習題124求下列微分方程的通解

習題12-41.求下列微分方程的通解:解y=6一件(上一‘ C)=(Je~xexdx+C)=e~x(x+C).(2)W+y=/+3x+2;解原方程變?yōu)閥'+Ly=x+3+2.y=e%"[J(x+3+2)Jl，￥+C]=1[J(工+3+2)xdx+C]=—[J(x24-3x+2)dx+C]A X X=*9+標+29=#+42+邑

入J， 3幺X(3)y'+ycosx=e一2'；解y=e~fcOSJA(je_siavJCOSXJ.VJX+Q=e-sim(Je-si^,esin.xdx+q=6-5皿(工+Q(4))/+ytanx=sin2x\解產院""(Jsin2xJ皿勺/x+C)=*cos%jsin2x?eTncos.%x+C)=cosX[2siiixcosx?--—dx+C)

J cosx=cosx(-2cosx+C)=Ccosx-2cos2x.(5)(^-1)y'+2xy-cosx=0;解原方程變形為),'+春)，=瀉.y=i&dXcosxJxy=i&dXcosxJx2-l^-dxx-Tdx+C)占[]箸(xMWx+C>p^sinx+C).（嚼+3月=2；解夕=「夕d〃+c）=6-31J2638d夕+C)dy⑺十+2q=4x;dx解y= "(J4xJ2xdAdx+C)=?一'(J^x-exldx+C)=k爐(2e爐+C)=2+Ce-x2.(8)ylnydx+(x-\ny)d.v=O；解原方程變形為半+l^x=L.ayyhiy y-\—^—dy「if-J—JvX=e(|±.^yinydy+C)Jv(9)(x—2)半=y+2(x-2)3;ax解原方程變形為羋一一三y=2(x—2)2.dxx-2y=x-2[j2(x-2)2-^-x~2dx+C]二(x-2)[J2(x-2)2 C]?A4=(x-2)[(x-2)2+C]=(x-2)3+C(x-2).(10)(y2-6x)^-+2y=0.dx解原方程變形為半dyy2-f—Jvr1 -(—dyx=Jy[](-/)?/,力+q=y3(-]JyJdy+C)2J鏟

J=y3(—+0=方+03.Zy /.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：dy(1)-7--ytanx=secx,y10=0;ax.解y=Jt皿“'(JsecxW+c)TOC\o"1-5"\h\z=---"seercosxdx+Q=―-—(x+C).COSXJ cosx由外=0=0,得C=0,故所求特解為y=xsecx.⑵”=吟axxx解y=eX解y=eX巫卅dx+C)=l(f^ilLL.j；6fr+Q=—(-cosx+C).入X X由)卜*1,得C=el,故所求特解為y=L(/r—l_cosx).X⑶9+ycoix=5ecosx,)'|「不=一4；解產/Jc°t.s(j5ecosx -+q=—-—([5ecos'-siiixdx+C)=J(—5^COSA+C).siiixJ sinx由升_z=—4,得C=l,故所求特解為y=」_(_5ecosx+l).工=5 SillAdy「o.⑷才+3y=8,yd=2;ax.

解y=e-^dx^e^dxdx+C)=ef(8Je3xdx+C)=e-3x(^^+C)=|+C^3v.由務o=2,得C=—爭故所求特解為尸■|(4—eT)⑸孚+2寸2y=l,3卜1=0.axV解尸)號飛11歲般+C)TOC\o"1-5"\h\z1 1_J_ J_=x3ex2(J-y^爐dx+C)=y?e/1 i ±-i由H1=o,得C=—3,故所求特解為)=1好(1—金/)?2e 2.求一曲線的方程，這曲線通過原點，并且它在點(x,y)處的切線斜率等于2%+廣解由題意知y'=2r+y,并且)卜0=0.由通解公式得y=/'(j2xe~^dxdx+C)=ev(2jxe~xdx+C)=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由ybo=O,得C=2,故所求曲線的方程為)=2(e'T-l)..設有一質量為〃?的質點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一至、大小與時間成正比(比例系數為h)的力作用于它，此外還受一與速度成正比(比例系數為七)的阻力作用.求質點運動的速度與時間的函數關系.解由牛頓定律尸=團4,得〃7=占1-&□,即4=dt dtmmv=efJ*dt+C)=*由通解公式得v=efJ*dt+C)=*'(fkf.溫df+C)Jm蠟一等蠟+C).em蠟一等蠟+C).em由題意，當1=0時D,于是得。=粵.因此女2.設有一個由電阻R=10Q、電感L=2h(亨)和電源電壓E=20sm5/*伏)串聯組成的電路.開關K合上后，電路中有電源通過.求電流i與時間7的函數關系.解由回路電壓定律知20siii5r-2^-10z=0,即%5i=10sin5r.dt dt由通解公式得i=j10sin5z-e^5dtdt+C)=sin5z-cos5^+Ce~5t.因為當上0時i=0,所以C=L因此i=sin5f—i=sin5f—cos5f+L=e~5t+V2sin(5/-令(A)..設曲工?(八%/五+[2￥(6一/]4)，在右半平面(x〉0)內與路徑無關，其中公)可導，且人1)=1,求危).解因為當Q0時，所給積分與路徑無關，所以梟打切噌回⑶田，即 /(x)=2/(a)4-2a/(x)-2x,或 ra)+2/(x)=l因此|門因此|門由人1)=1可得c=],故/(工)=2工+4.3 33y/x.求下列伯努利方程的通解：(l)^-+y=y2(cosx-siiix);人

