復(fù)變09、0910題-2010函數(shù)參考答案

華南理工大學(xué)期末考2010《復(fù)變函數(shù)-B》參考答1，填空題。(530分

z(1

(2

z的虛部為

或sin(2 或 C為正向圓周|z|3

1zdzCsin2(2(5)或argz(0，4 (，-344

wx22y2ixyy在映射wz2下，區(qū)域|w|，z1，Argz(0，4計(jì)算積分i(zi)ezdz1

0argw(2i)e1(12i)ei(2i)e1(cos12sin1)(2(2e1cos12sin1)(e12函數(shù)f(z)z2cos

D0|z|z2

(1)n

(1)n

2，計(jì)算題，(530分)計(jì)算Ln(4

和 的Ln(43i)ln(43i2kiln52kiiarctan42ieiLn2ei(ln22ki)e2kiln2e2k[cos(1ln2)

isin(ln

shz54 eze

2

shz

i i ie1(e2i)(e

i) ez

1izLn2i,zln22ki 分別用定義和柯西--f(z)|z|u

，u u ，并且在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)x2xx2x2x2不存在。v0，可知vv0。因此，整個(gè)復(fù)平面上不滿足柯西-- xx2用定義：在（0，0）

f(z)f(0)

x ，

01和-1，因此極限不存在，即函數(shù)不可導(dǎo)。f(zz)f(z)

(xx)2(yy)2

x2 2xxx22yy((xx)2(yy)2 x2y2)(x分別令z0yiyix2x2x2計(jì)算積分|z|2dzC1+3iCxt，y3t，t[0，1z2dz1[t2(3t)2](13i)dt(1030i)1t2dt10

f(z)

zz(z2

g(z)

1

解：0z(z24)310f12iz(z24)33階零點(diǎn)，可知2if3階極點(diǎn)。111(2n1)!1()2n1g(z)sin(1)

11(

)31

1 3!1z=1f(z)z1z1Taylorz

z z z

z

z

z1f(z)z

21(z1)21(z1)

n02

n023，(10分)

en （1）

pz，其中p1；比值法： n n(n1) n

peR 1（2）(13i)

lim

R4，(本題10分)計(jì)算積分2 d，(a1)。0azei，則ddz，sin1(zz1

z2I

asindz1f(z)dz，其中f(z)iz(z22iaz1)有三個(gè)一階極點(diǎn)z0，ziaia21z1內(nèi)

ia

z1a2a2z2Res(f(z)，z1)limzf(z)limi(z22iaz1) (zz)(z2

(z2

Res(f(z)，z2)lim lim

zz2iz(z22iaz zz2iz(zz iz(zz

ia2 a2 I2iRes(f(z)，z)+2iRes(f(z)，z)2a2 C(z2C(z21)4(z51)(z

C:

2解：f(z(z21)4(z51)(z3)在Cz13C(z21)4(z51)(zI dz2i[Res(C(z21)4(z51)(z 2Res(f(z)，) )0) 2

)

(z21)4(1z5)(1Resf(z)，z1104*(351)，因此I

5106，(10分)（1）f(z)

(z2)(z

0z11；1

z11、令wz1，f(z) ，1

wnf(z)

w3(w

w

2、1 1

wn

wn1f(z)

ww w1 w

（2）f(z)