地球物理反演理論1章

地球物理反演理論中國石油大學地球科學與技術(shù)學院

宋建國課程內(nèi)容第一章地球物理反演的基本概念

第二章數(shù)學知識基礎(chǔ)

第三章線性問題最小平方反演－廣義矩陣法

第四章約束線性最小平方反演第五章線性反演誤差分析

第一章

地球物理反演基本概念主要內(nèi)容

一、簡介二、基本概念三、離散化和線性化四、小結(jié)第一節(jié)簡介地球物理學家的一個主要目的就是確定地下構(gòu)造和巖性物理性質(zhì)只要能得到這種信息，哪怕是不完善的，也將大大加強選擇油氣鉆井和礦藏位置的正確性。由于不能直接研究地球的所有部分，地球物理學家必須使用遙感技術(shù)來獲取地下構(gòu)造的信息。這種觀測往往在地表進行，遙感實驗示意圖如下圖所示：

一個輸入信號被傳輸?shù)降叵?，并按照物理方程確定的模式在地下傳播。在地面記錄改變后的信號（輸出信號）。

圖1-1遙感實驗示意圖

輸出信號可看成是輸入信號的濾波結(jié)果，而濾波器的特性不僅決定于物理方程，而且也取決于信號所穿透地層的構(gòu)造和物理性質(zhì)。輸出由一系列（觀測）數(shù)據(jù)構(gòu)成，這些數(shù)據(jù)以及物理方程和觀測系統(tǒng)可用于提供地層信息。用于提取地層信息的數(shù)學公式被稱為反演理論。第一節(jié)簡介第一節(jié)簡介

例如：地震波折射勘探中，沿水平面觀測回折波，速度僅隨深度Z變化，如下圖所示：

圖1-2:a回折波路徑b回折波時距曲線

在該實驗中輸入為爆炸產(chǎn)生的地震子波，而輸出或觀測數(shù)據(jù)為在一系列距震源不同距離X（炮檢距）處記錄下的首波到達時間。若輸入信號、實驗的幾何特征（例如層狀介質(zhì)）和地震波能量傳播的物理規(guī)律已知，反演理論就可用于由觀測的時距曲線t(x)提取v(z)。

反演理論的一些說明

第一節(jié)簡介

對一個反演問題存在多種公式化方法，不同的人采用不同的方法。大部分文獻中對于地球物理反演問題，將地球參數(shù)化為幾個參數(shù)，從而觀測數(shù)據(jù)多于待定參數(shù)。最小平方法可用于尋求待定參數(shù)，獲得觀測數(shù)據(jù)與參數(shù)模型相應(yīng)的最佳匹配。對于部分反演問題，這是一個有效的方法，但這只是反演問題的一種解法。本門課程討論求解反演問題的更一般做法。1、反演問題的非唯一性（Nonuniqueness）2、觀測數(shù)據(jù)誤差的影響（Consequencesoferrors）

反演理論的一些說明這里的反演理論主要是基于Backus和Gilbert的論文，將集中討論地球數(shù)據(jù)反演問題中遇到的兩個問題：

在本課程中還將看到觀測數(shù)據(jù)中含有的模型信息可能有多種表達方式。采用哪一種方式最有效取決于反演問題的性質(zhì)。在后邊的討論中將對同一數(shù)據(jù)采用不同的反演方法，并獲得模型的不同信息。這里將主要圍繞地球物理、尤其是反射地震學的問題。實際上求解反演問題的方法和方式是十分通用的，可在所有科學研究領(lǐng)域得到應(yīng)用。事實上可將涉及觀測數(shù)據(jù)整理的問題都看成反演問題（廣義反演）。在反射波地震勘探中反演往往指波阻抗反演，筆者認為這是地震勘探中對反演的獨特定義（俠義反演）。本章將介紹反演問題的性質(zhì)及獲得可行解的困難，其他章節(jié)將涉及各種方法及例子。第二節(jié)基本概念

