一元二次方程重難點

...wd......wd......wd...一元二次方程重難點一元二次方程重難點知識導航知識導航一．一元二次方程的定義二．有關(guān)一元二次方程根的考察〔根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題〕三．一元二次方程的解法〔直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法〕四．含絕對值的一元二次方程五．根的判別式及韋達定理①根與系數(shù)的關(guān)系——對方程根的個數(shù)的判別②利用判別式解參數(shù)取值范圍——含參變量的一元二次方程③通過判別式，證明方程根的個數(shù)問題④利用韋達定理求代數(shù)式的值〔等〕⑤利用韋達定理求參數(shù)的值五．一元二次方程整數(shù)根問題六．一元二次方程的應用根基學習根基學習一．一元二次方程的定義定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程．關(guān)于一元二次方程的定義考察點有三個：①二次項系數(shù)不為；②最高次數(shù)為；③整式方程一般形式：，為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項．二．有關(guān)一元二次方程根的考察〔根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題〕關(guān)于一元二次方程根的考察就是需要將根代入方程得到一個等式，然后再考察恒等變換?！矊⒏敕匠蹋@是很多同學都容易忽略的一個條件〕1.與根有關(guān)的代數(shù)式化簡求值【例】x是一元二次方程x2+3x-1=0的實數(shù)根，求代數(shù)式：的值．【穩(wěn)固】先化簡，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根．2.公共解問題【思考】兩個二次方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0有一個公共根為1，求證：二次方程也有一個根為1．【例1】一元二次方程x2?2x?＝0的某個根，也是一元二次方程x2?(k+2)x+＝0的根，求k的值．【穩(wěn)固】當k為何值時，方程x2-〔k+2〕x+12=0和方程2x2-〔3k+1〕x+30=0有一公共根求出此公共根．【變式1】假設(shè)兩個不同的關(guān)于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0有一個共同的實數(shù)根，求a的值及這兩個方程的公共實數(shù)根．【變式2】a＞2，b＞2，試判斷關(guān)于x的方程x2-〔a+b〕x+ab=0與x2-abx+〔a+b〕=0有沒有公共根．請說明理由．【拓展1】：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一個一樣的實數(shù)根，且a?b?c≠0，求a+b+c的值【拓展2】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x2+2ax+b2與x2+2cx-b2有一個公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．三．一元二次方程的解法及求根公式〔直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法〕【例1】解方程：〔1〕．〔2〕〔3x+1〕〔2x-5〕=-2〔2x-5〕〔3〕〔4〕〔7〕x+2?8＝0〔2〕x+?6＝0【穩(wěn)固】〔1〕關(guān)于x的方程x2-〔2a+1〕x+a2+a=0的兩個實數(shù)根中，只有一根大于5，求a的取值范圍．〔2〕x，y滿足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值．在解方程里面，一般采取的方法是配方法，應用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考察最多的是十字相乘法，因此在學習的時候要求對這幾種方法熟練掌握，一般來說，對于初學者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系之后，配方法相較會簡單一些?！纠?】假設(shè)m、n為有理數(shù)，是無理數(shù)，m+是有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一個根，證明：m-也是這個方程的一個根．【例2】設(shè)x1、x2是方程x2-6x+a=0的兩個根，以x1、x2為兩邊長的等腰三角形只可以畫出一個，試求a的取值范圍．【例3】當x滿足條件時，求出方程x2-2x-4=0的根．【穩(wěn)固】〔1〕解方程：x2-x-5=0．〔2〕假設(shè)不等式組整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x-4=ax的根，求a的值．四．含絕對值的一元二次方程【例1】閱讀例題，模擬例題解方程．例：解方程x2+|x-1|-1=0．解：〔1〕當x-1≥0即x≥1時，原方程可化為：x2+〔x-1〕-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2〔x2不合題意，舍去〕；當x-1＜0即x＜1時，原方程可化為：x2-〔x-1〕-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1〔x4不合題意，舍去〕．綜合〔1〕、〔2〕可知原方程的根是x1=1，x2=0．請模擬以上例題解方程：x2+|x+3|-9=0．【穩(wěn)固】解方程：〔1〕|x2-1|〔2〕【例2】解方程：〔1〕x2-|x-2|-6=0．〔2〕x2-4|x|-5=0．【穩(wěn)固】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和．難點突破難點突破五．根的判別式及韋達定理1根與系數(shù)的關(guān)系——對方程根的個數(shù)的判別判別式與根的關(guān)系在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)、、確定，它的根的情況〔是否有實數(shù)根〕由確定．