有限元6-動力有限元

有限單元法第六章結(jié)構(gòu)動力分析有限元法1此前述及的問題屬于靜力分析問題，即作用在結(jié)構(gòu)上的荷載是與時間無關(guān)的靜力。由此求得的位移、應(yīng)力等均與時間無關(guān)。實際工程中的大部分都可簡化成靜力問題。當(dāng)動載與靜載相比不容忽略時，一般應(yīng)進行動力分析。如地震作用下的房屋建筑，風(fēng)荷載作用下的高層建筑等，爆炸作用下的建筑結(jié)構(gòu)，船舶受海浪沖擊，都應(yīng)計算動荷載作用下的動力反應(yīng)。研究課題中以動力問題為主。解決動力問題有兩大工作要做：一是動荷載的模擬和計算，二是結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析。本章將討論如何用有限元來解決動力計算問題。26.1結(jié)構(gòu)動力方程一、單元的位移、速度和加速度函數(shù)設(shè)單元的位移函數(shù)為式中：單元位移函數(shù)列陣{f}，結(jié)點位移函數(shù)列陣zmk06a6e均是時間t的函數(shù)。由(6-1-1)可求得單元的速度、加速度函數(shù):(6-1-1)(6-1-2)(6-1-3)3二．單元的受力分析設(shè)圖示三角形單元，當(dāng)它處于運動狀態(tài)時，其上的荷載一般應(yīng)包括：1）其他單元對其結(jié)點的作用力2）單元內(nèi)部的單位體積的慣性力和阻尼力（設(shè)正比于運動速度）：慣性力：

阻尼力：3）干擾力（已知的荷載）：(6-1-4)(6-1-5)根據(jù)達朗貝爾原理，這些力構(gòu)成一瞬時平衡力系，使單元處于動平衡狀態(tài)。4三．結(jié)點力與結(jié)點位移、速度和加速度之間的關(guān)系用虛功原理推導(dǎo)，令單元結(jié)點發(fā)生任意可能的虛位移{d*}，它滿足單元所定義的位移場，即虛位移場成立。作用在單元上的外力所作的外力虛功：單元內(nèi)部應(yīng)力在由于虛位移所引起的虛應(yīng)變上所做的內(nèi)力虛功：虛實5根據(jù)虛功原理（T=W），若將慣性力{Fm}，阻尼力{Fc}用上面的(6-1-4)，(6-1-5)代替，得：由于虛位移的任意性，可從等式兩邊各項中消去{d*}T，得：簡寫為：6式中：單元阻尼矩陣（第二項為阻尼力)包括由作用在單元上的干擾力轉(zhuǎn)化成的等效結(jié)點荷載(6-1-6)即為單元結(jié)點力之間的關(guān)系式。(6-1-6)單剛（第一項為彈性恢復(fù)力）質(zhì)量矩陣（第三項為慣性力）7四、結(jié)構(gòu)的動力方程有了上述單元力關(guān)系式，象在靜力問題中對每個結(jié)點建立平衡方程一樣，根據(jù)達朗貝爾原理，對每個結(jié)點建立動平衡方程后，即可得到結(jié)構(gòu)的動力方程組：(6-1-7)式中：[M]、[C]、[K]分別為總質(zhì)量、總阻尼、總剛度矩陣。[R]為外力（結(jié)點力），實為干擾力（當(dāng)不考慮靜載時）當(dāng)不計阻尼影響時，上式成為：(6-1-8)8若干擾力為零，得：(6-1-9)即結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程組。由此可求得結(jié)構(gòu)的自振特性（頻率，振型）。由上可見，動力問題首先要解決如下問題1)[M]、[C]、[K]及[R]形成2)方程組的求解時域解法、頻域解法、振型分解法96.2單元質(zhì)量矩陣和單元阻尼矩陣單元質(zhì)量矩陣可分為：1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣[m]C（或一致質(zhì)量矩陣）。單元質(zhì)量矩陣表達式為：2）集中質(zhì)量矩陣[m]L認為質(zhì)量集中在節(jié)點，因此單元質(zhì)量矩陣為對角矩陣。也有的采用上述兩種質(zhì)量矩陣的線性組合（h一般取0.5）。10一、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（Consistent

mass）由于單元質(zhì)量矩陣表達式為

式中包含了推導(dǎo)單元剛度矩陣時相同的形函數(shù)[N]，因此常將按此式形成的[m]稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（或一致質(zhì)量矩陣）。幾種常見的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣1.梁單元設(shè)梁單元位移函數(shù)：11式中形函數(shù)設(shè)單元的質(zhì)量沿梁的長度方向均勻分布，則有：(6-2-1)W=mg單元重量，g為重力加速度12考慮軸力的梁單元協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣式中G為梁單元的重量132.平面三結(jié)點三角形單元形函數(shù)設(shè)單元的質(zhì)量均勻分布，則有單元位移函數(shù)式中：為三角形單元的重量。14二、集中質(zhì)量矩陣（Lumped

