第一章自變量趨向無窮大時函數極限

第三 函數的極 第 自變量趨向無窮大時函數的極函 自變量趨向有限值時函數的極數極限 函數極限的性-1第三 函數的極—自變量趨向無窮大時函數的觀察函數sin—自變量趨向無窮大時函數的 11 續(xù)-2第三 函數的極問題:函數yfx)x的過程中對應函數值fx無限趨近于確定值A.第 通過上面演示實驗的觀察:章 當x無限增大時 f(x)sinx無限接近于 限 問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”限連 f(x)A表示f(x)A任意小x 表示x的過程-3

第三 函數的極設函數fx)在區(qū)間(a)有定義,為定常數,如果對任意給定的正 ~章第X(a),使當xX時,~章|f(x)A|函數則稱A為函數f(x)在 極限記作limf(x) 或f(x) (x ""X"定義limf(x)A0,X0,使當xX時,恒有fxA-4第三 函數的極x ~章函A數A 限Ao

f(

XX -5第三 函數的極例 證明limex 由于|ex0|ex,要使|ex0|,第0ex,不妨設1,由于0ex ~章xlnXln數 0(不妨設1),取Xln,當x數極時,限 |e續(xù)

0|exeXelnlimex-6第三 函數的極例 證明

x2 2x 2證 X第~

,當x |

11

2 函數

x2

X極

x2 x 同理可給出x,x時函數的極限的定

設函數fx)(,b)有定義, -7第三 函數的極總存在正數X(bxX時,|f(x)A|則稱A為函數f(x)在 ~第記作limf(x) 或f(x) (x~ 函數為定常數極

設函數f(x)在區(qū)間|x|a有定義 限X(a),使當|x|X時,續(xù) |f(x)A|續(xù)則稱A為函數f(x)在x 記作limf(x)A f(x)A (x).x-8第三 函數的極 證明limsinxsinx sinx~章

x sinx0sinx

1 x 0,sinsinx

X1

則當

X時恒有 限連續(xù)故limsinx

1|x x -9第三 函數的極 證明limarctanx 0(不妨設第當xX時 ~

),取X |arctanx()|arctanxarctan(X arctanX()限 限連 limarctanx

limarctanx

-10第三 函數的極定理 函數f(x)在x時以A為極限的

f(

當xx

第都等于~ 例

說明limarctanx不存在x數 數限 limarctanx限 連 limarctanx x所以limarctanx不存在x-11第三 函數的極二、自變量趨向有限值時函問題:函數yfx)在xx0的過程中,對應函數fx)A~章 f(x)A表示f(x)A任意;數; 0限

x

表示x

x0的過程x0

x0 點x0的去心鄰域 體現x接近x0程度-12

第三 函數的極 設函數f(x)在x0某個去心領域內有定義A為常數,如果對于任意給定的正數(不論它多么第0小),總存在正數,使得對適合不等式0x 0章函x,對應的函數值fx極 f(x)A極連限那末常數Afx在xx0時的極限,連 limf(x)A f(x)A(當xx0x""0,0""恒有fxA-13

x

時第三 函數的極注意：1.函數極限與f(x)在點x0是否有定義無關與任意給定的正數有關第幾何解釋: 當x在x0的去心數 域時,函數yf( 圖形完全落在以續(xù) 線yA為中心線續(xù)寬為2的帶形區(qū)域內

AAAAAo

yf( 顯然找到一個后,越小越好-14第三 函數的極 證明limCC,(C為常數x 任取 0

x

時 f(x)函

C

0成立

limCCx 證明limxx0. x 證∵f(x)Axx0 取連0

x

時f(x)A

x

成立limxx0x

-15第三 函數的極 證明

x2

x 函數在點x1處沒有定義 0,取章0x1時 恒數 x2數2 x限

x

x2 x x-16

第三 函數的極limsinxsinx0x取,當0|xx0|

|sinxsin

|2|

x

||cosxx0章數函數

|xx0|極限

limsinxsinx0x續(xù) limcosxcosx續(xù)x limexex0xlimlnxln (x0x-17第三 函數的極

證明:當x00時, xxx 章

0,取min{x0 x0},0x0x0xx0x0x

x

時 xx xx 極x x x續(xù)

-18第三 函數的極

y22 f(x)

2 x2x x章

x

y 當x0且x0時f(x)數 當x0且x0時，f(x)限連 x從左側無限趨近x0,記作x

0或xx x從右側無限趨近x0記作xx0或xx -19第三 函數的極定義4設函數fx)在區(qū)間x0,b有定義,A為常數,如果對于任意給定的正數(不論它多么小總存第在正數(bx0使得對適合不等式0xx0~章x,對應的函數值fx數 f(x)A數極那末常數Afx在xx0時的右極限限連 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-20第三 函數的極定義5設函數fx)在區(qū)間(ax0有定義,A為常數,如果對于任意給定的正數(不論它多么小總存第在正數(x0a使得對適合不等式0x0x~章x,fx數 f(x)A數0極那末常數Afx在xx時的左極限0限連 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-21第三 函數的極{x0xx0{x0xx0}{xxx0~ 定理 函數f(x)在xx0時以A為極限當且~章當在x 函0 f(0極

0)f(

0)限 證

驗證limx

不存在xxx

limxlimx

左右極限存在但不相等,limfx)不存在-22第三 函數的極x2 x例

設fxx

x2確定常數alimfx)存在第章 x2是分段函數f(x)的分段點,所章函limf(x)Af(20)f(20)函 極 limf(x)lim(x21) x2 limf(x)lim(xa)2x2 x2所以52a,即a-23第三 函數的極limf(n)n第 limf(x) x limf(x)

limf(x)xlimf(x)

limf(x)xlimf(x) x xx

xx0 limf(x)A0,在自變量的變化過程中0限 |f(x)A|-24第三 函數的極 n nxxx Nnxxxf(f(x)A xxx0xx0 0xx00xx0xx0f(f(x)A-25第三 函數的極

f(

當x

x或x)A 的充要條件是:對于任意一個收斂于x0的數列xn 第章 xn(或)x0(n1,2,"), 其對應的數列f(xn),章 limf(xn)數n數 極

設 f(x)x

限0,0使當0連

x

時,

f(x)

∵limxn

且xnx0對上述0,N0nN時,恒有0故limfxnx

xn

.-26

f(xn)

函數的極例13證明limsin 不存在 第ysinx n章 ysinx n章 函 limxn n

且xn 取

4n

,lim

且x

-27第三 函數的極三、函數極限的定理4(唯一性 若limf(x)存在,則極限唯一 以x為例.若limf(x)a,limf(x) 章且ab,不妨設ba,則對ba 存在X, 函當 x當 限連

時恒有|fxa|,3abf(x)b 續(xù)當xX2時恒有|fxb|,abf(x)3b -28第三 函數的極取Xmax{X1,X2 當xX時,恒abf(x)ab2 表明a章 章

fx)有極限函則存在一個時刻

fx)有界 以xx0為例證明.設limf(x)A,則對 x限存在0,則當0|xx0|連

時,恒有|fxA|續(xù) A1f(x)A取M|A|1,則當0|xx0|時,恒有|fx|M所以當0|xx0|時,fx)有界-29第三