設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：那么①方程有兩個不相等的實數(shù)根．②方程有兩個相等的實數(shù)根．③方程沒有實數(shù)根．【例1】〔1〕解方程：x2+4x-5=0；〔2〕求證：無論k取任意值，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+〔k-2〕=0一定有兩個不相等是實數(shù)根．【穩(wěn)固1】關(guān)于x的方程x2+ax+a-2=0〔1〕假設(shè)該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；〔2〕求證：不管a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【穩(wěn)固2】關(guān)于的方程①有兩個相等的實數(shù)根．求證：關(guān)于的一元二次方程②必有兩個相等的實數(shù)根．【變式】關(guān)于x的一元二次方程x2+2〔k-1〕x+k2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根．〔1〕求實數(shù)k的取值范圍；〔2〕0可能是方程的一個根嗎假設(shè)是，請求出它的另一個根；假設(shè)不是，請說明理由．【穩(wěn)固】關(guān)于x的方程x2+〔2k+1〕x+k2+2=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷直線y=〔2k-3〕x-4k+12能否通過點A〔-2，4〕，并說明理由．②利用判別式解參數(shù)取值范圍——含參變量的一元二次方程【例1】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．【變式】關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，化簡：【例2】關(guān)于的方程有實數(shù)根，那么整數(shù)的最大值是．【穩(wěn)固】假設(shè)關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，那么的最小整數(shù)值為_________【例3】：方程沒有實數(shù)根，且，求證：有兩個實數(shù)根．【穩(wěn)固】：、為整數(shù)，關(guān)于的二次方程有兩個不相等的實數(shù)解，有兩個相等的實數(shù)根，沒有實數(shù)根，求、的值．③通過判別式，證明方程根的個數(shù)問題【例1】對任意實數(shù)，求證：關(guān)于的方程無實數(shù)根．【變式】方程沒有實數(shù)根，求證：方程一定有兩個不相等的實數(shù)根.【穩(wěn)固】：方程沒有實數(shù)根，且，求證：有兩個實數(shù)根．【拔高1】關(guān)于的二次方程與，求證：當時，這兩個方程中至少有一個方程有實數(shù)．【拔高2】實數(shù)、、、、滿足，，求證：一元二次方程必有實根．④利用韋達定理求代數(shù)式的值〔等〕【例1】關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根．〔1〕求實數(shù)m的最大整數(shù)值；〔2〕在〔1〕的條下，方程的實數(shù)根是x1，x2，求代數(shù)式x12+x22-x1x2的值．【穩(wěn)固】x1，x2是一元二次方程〔m-3〕x2+2mx+m=0的兩個實數(shù)根．〔1〕是否存在實數(shù)m，使-x1+x1x2=4+x2成立假設(shè)存在，求出m的值，假設(shè)不存在，請你說明理由；〔2〕假設(shè)|x1-x2|=，求m的值和此時方程的兩根．⑤利用韋達定理求參數(shù)的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0．〔1〕假設(shè)方程有兩實數(shù)根，求m的范圍．〔2〕設(shè)方程兩實根為x1，x2，且|x1-x2|=1，求m．【穩(wěn)固1】關(guān)于x的一元二次方程x2+2〔m+1〕x+m2-1=0．〔1〕假設(shè)方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；〔2〕假設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足〔x1-x2〕2=16-x1x2，求實數(shù)m的值．【穩(wěn)固2】：關(guān)于x的一元二次方程kx2-〔4k+1〕x+3k+3=0〔k是整數(shù)〕．〔1〕求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕假設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2〔其中x1＜x2〕，設(shè)y=x2-x1-2，寫出y關(guān)于變量k的函數(shù)表達式．【練習】關(guān)于x的方程mx2+〔3-2m〕x+〔m-3〕=0，其中m＞0．〔1〕求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，其中x1＞x2，假設(shè)y＝，求y與m的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕在〔2〕的條件下，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)≤-m成立的m的取值范圍．【變式1】關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數(shù)解是x1和x2．〔1〕求k的取值范圍；〔2〕如果x1+x2-x1x2＜-1且k為整數(shù)，求k的值．【穩(wěn)固】關(guān)于x的一元二次方程x2-〔2k+1〕x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2．〔1〕求實數(shù)k的取值范圍；〔2〕是否存在實數(shù)k使得x1?x2-x12-x22≥0成立假設(shè)存在，請求出k的值；假設(shè)不存在，請說明理由．【變式2】關(guān)于x的一元二次方程x2-〔2k+1〕x+k2+k=0．