Mass

）單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和單剛具有相同的階數(shù)，因此，總質(zhì)量矩陣[M]的階數(shù)也與總剛[K]相同。或者說采用協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣后，結(jié)構(gòu)的振動自由度和結(jié)構(gòu)的靜力自由度是相同的。動力問題的這種做法，其求解是很費時的：(1)形成質(zhì)量矩陣的工作量等同于總剛(2)特征值的求解工程實際和試驗證明，在某種干擾力作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)是有明顯主次之分的。工程上通常把單元的分布質(zhì)量集中到各結(jié)點而成為集中堆聚質(zhì)量，這樣可使問題得到很大簡化，且計算經(jīng)驗表明，二者給出的計算精度相差無幾。15如果非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的質(zhì)量占較大的比例，則兩種質(zhì)量矩陣的差別將更小質(zhì)量集中按靜力等效原則，且常忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響，上述各單元的質(zhì)量矩陣簡化為：梁單元：常應(yīng)變?nèi)菃卧?6矩形薄板單元：由此可見，采用集中質(zhì)量時，集中質(zhì)量即采用“就近堆積”的原則。17對于具有中間節(jié)點的高次單元，質(zhì)量集中的方式常有1）按靜力等效原則根據(jù)等效節(jié)點力公式得集中質(zhì)量矩陣各對角元素為與協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣[m]C的關(guān)系為缺點：角節(jié)點可能出現(xiàn)負值2）按協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的對角線元素的比例18三、阻尼矩陣在土木結(jié)構(gòu)的動力問題中，結(jié)構(gòu)振動耗能是客觀存在著的，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動耗能的原因，阻尼可被分為外部阻尼和內(nèi)部阻尼。

外部阻尼是指結(jié)構(gòu)周圍介質(zhì)對結(jié)構(gòu)振動能量的消耗。它可分為介質(zhì)阻尼、外摩擦阻尼和輻射阻尼。

內(nèi)部阻尼是指結(jié)構(gòu)自身對振動能量的耗散性能，可分為材料阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。19土木結(jié)構(gòu)動力分析中，需要將結(jié)構(gòu)的阻尼作用抽象為既能夠合理反映結(jié)構(gòu)主要阻尼機制，又便于計算的簡單數(shù)學(xué)模型。由于實際結(jié)構(gòu)的振動阻尼是多方面因素共同形成的，其綜合作用機理相當(dāng)復(fù)雜，迄今尚未有既具方便數(shù)學(xué)處理，又能很好體現(xiàn)其物理意義的計算方法。一百多年來，人們已提出了多種阻尼模型，目前在工程結(jié)構(gòu)動力計算中常用的阻尼計算模型有：粘滯阻尼模型、滯變阻尼模型、庫倫阻尼模型、比例阻尼模型和非比例阻尼模型。其中用得最多的粘滯阻尼模型和比例阻尼模型。20比例阻尼在結(jié)構(gòu)動力分析中，較多采用的是粘滯阻尼理論，即假定阻尼力與速度成正比，由此得到單元的阻尼矩陣：這樣做，可給方程組的求解帶來方便。但這個假定并不能很好的符合結(jié)構(gòu)的實際情況。因此在實際應(yīng)用中也常采用[M]和[K]的線性組合?；?1)(2)(3)即瑞利(Rayleigh)阻尼模型。21也可寫成更一般的形式:(4)即柯西(Caughey)阻尼模型。這樣處理的阻尼矩陣可以通過模態(tài)向量正交化完全解耦為對角陣。由于阻尼矩陣依賴于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，故可通過[M]、[K]而獲得[C]第i階振型的阻尼比

xi與（4）式中各系數(shù)的關(guān)系為22當(dāng)取S=0、1兩項時，即為式（2）如果已知某2階振型的頻率與阻尼比，則式中系數(shù)由下式確定：ωi─第i個固有頻率,ξi─阻尼比,ξ是實際阻尼與臨界阻尼的比值,當(dāng)ξi=ξj=ξ時,上式簡化為236.3結(jié)構(gòu)的自由振動和特征值問題