在地球物理學和相關(guān)學科中，通常在控制條件（即系統(tǒng)方式）下進行試驗，得到可能是觀測結(jié)果的數(shù)據(jù)。這些代表客觀物理世界某些特性的觀測值，稱為實驗數(shù)據(jù)或觀測數(shù)據(jù)。為了對這些數(shù)據(jù)進行解釋和整理，首先必須研究物理系統(tǒng)特性分布與觀測數(shù)據(jù)（地球物理響應(yīng)）之間的關(guān)系。描述這種關(guān)系的方程系構(gòu)成了正演理論。正演理論：描述物理系統(tǒng)特性分布與觀測數(shù)據(jù)（地球物理響應(yīng)）之間的關(guān)系的方程系構(gòu)成正演理論。正演問題：在給定輸入信號、地球模型、觀測系統(tǒng)和物理關(guān)系的前提下計算（預(yù)測）實驗的輸出數(shù)據(jù)（觀測數(shù)據(jù)）。簡單地說，就是將模型空間的一個元素映射到數(shù)據(jù)空間的一點。圖中模型空間包括所有可能的模型。對于前面介紹的地震折射問題，模型為速度函數(shù)V(z)，模型空間的元素為所有可能的垂向速度分布函數(shù)。數(shù)據(jù)空間的元素為旅行時函數(shù)t(x)或離散旅行時。函數(shù)F是觀測數(shù)據(jù)e與模型m的關(guān)系，F(xiàn)則包含了物理實驗的觀測系統(tǒng)和物理性質(zhì)。正演問題可用下式表示：F(m)=e也就是說，已知模型m和映射關(guān)系F，計算觀測數(shù)據(jù)e。第二節(jié)基本概念

在地球物理學中，對一個假設(shè)的地質(zhì)模型，給定某些參數(shù)（例如速度、層數(shù)、厚度），用理論關(guān)系式（數(shù)學模型）推導出某種可觀測量的量（地震波）。所獲得的數(shù)據(jù)稱為理論數(shù)據(jù)、合成數(shù)據(jù)或預(yù)測數(shù)據(jù)。

在地震勘探中典型的正演過程是合成記錄的制作。目前許多軟件提供合成地震記錄的制作模塊，但方法不盡相同。第二節(jié)基本概念圖正、反演問題圖

正演過程第二節(jié)基本概念線性映射：設(shè)m1和m2為模型空間的兩個元素，α和β為任意常數(shù)。那么當且僅當下式成立時映射（或F）為線性的：即，若模型數(shù)值翻倍，觀測數(shù)據(jù)也翻倍。兩個模型線性和的觀測數(shù)據(jù)等于各模型觀測數(shù)據(jù)的線性和，我們所討論的線性映射也可以寫成下式：（1.1）式中e(t)為觀測數(shù)據(jù)，m(u)為模型，G(t,u)為核函數(shù)?？芍囱輪栴}的物理性質(zhì)包含與核函數(shù)中，而觀測系統(tǒng)與核函數(shù)和積分限都有關(guān)。公式（1.1）稱為第一類Fredholm方程。諸如公式（1.1）之類的線性方程經(jīng)常在地球物理問題中出現(xiàn)。下面是一個例子：線性映射舉例：第二節(jié)基本概念1、Laplace變換

2、Fourier變換3、褶積4、電流產(chǎn)生的磁場（BiotSavart定律）：磁場強度

：電流強度：從觀測點出發(fā)的向徑J(x,y,z)r

圖電磁場觀測示意圖5、均方根速度與層速度的關(guān)系

6、重力第二節(jié)基本概念：密度異常

：重力常數(shù):z軸方向（單位矢量）

r0orr0-r△ρ(r)

圖重力異常觀測示意圖G

反演理論：就是從一個物理系統(tǒng)上的觀測值來恢復此系統(tǒng)的有用信息的一套數(shù)學和統(tǒng)計技術(shù)（微積分、微分方程、矩陣代數(shù)、統(tǒng)計估算和推斷等）。因而關(guān)系到：試驗數(shù)據(jù)分析、數(shù)學模型、實驗數(shù)據(jù)擬合（模型未知參數(shù)估算）及最佳實驗設(shè)計等。

