四川省南充市順慶區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

四川省南充市順慶區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x，y滿足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A． B． C． D．4參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，由，解得即A（1，1），此時(shí)z=2×1+1=3，當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即B（a，a），此時(shí)z=2×a+a=3a，∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．a(chǎn)≥3

B．a(chǎn)＝3

C．a(chǎn)≤3

D．0<a<3參考答案：A3.已知正三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，球心到平面的距離為，則三棱錐的體積為（

）A．

B．

C.24

D．參考答案：C設(shè)正三角形的中心為，連接，，，則為△的外接圓半徑，；因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為，又因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，即；在△中，，；在△中，由正弦定理可得，即，，選C．4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若，，，則的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】做出輔助線，根據(jù)題意得到；在三角形DCB中，應(yīng)用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面積公式得到結(jié)果.【詳解】做于點(diǎn)E，，在直角三角形中，可得到根據(jù)該四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到在三角形ABD中，應(yīng)用余弦定理得到在三角形DCB中，應(yīng)用余弦定理以及重要不等式得到進(jìn)而得到故答案為：C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了余弦定理解三角形，以及四邊形有外接圓則對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)的應(yīng)用；在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.5.設(shè)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2，1]上的圖像，則＋＝（

）A、3

B、2C、1

D、0參考答案：C略6.三棱錐D—ABC及其三視圖中的主視圖和左視圖如圖所示，則棱BD的長(zhǎng)為（

）A. B.2 C.3 D.4參考答案：D7.已知是定義在R上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，如果直線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)=（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：D8.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n﹣1，則數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和Tn=（）A．（2n﹣1）2 B．4n﹣1 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n﹣1，可得：a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n﹣1，∴a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2=2．∴公比q=2．∴an=2n﹣1．∴=4n﹣1，則數(shù)列{an2}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．其前n項(xiàng)和Tn==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9.復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A由，則，故選A．

10.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”問(wèn)此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題中，正確的是

①平面向量與的夾角為，，，則②已知，其中θ∈，則③是所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，，則直線一定通過(guò)的內(nèi)心參考答案：①②③12.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則_____.參考答案：【分析】計(jì)算得到，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.【詳解】，，故，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.13.設(shè)函數(shù)，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x﹣2y在D上的最大值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先求出曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，然后畫出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)z的最大值即可．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=，則f′（1）=1，所以曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線為y=x﹣1，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域如下圖陰影部分．z=x﹣2y可變形成y=x﹣，當(dāng)直線y=x﹣過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）時(shí)，截距最小，此時(shí)z最大．最大值為2．故答案為：2．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．線段OM上的動(dòng)點(diǎn)A滿足；線段HN上的動(dòng)點(diǎn)B滿足．直線PA與直線QB交于點(diǎn)L，設(shè)直線PA的斜率記為k，直線QB的斜率記為k'，則k?k'的值為______；當(dāng)λ變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)L一定在______（填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個(gè)）上．參考答案：

雙曲線【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到A，B的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式可得kk′=；設(shè)P（x，y），根據(jù)斜率公式可得P點(diǎn)軌跡方程．【詳解】∵；∴A（-4λ，0），又P（0，-2），∴；∵．∴B（4，2-2λ），∴，∴kk′=，設(shè)L（x，y），則，∴，即．故答案為：，雙曲線．15.若從區(qū)間（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）內(nèi)隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之積小于的概率為

．參考答案：16.實(shí)數(shù)，滿足，目標(biāo)函數(shù)的最大值為

．參考答案：-1如圖區(qū)域?yàn)殚_放的陰影部分，可求，函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.

17.設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，某傳動(dòng)裝置由兩個(gè)陀螺T1，T2組成，陀螺之間沒(méi)有滑動(dòng)．每個(gè)陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個(gè)部分構(gòu)成，每個(gè)圓柱的底面半徑和高都是相應(yīng)圓錐底面半徑的，且T1，T2的軸相互垂直，它們相接觸的直線與T2的軸所成角θ=arctan．若陀螺T2中圓錐的底面半徑為r（r＞0）．（1）求陀螺T2的體積；（2）當(dāng)陀螺T2轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，陀螺T1中圓錐底面圓周上一點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)P1，求P與P1之間的距離．參考答案：考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）設(shè)陀螺T2圓錐的高為h，可得，進(jìn)而可得陀螺T2圓柱的底面半徑和高為，進(jìn)而求出陀螺T2的體積；（2）設(shè)陀螺T1圓錐底面圓心為O，可得，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式，求出圓心角，進(jìn)而可得P與P1之間的距離．解答： 解：（1）設(shè)陀螺T2圓錐的高為h，則，即’得陀螺T2圓柱的底面半徑和高為，

（2）設(shè)陀螺T1圓錐底面圓心為O，則，得在△POP1中，點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體的體積公式，弧長(zhǎng)公式，是三角函數(shù)與空間幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．19.（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：∥平面；(Ⅱ)平面平面；(Ⅲ)當(dāng)三棱錐的體積等于時(shí)，求的長(zhǎng)．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何綜合【試題解析】證明：（Ⅰ）因?yàn)樵凇髦?，，分別是，的中點(diǎn)，

所以∥

又平面，平面，

所以∥平面．

(Ⅱ)因?yàn)榈酌媸橇庑危?/p>

所以．

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以．又，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．

（Ⅲ）因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，?/p>

所以．

又，三棱錐的高為，

所以，

解得．20.設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為，若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．（Ⅰ）求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；（Ⅱ）求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列與期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法概率公式能求出他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）∵某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為，∴他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率：p==．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，P（X=2）=（）2+（）2=，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）=++=，∴X的分布列為：X2345P∴EX==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．21.為了調(diào)查民眾對(duì)國(guó)家實(shí)行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]頻數(shù)102030201010支持“新農(nóng)村建設(shè)”311261262

（1）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異；

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計(jì)支持

不支持

合計(jì)

（2）為了進(jìn)一步推動(dòng)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實(shí)施，中央電視臺(tái)某節(jié)目對(duì)此進(jìn)行了專題報(bào)道，并在節(jié)目最后利用隨機(jī)撥號(hào)的形式在全國(guó)范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾（假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)），給予適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).若以頻率估計(jì)概率，記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：，其中.參考答案：（1）2×2列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，從而可利用公式計(jì)算出，可判斷出無(wú)95%的把握；（2）可判斷出服從二項(xiàng)分布：，通過(guò)公式計(jì)算出所有可能取值的概率，從而得到分布列；再利用求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計(jì)支持402060不支持202040合計(jì)6040100

所以沒(méi)有的把握認(rèn)為以歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異（2）由題可知，所有可能取值有，且觀眾支持“新農(nóng)村建設(shè)”的概率為，因此，，所以的分布列是：01234

所以的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)分布的問(wèn)題.22.已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線Γ上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問(wèn)直線NL是否恒過(guò)定