一、特征值方程這是一個大家都很熟悉的問題，故著重討論程序設(shè)計上的一些處理方法。結(jié)構(gòu)作無阻尼自由振動的微分方程(6-1-9)：設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧振動：將其代回(6-1-9)得：求解特征方程即可獲得幾個運動自由度所對應(yīng)的頻率和振型。(6-3-1)24另一種求特征值的頻率方程：由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，如果從質(zhì)點的位移方程出發(fā)，建立運動方程（柔度法），則n階自振方程：相應(yīng)頻率方程：(6-3-2)式中：[F]—柔度矩陣；[E]—n階單位矩陣。解此方程亦得到上述相同結(jié)果。

25結(jié)構(gòu)固有頻率與振型的特點1）結(jié)構(gòu)的固有頻率都是正實數(shù)如果存在剛體位移，則固有頻率為“0”2）結(jié)構(gòu)的固有頻率的分離性，即

w1<w2<...<wn3）振型的正交性26二、特征值方程求解方法

特征方程的解法很多，可分為1）迭代法2）雅可比法3）能量法瑞利法、里茲法3）子空間迭代法無論哪種方法，也不管是6-3-1或6-3-2，對一個大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來說，如果它的運動自由度與靜力自由度一致的話，其求解是很費時的。工程實際應(yīng)用中，所要求的運動自由度遠小于靜力自由度。27自由度的縮減如圖示剛架，在水平地震力作用下，我們通常只取各樓層的水平位移為運動自由度，即對該結(jié)構(gòu)來說靜力自由度為72，而運動自由度僅6(不考慮軸向變形)。在運動方程6-1-7里，如果只取與運動自由度有關(guān)的位移分量，則可使求解大為簡化。此時,可將n階自由度體系的運動方程改為(6-3-3)式中下標(biāo)E代表只與振動自由度有關(guān)的位移分量。28從包含運動全部自由度的運動方程6-1-7中分離出運動自由度的運動方程6-3-3，常稱為凝聚或縮減。2930從包含運動全部自由度的運動方程6-1-7中分離出運動自由度的運動方程6-3-3，常稱為凝聚或縮減。凝聚可采用多種辦法：1.自由度編號分塊法（王志楷《高等結(jié)構(gòu)力學(xué)》)在形成總剛時，人為地將與運動自由度相應(yīng)的位移分量排在一起，而將其余自由度另放一起，設(shè)與質(zhì)點運動自由度有關(guān)的位移分量為{D2}，則總剛可寫成如下分塊形式：31(1)(2)因P1＝0，由（1）得(3)將（3）代入（2）得簡寫為式中在房屋建筑抗震問題中，[K]E又稱為抗側(cè)剛度矩陣（只含樓層的水平位移），此法缺點：帶寬大，存多矩陣、多個矩陣乘、[K11]-1甚大，只限于研究性、小問題。322.根據(jù)質(zhì)量矩陣[M]中主元為零的信息，在解方程中直接加以處理（特殊的解頻率方程的方法，通常只用于自由振動）3．模態(tài)綜合法（子結(jié)構(gòu)法用于動力計算）4．直接形成與[K]E相應(yīng)的柔度矩陣[F]這是較好的一種方法，在結(jié)構(gòu)抗震的彈性分析中較多采用。其思路是，根據(jù)柔度中柔度系數(shù)的物理意義（單位力作用下的位移）可分別在各質(zhì)點加水平單位力，逐一求出其與運動自由度對應(yīng)的位移，從而獲得[F]。33式中fij表示當(dāng)質(zhì)點j作用一單位水平力時，質(zhì)點i所在結(jié)點的水平位移。由于求[F]時，總剛已經(jīng)分解，將每個單位力Pi=1作為一組獨立工況，可很快解出其位移列陣{D}。從中挑出與質(zhì)點水平位移有關(guān)的分量即可組成[F]。計算工作量小，不需附加數(shù)組，程序簡單?？捎蒣F]直接代入頻率方程求解，也可對[F]求逆得出抗側(cè)總剛[K]E成柔度矩陣的程序段：DO30I=1,MA動力自由度數(shù)DO10J=1,NN 未知量總數(shù)10P（J）＝0 右端項P（JW（I））＝1只分解加相應(yīng)單位力CALLJFC（NN，LD，2）解方程DO20J＝1，MA20A（J，I）＝P（JW（I））柔度矩陣30CONTINUE桿系層模型35層剪切模型抗側(cè)剛度矩陣[K]E的形成方法層間剛度由各個豎向構(gòu)件的抗側(cè)剛度合成366.4地震反應(yīng)分析的計算機方法-振型分解反應(yīng)譜法