第二節(jié)基本概念圖1-4反映射用公式表示為：F-1[e]=m反演問題：給定數(shù)據(jù)空間的一點，求產(chǎn)生該數(shù)據(jù)的模型空間的元素。也就是說反演映射是正演映射的逆過程。如圖1-4所示:圖反演過程

第二節(jié)基本概念例子：考慮地球內(nèi)部的溫度分布，假定地球內(nèi)部的溫度隨深度線性增加，其關(guān)系式可表示成：T(z)=a+bz；正演：如果給定a和b求不同深度z對應(yīng)的溫度T(z)反演：已經(jīng)在不同點z測得T(z)，求a和b，即擬合一條直線。前面例子的反問題為：1、已知Laplace變換X(s),求x(t)2、已知磁場,求電流3、給定均方根速度V2(t),求層速度v2(t)第二節(jié)基本概念

本課程將涵蓋線性反演問題的所有內(nèi)容。即給定諸如公式1.1那樣的正問題，并已知部分的e,我們將試圖產(chǎn)生反演映射來尋找模型m，或者用觀測數(shù)據(jù)提取關(guān)于模型m的信息。

非常重要的是必須意識到除非實驗的物理性質(zhì)和觀測系統(tǒng)已知，否則反演問題無法求解。等價地說，除非正演問題可以求解，否則不可能形成反演問題。這一點看似簡單，卻往往被忽視。反演不是魔術(shù)，它不能確定問題的物理性質(zhì)。反演理論只是提供了由觀測數(shù)據(jù)定量求取地球介質(zhì)未知參數(shù)的方法而已。第二節(jié)基本概念例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于反演，同樣必須先解決正演問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)總能在觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)之間建立某種非線性關(guān)系（許多研究人員對此非常熱衷），但此種非線性關(guān)系并不一定是等價于實際物理規(guī)律（例如警察與罪犯）。另外例如目前地震勘探中有人在做基于光纖模型的檢波器。這種檢波器在理論上可以記錄下甚高頻的地震信號。然而在實際應(yīng)用中卻發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)沒法分析。甚至分辨不出哪是有效信號哪是干擾信號。究其原因是未能考慮常規(guī)地震勘探的信號頻帶，使得記錄下來的信號幾乎全是噪音。此時不論采用何種高深的反演理論都不可能從觀測數(shù)據(jù)獲得任何關(guān)于地球介質(zhì)模型的有效信息。第二節(jié)基本概念關(guān)于反演問題的解，要注意以下幾個問題：1、存在性（Existence）：是否存在符合觀測數(shù)據(jù)e的模型m?2、可解性（Construction）：若存在解，如何構(gòu)造？3、唯一性（Uniqueness）：是否不止一個模型符合觀測數(shù)據(jù)？4、評估(Appraisal)：若多個模型符合觀測數(shù)據(jù)，即多解性，模型的什么信息是唯一確定的？上面問題的答案取決于觀測數(shù)據(jù)。觀測數(shù)據(jù)的類型有：1、完美數(shù)據(jù)（e(t)精確可知）2、有限個精確數(shù)據(jù)3、有限個不精確數(shù)據(jù)。第二節(jié)基本概念討論：完美數(shù)據(jù)僅存在于數(shù)學王國。對于一些反演問題，存在解析解（精確解），但需要完美數(shù)據(jù)。例如公式（1.2）。通過公式求導得反演公式：第二節(jié)基本概念（1.3）若所有時刻的v(t)已知，則