解原方程可變形為十+一=cosx—sinx,即告一^一)，i=sinx—cosr.axy dxy~[=^</a[J(sinx-cosx)-e~^lxdx+C]=e~x[\(cosv-siiix)exdx+C]=Cex-siiix,原方程的通解為-=Cex-sinx.y(2)，-3xy=xy2；ax解原方程可變形為1dy&-1ntld(y~[)Q_?-5—L—3x-=x,即— F3XV=—X.TOC\o"1-5"\h\zyzdxy dx'yT=/3"U(_x).j3M4.+a_32 3,2=e(一卜方dx+C)1

一?'3、 13， 31

一?'-A-/I-X- — ——X-=e2(—*2+C)=Ce21-lx21原方程的通解為L=Ce2-A.y3⑶窯+然；(1_2力；C/人JJ解原方程可變形為皤學省-2x),即啥一尸=2-y~3= (2人‘一1)吆T“dx+C]=ex[^(2x-l)e~xdx+C]=-2x-l+Cex,原方程的通解為二二CF—2x—1.)'3

/八外 s（4）關-y=W；解原方程可變形為1dy1y5dxy4=x,B|J-^Z121dy1y5dxy4y-4=/〕4叫J(_而)J癡%X+C]=^-4(-4jxe4xdx+C)=—x+1+CeT*4原方程的通解為1=—x+1+Ce-4x.)產4(5)xJy-^+x)3(l+liix)]dx=Q.解原方程可變形為*務已=。+皿,即-*務已=。+皿,即--+—y~2=-2(1+hix).axxy~2=e上小[一2J(1+hix)-e^Adx+C]=二[-2J(1+Inx)Ndx+C]C2. 4=h鏟1nAy原方程的通解為」y= X111X—），2N3 9.驗證形如水刈）辦+rg（刈）力=0的微分方程，可經變量代換v=xy化為可分離變量的方程，并求其通解.解原方程可變形為辦-—WW）dx稔⑴，）.在代換IF3，下原方程化為dvX~dx~Vv/OO7 x2g（p）'即「*")—-du=-dx,積分得1一 =1nl+0，對上式求出積分后，將X0代回，即得通解.9.用適當的變量代換將下列方程化為可分離變量的方程，然后求出通解：⑴半=(x+y)2；ax解令H=x+y,則原方程化為華-1=M,即公=4.ax l+wz兩邊積分得x=aictanu+C.將〃=x+y代入上式得原方程的通解x=aictan(x+),)+G即)^=-x+tan(x-Q.(2)半=」—+1；axx-y解令代x-y,則原方程化為1_也=工+1,BPdx=-udu.axu兩邊積分得x=--u2+C1.將〃=x+y代入上式得原方程的通解x=--^(x-y)2+C[,BP(x-y)2=-2x+C(C=2Ci).4^(3)xyf+y=y(\nx+lny);解令；-xy,則原方程化為xdW,即以=一一反.xdxx1xxxuinu兩邊積分得Inx+lnC=lnlnu9BPu=eCx.將代入上式得原方程的通解孫=不、即上/二X(4))/=)?2+2(suix-l)y+sm2x-2suix-cosx+1;解原方程變形為y-(j'+SlllX-1)2—COSX.令u=y+smx-1,則原方程化為率-cosx=〃2_cosx,BP\du=dx.dx M兩邊積分得--=x+C.a將u=y+smx-l代入上式得原方程的通解 r -=x+C,即y=l-sinx .y+suix-l ” x+C(5))(yy+1)dx+x(1+xy+x1y2)d\^=0.解原方程變形為dy=MXx+1