〔1〕求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；〔2〕假設(shè)△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．【穩(wěn)固】x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2〔m+1〕x+m2+5=0的兩實數(shù)根．〔1〕假設(shè)〔x1-1〕〔x2-1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一邊長為7，假設(shè)x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．【變式3】設(shè)m是不小于-1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2+2〔m-2〕x+m2-3m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．〔1〕假設(shè)，求的值；〔2〕求的最大值．五．一元二次方程整數(shù)根問題1.有理數(shù)根問題方程〔，、、均為有理數(shù)〕的根為有理數(shù)的條件是：為有理數(shù)2.整數(shù)根問題一元二次方程有正〔負、非正、非負〕整數(shù)根，用十字相乘或公式法求出兩個根，并將兩根化簡，分子局部不能有字母，再討論整數(shù)根，并考慮根為正〔負、非正、非負〕數(shù)。一元二次方程有整數(shù)根，但用十字相乘或公式法求出的兩個根含有根號時，如，要利用換元法，設(shè)，得出，將x中的a全部替換，得出兩個不含根號的解，再討論整數(shù)根問題，方法同上；假設(shè)△=4a2-9且a為整數(shù)，那么設(shè)4a2-9=k2，4a2-k2=9，可得〔2a-k〕(2a+k)=9,那么討論整數(shù)X整數(shù)=9，討論出所有滿足情況的整數(shù)即可，注意k≥0注意：假設(shè)方程至少有一實數(shù)根，那么通過推出的相關(guān)字母的值，應該取全部情況；假設(shè)方程有兩個實數(shù)根〔已經(jīng)確定方程為一元二次方程〕，那么通過推出的相關(guān)字母的值，應該取公共解。1.有理數(shù)根問題【例1】關(guān)于的一元二次方程有有理根，求的值?！痉€(wěn)固】設(shè)是不為零的整數(shù)，關(guān)于的二次方程有有理根，求的值．【例2】設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個整數(shù)根，求的值及方程的根．【變式】為何值時，方程和有一樣的整數(shù)根并且求出它們的整數(shù)根【穩(wěn)固】當是什么整數(shù)時，關(guān)于的一元二次方程與的根都是整數(shù)．六．一元二次方程的應用一元二次方程的應用類問題大致可以分為五種情況：1.增長率問題；2.商品利潤問題；3.圖形面積問題；4.傳播問題；5.動點問題1.增長率問題【例】某校去年對實驗器材的投資為萬元，預計今明兩年的投資總額為萬元，求該校這兩年在實驗器材投資上的平均增長率是多少【變式】某個體戶以元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤，這元資金加上第一年的利潤在第二年共獲利潤元，而且第二年的利潤率比第一年多，那么第一年的利潤是多少元【穩(wěn)固】某商場年的營業(yè)額比年上升，年比年又上升，而年和年連續(xù)兩年比上一年降低，那么年的營業(yè)額比年的營業(yè)額〔〕A.降低了B.沒有變化C.上升了D.降低了2.商品利潤問題【例】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以銷售出件，每件盈利元，為擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價元，商場平均每天多售出件，假設(shè)商場平均每天要盈利元，每件襯衫應降低多少元【穩(wěn)固】商場將每件進價為元的某種商品原來按每件元出售，一天可售出件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低元，其銷量可增加件．〔1〕問商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元〔2〕假設(shè)商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤元，那么每件商品售價應為多少元【穩(wěn)固】宏達汽車出租公司共有出租車輛，每輛汽車的日租金為元，出租業(yè)務天天供不應求，為適應市場需求，經(jīng)有關(guān)部門批準，公司準備適當提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加元，每天出租的汽車相應地減少輛。假設(shè)不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個元⑴能使公司的日租金總收入到達元⑵使公司的日租金總收入最高最高是多少3.圖形面積問題【例】如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的倍，四個角各截去一個正方形，制成高是，容積是的無蓋長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬．【穩(wěn)固】在寬為，長為的矩形地面上，修同樣寬的兩條互相垂直的道路余下的局部作為耕地，要使耕地的面積為，道路的寬應為多少4.傳播問題【例1】〔1〕有一人得了流感，他把流感傳染給了個人，共有人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了個人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人得流感．〔2〕有一人得了流感，他把流感傳染給了個人，共有人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了個人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人得流感．【穩(wěn)固】一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有臺電腦被感染，每輪感染中平均一臺電腦感染幾臺電