直接求得層速度。而且解是唯一的。公式（1.3）的離散形式就是我們常說的Dix公式。

已知，可以公式（1.3）給出了RMS速度的解析解，有人也許會說反演問題已經(jīng)得到了解決。一般來說在實際計算中V(t)不是精確已知的，那么公式（1.3）的結(jié)果是否仍然是層速度呢？第二節(jié)基本概念當數(shù)據(jù)有限，且不精確時，必須對地球物理問題進行評估。在此假設(shè)我們有精確數(shù)據(jù)，且已知任意時刻的V(t)及其導數(shù)，我們可用公式（1.3）求取層速度。采用如圖1-5所示方法對數(shù)據(jù)進行插值。

圖1-5均方根速度反演

該方法存在的困難是存在多種速度插值方法，每個插值函數(shù)v(t)產(chǎn)生一個不同的層速度。圖1-5中示范了兩個例子，哪一個層速度是正確的？當速度不精確時，非唯一性更差。例如圖1-6所示的具有誤差的數(shù)據(jù)。在誤差范圍內(nèi)存在多個符合觀測數(shù)據(jù)的函數(shù)v(t)，每個函數(shù)產(chǎn)生不同的層速度。

第二節(jié)基本概念

圖1-6RMS速度及其誤差（任何在該范圍內(nèi)的曲線都是可接受的）

該例子說明反演問題的非唯一確定性來源于兩個方面：1、有限的數(shù)據(jù)量，2、觀測的不精確性。既然所有的地球物理數(shù)據(jù)都具有這些性質(zhì)，可知所有地球物理反演問題都存在無限多解。當我們試圖獲得特定解時，實際上是尋找最可能類似地球介質(zhì)的模型。第二節(jié)基本概念湮沒空間（annihilator）：(實驗本身帶來的多解性)有一些模型函數(shù)，其正演問題的解為零輸出。這樣的函數(shù)被稱為零化子。當且僅當下式成立時，m*為零化子：F[m*]=0(1.4)非零m*的存在使得反演問題的解是不唯一的?？紤]兩個模型m*和m*+m,其中m*滿足公式（1.4），而m產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)，即F[m]=e,且問題為線性問題，則有：F[m*+m]=F[m*]+F[m]=0+e=e可知模型m和m+m*都產(chǎn)生同樣的觀測數(shù)據(jù)。

第二節(jié)基本概念圖1-7層狀介質(zhì)模型（各層內(nèi)速度和密度為常數(shù)，為第j層介質(zhì)下邊界的反射系數(shù)。）

第二節(jié)基本概念

零化子并不神秘，它們在實踐中經(jīng)常出現(xiàn)。例如反射地震勘探中，考慮圖1-7所示的水平層狀介質(zhì)，各層為均勻各向同性介質(zhì)。地層間的波阻抗差將引起入射能量在界面上的反射。用表示第j層下邊界的反射系數(shù)，反射系數(shù)函數(shù)方程為：

式中為地表到j(luò)層下界面的雙程旅行時。若入射（平面）地震脈沖w(t)垂直向下傳播，則地震記錄x(t)可由褶積模型得到，即：

給定子波w(t)就可以得到地震記錄：第二節(jié)基本概念

圖1-8褶積模型但w(t)為帶限函數(shù)，因為震源中沒有顯著的低頻能量，而高頻成分在地震波傳播中迅速衰減。因此典型地震子波的振幅譜象圖1-9中所示的那樣局限于頻帶。

第二節(jié)基本概念圖1-9子波W(t)振幅譜

給定地震記錄x(t)和地震子波w(t)，反演問題為恢復反射系數(shù)函數(shù)r(t)。第二節(jié)基本概念用rc(t)表示圖1.10中重建的模型。但是我們可以在中加入任何能量位于之外的函數(shù)，例如用表示，令則和都能滿足觀測數(shù)據(jù)，其效果如圖1-11所示。圖1-11不同的反射函數(shù)與子波褶積產(chǎn)生相同的地震記錄

不精確數(shù)據(jù)的深層影響：地球物理數(shù)據(jù)從來都不是精確的。這不但增加反演問題的非唯一性，而且引起模型重建的數(shù)字運算的困難。下面對此進行說明。理想情況下，正演問題產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)：F[m]=e若有附加噪音，則觀測數(shù)據(jù)為：反演算子作用與不精確的數(shù)據(jù)。令mc表示反演求得的模型，即：

