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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.2.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長軸在軸上的橢圓 B.長軸在軸上的橢圓C.實軸在軸上的雙曲線 D.實軸在軸上的雙曲線3.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[324.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.15.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-37.設(shè)集合(為實數(shù)集),,,則()A. B. C. D.8.的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為A.-40 B.-20 C.20 D.409.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.10.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.12.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.14.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.15.古代“五行”學(xué)認為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)16.在中,,,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當(dāng)時,.(1)求橢圓的標(biāo)準方程;(2)若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.(ⅰ)求面積最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.18.(12分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當(dāng)點的橫坐標(biāo)之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當(dāng)取最大值時,求直線的方程.19.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.20.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績,某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后,對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個,對比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長的百分點分成5組:,分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.(1)請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤,通過分析上一年度的售價(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①:附②:對應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.21.(12分)已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,,.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項和,若對于任意,有,求實數(shù)的值.22.(10分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點,為上的動點(不與重合)求二面角的正切值的最小值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個單位后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實軸在y軸上的雙曲線,
故選C.【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.3、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b,則函數(shù)fgx4、C【解析】
化簡復(fù)數(shù),分子分母同時乘以,進而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)題意得到充分性,驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選:A.【點睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.6、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.7、A【解析】
根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項,由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80,由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40,故所求的常數(shù)項為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘,若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x,選3個提出;若第1個括號提出,從余下的括號中選2個提出,選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=409、D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.10、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點,令,則,令,則問題即在上有零點,由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11、D【解析】
利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當(dāng)時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.12、A【解析】
由推導(dǎo)出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當(dāng)時,取得最小值.故選:A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知可得,結(jié)合雙曲線的定義可知,結(jié)合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系,分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題,一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì),可大大減少計算量.14、【解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點,連接,,過做于點,易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題.點評:本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景,利用分步原理正確計數(shù),本題較抽象,計數(shù)時要考慮周詳.16、【解析】
先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結(jié)果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析.【解析】
(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(ⅰ)設(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準方程為.(2)設(shè),,則,(?。┮字獮榈闹形痪€,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時,一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道有一定難度的題.18、(1)(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)直線的斜率公式即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達定理得,,結(jié)合直線的斜率公式得到,換元后討論的符號,求最值可求解.【詳解】(1)設(shè),因為,即直線的斜率為1.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,可得則,令,則則當(dāng)時,;當(dāng)且僅當(dāng),即時,解得時,取“=”號,當(dāng)時,;當(dāng)時,綜上所述,當(dāng)時,取得最大值,此時直線的方程是.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式,直線與拋物線的位置關(guān)系,換元法,均值不等式,考查了運算能力,屬于難題.19、(1)證明見詳解;(2).【解析】
(1)取中點為,通過證明//,進而證明線面平行;(2)取中點為,以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系,求得兩個平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點,連結(jié),,如下圖所示:在中,因為為的中點,,且,又為的中點,,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點,連結(jié),,則,平面,以為原點,分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.20、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時【解析】
(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過計算,可判斷精英店與采用促銷活動是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價為,單價利潤為,日銷售量為,進而可求出日利潤,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計精英店352055非精英店153045合計5050100因為有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若
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