合要求，而我們通常取區(qū)間的一個端點值作為近似解．考點三函數(shù)零點的綜合應用函數(shù)零點的應用主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，函數(shù)與方程雖然是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通過方程進行研究．許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決，函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想．

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍．【思路分析】可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，其方程的兩根滿足x1<1，x2>1，利用(x1－1)(x2－1)<0求解；也可利用圖象求解．例3【解】法一：設方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.法二：函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.【方法指導】此類方程根的分布問題通常有兩種解法：一是方程思想，利用根與系數(shù)的關系；二是函數(shù)思想，構(gòu)造二次函數(shù)利用其圖象分析，從而求解．方法技巧1．函數(shù)零點的判定常用的方法有：(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．3．二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法．其實質(zhì)是通過不斷地“取中點”來逐步縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間內(nèi)的任一點均是這個函數(shù)零點的近似值．方法感悟失誤防范1．把握函數(shù)的零點應注意的問題(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零(如課前熱身3題)．(2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．(3)一般我們只討論函數(shù)的實數(shù)零點．(4)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)＝0的根．2．對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調(diào)：(1)f(x)在[a，b]上連續(xù)；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)內(nèi)存在零點．事實上，這是零點存在的一個充分條件，但不必要．從近幾年的高考試題來看，函數(shù)的零點、方程根的問題是高考的熱點，特別新課改的省份更是新點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．客觀題主要考查相應函數(shù)的圖象與性質(zhì)；主觀題考查較為綜合，在考查函數(shù)的零點、方程根的基礎上，又注重考查函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法．如2010年高考天津、福建卷都進行了考查．預測2012年高考仍將以函數(shù)的零點、方程根的存在問題為主要考點，重點考查相應函數(shù)的圖象與性質(zhì).考向瞭望?把脈高考考情分析 (2010年高考天津卷)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)例真題透析【答案】

B【名師點評】本題考查零點所在區(qū)間的判斷，其方法是利用零點存在性定理，試題難度不大，本題f(x)變?yōu)閑x＋x－2時，零點所在區(qū)間是哪個？名師預測2．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖象是連續(xù)的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上僅有一個實根0，則f(－1)·f(1)的值(

)A．大于0B．小于0C．等于0D．無法確定解析：選D.由題意，知f(x)在(－1,1)上有零點0，該零點可能是變號零點，也可能是不變號零點，∴f(－1)·f(1)符號不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.3．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)計算，f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________，這時可判斷x0∈________.解析：由二分法知