在地球物理問題中一般假設(shè)附加噪音具有統(tǒng)計特性。

第二節(jié)基本概念第二節(jié)基本概念若已知噪音的統(tǒng)計規(guī)律，并可得到一個觀測數(shù)據(jù)樣本集，則唯一可說的是真正的觀測數(shù)據(jù)e存在于的某個區(qū)域內(nèi)。如圖1.12所示：但是陰影區(qū)（邊界其實是模糊的）內(nèi)的每個點都可能是真實的數(shù)據(jù)e。而且這個集合內(nèi)的每個點都能映射到模型空間的一個點。模型空間的陰影表示所有可以接受的模型。因而需要考慮的問題變成：假如附加噪聲較小，若，是否意味著？一般說來該問題的回答是否定的。令，，則大部分問題是：即使||很小，||也可能很大。也就是說反演問題本性是不穩(wěn)定的。數(shù)學家則說反演問題是病態(tài)（ill-posed或ill-conditioned）的。產(chǎn)生病態(tài)的原因為地球物理實驗本身的特性，核函數(shù)（公式1.1）一般比較寬，因而“平滑”了模型。觀測數(shù)據(jù)在某種意義上可以說是模型的平滑。作為特殊的例子，考慮層速度與疊加速度的關(guān)系：第二節(jié)基本概念（1.4）

式中tm是感興趣的最大時間（或者說地震記錄的最大時間），H為Heaviside階躍函數(shù)，tj時刻的核函數(shù)為從原點到時刻tj

的方波，因此V(tj)為該時間段上層速度平方加權(quán)平均值的平方根。下面給出一個實際的層速度和相應(yīng)的疊加速度例子，顯然V(t)比v(t)平滑很多。

第二節(jié)基本概念圖1.13層速度與均方根速度（ａ為層速度

ｂ為均方根速度）

第二節(jié)基本概念若正演映射是“平滑”，則反演映射必然是“粗化”。觀測數(shù)據(jù)的微小起伏必然被放大以恢復模型。自然觀測數(shù)據(jù)中的小誤差能在反演模型中產(chǎn)生大的特征。任何用Dix公式對不精確數(shù)據(jù)反演RMS速度的人員都必須面對這個事實。另外一個考察細小誤差在恢復的模型中產(chǎn)生巨大起伏的方法是利用公式（1.3）的解析解。由于要采用V(t)的導數(shù)，因此即使V(t)的誤差比較小，也會產(chǎn)生較大的差值。更甚的是，在反演映射中的被用t相乘，因此隨著t的變大，穩(wěn)定性也將變差。這也正是使用DIX公式人員所熟知的現(xiàn)象。

第二節(jié)基本概念許多地球物理問題的不穩(wěn)定性遠比RMS反演中嚴重。在RMS反演中，核函數(shù)對所有時間來說振幅值是常數(shù)。在大多數(shù)地球物理問題中核函數(shù)隨深度（或時間）衰減，也就是說隨深度增加，對地層的觀測能力越差。這種核函數(shù)的衰減所引起的反演問題的不穩(wěn)定性大于上面所舉例子。第三節(jié)離散化和線性化地球物理模型一般用連續(xù)函數(shù)來描述，例如：地球質(zhì)量與慣性動量和密度的關(guān)系：質(zhì)量=慣性動量=R:地球半徑；徑向距離r處的密度。上面兩式可用通式表示為:上式為積分，很容易用數(shù)字計算機計算。這涉及離散數(shù)學。令為m.，令，得到非常有用的公式：

此時我們稱理論問題被離散化。

第三節(jié)離散化和線性化由于技術(shù)上的原因，現(xiàn)場或?qū)嶒炇业挠^測都是在有限區(qū)間上進行記錄的（例如離散頻率、固定帶寬等）