奧數(shù)：排列組合的基本理論和公式

--一、排列組合的基本理論和公式， 排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān) 。如231 與213 是兩個排列， 2＋3＋1的和與2＋1＋3的和是一個組合。(一)兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ) ：(1) 加法原理：做一件事，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有 m1 種不同的方法，在第二類辦法中有 m2種不同的方法， ??，在第n 類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N＝m1＋m2＋m3＋?＋mn 種不同方法。(2) 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n個步驟 ，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ??，做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N＝m1×m2×m3×?×mn種不同的方法。這里要注意區(qū)分兩個原理， 要做一件事， 完成它若是有類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；做一件事，需要分 n 個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟， 依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。這樣完成一件事的分 “類”和 “步 ”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來。----------C53表示從 5個元素中取出 3個，總共有多少種不同的取法。這是組合的運算。例如：從 5個人中任選三個人去參加比賽，共有幾種選法？這就是從 5個元素中取出 3個的組合運算。可表示為3。其計算過程是3=5!/[3!(5×-3)!]C5C5嘆號代表階乘，5!=5×4×3×2×1=120，3!=3×2×1=6，（5-3）！=2！=2×1=2，所以C53=5!/[3!(5×-3)!]=120/(62)×=10針對上面例子，就是從5個人中任選三個人去參加比賽，共有10幾種選法。排列組合公式：公式P 是指排列，從 N個元素取 R個進行排列。公式C是指組合，從 N個元素取 R 個，不進行排列。n—元素的總個數(shù)； r—參與選擇的元素個數(shù)。！—階乘，如 9?。?×8×7×6×5×4×3×2×1。舉例：Q1: 有從1 到9 共計9 個號碼球， 請問，可以組成多少個三位數(shù)？A1:123 和213 是兩個不同的排列數(shù)。 即對排列順序有要求的，既屬于 “排列P”計算范疇。----------上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997 之類的組合， 我們可以這么看， 百位數(shù)有 9 種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有能，最9-1種可能，個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可終共有9×8×7個三位數(shù)。計算公式＝P93＝9×8×7。Q2: 有從1 到9 共計9 個號碼球， 請問，如果三個一組，代表 “三國聯(lián)盟 ”，可以組合成多少個 “三國聯(lián)盟 ”？A2: 213 組合和312 組合，代表同一個組合， 只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于 “組合 C”計算范疇。上問題中，將所有的包