求解結(jié)構(gòu)自振特性是結(jié)構(gòu)動力分析中很重要的一步。但在工程應(yīng)用中常需動力反應(yīng)分析，如地震反應(yīng)分析。地震反應(yīng)分析通常采用兩種方法：反應(yīng)譜法和時程分析法（直接積分法）。我國抗震規(guī)范提供了三種計算動力反應(yīng)的方法：底部剪力法、振型分解反應(yīng)譜法和時程分析法。底部剪力法是一種簡化的手算方法。37－、振型分解法概念振型分解法是利用振型的正交性，將原來的n階聯(lián)立方程分解成相互獨立的振動方程，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動，分解成按各個振型的獨立振動的疊加，也可理解成把結(jié)構(gòu)結(jié)點位移列矢量{D(t)}表達成：式中為上節(jié)求得的振型矩陣，稱為振型坐標(biāo)，或廣義坐標(biāo)。(1)(6-4-1)(2)(6-4-2)383940將(2)代入(1)并利用振型的正交條件：（設(shè)：阻尼亦滿足正交條件）便可將式(1)化為n個獨立非耦聯(lián)的微分方程：(3)(6-4-3)兩個不同的主振型的對應(yīng)位置上的位移相乘，再乘以該質(zhì)點的質(zhì)量，然后將各質(zhì)點所求出的上述乘積作代數(shù)和，其值等于零。41第j振型的廣義剛度系數(shù)第j振型的廣義阻尼系數(shù)則可化成一般形式的單質(zhì)點振動力方程：(4)(6-4-4)若引入記號：第j振型的廣義質(zhì)量42省去上式中的下標(biāo)j，并將右端項換成P(t)，便得常見單質(zhì)點振動微分方程形式。它的解可用杜哈美積分表示：(6-4-5)式中為第j振型的振型參與系數(shù)

為第j振型阻尼比43二、地震反應(yīng)譜概念（思路）反應(yīng)譜理論創(chuàng)立于1940年代，它考慮了結(jié)構(gòu)動力特性與地震動特性之間的動力關(guān)系。通過反應(yīng)譜來計算由結(jié)構(gòu)動力特性（周期、振型和阻尼）所產(chǎn)生的動力效應(yīng)。反應(yīng)譜方法基于以下假定(水平振動)（1）假定地震時建筑物的地基只作平行于地面的剛體運動；（2）假定地面運動過程可以用強震儀記錄來表示；（3）假定建筑物是彈性體系。44利用儀器所記錄的地面加速度時程曲線，按振型分解的方法將建筑物在地震作用下的強迫振動化為一系列單自由度體系問題。由杜哈美積分(6-4-5式)，通過數(shù)值積分方法便可計算出任何一個頻率為ω，阻尼比為ξ的單質(zhì)點體系在給定加速度影響下的相對位移反應(yīng)曲線。45在相同地震加速度記錄作用下，不同ω的單質(zhì)點反應(yīng)各不相同，即各自反應(yīng)曲線的峰值和頻率特性也各不相同。設(shè)計中最關(guān)心的往往是最大反應(yīng)。阻尼比ξ一定時，對于不同的自振周期T（頻率ω）都可以找出相應(yīng)最大位移反應(yīng)ymax。于是，對于每一個地震加速度記錄，都可以算出一組以ξ為參數(shù)的ymax與周期T之間的關(guān)系曲線，這就是我們常說的位移反應(yīng)譜。此外，還有加速度反應(yīng)譜等。4647不同地震波輸入計算出來的加速度反應(yīng)譜48工程設(shè)計中，一般都采用地震作用（荷載）的概念也就是通過荷載來計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。為了計算地震荷載，還要涉及到速度和加速度反應(yīng)譜，以及這些反應(yīng)譜之間的關(guān)系。最后可以計算出地震作用時在單質(zhì)點體系上的最大慣性力，即地震作用力。式中：地震系數(shù)，即以重力加速度g為單位的地面運動最大加速度。動力系數(shù)，即以地面最大加速度為單位的加速度反應(yīng)譜。地震影響系數(shù)49我國抗震規(guī)范提供了地震影響系數(shù)α曲線。規(guī)范規(guī)定，α與自振周期、場地類別等有關(guān)。對于多自由度體系，即可利用反應(yīng)譜，查得對應(yīng)于各振型的絕對最大值的地震反應(yīng)，得到簡化的地震作用計算公式。50水平地震影響系數(shù)αmax地震影響6度7度8度9度多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震—0.50（0.72）0.90（1.20）1.40設(shè)計地震分組場地類別ⅠⅡⅢⅣ第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.90特征周期Tg應(yīng)根據(jù)場地類別和設(shè)計地震分組按下表采用：51關(guān)于阻尼調(diào)整系數(shù)和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定：(1)曲線下降段的衰減指數(shù)應(yīng)按下式確定：

式中：γ──曲線下降段的衰減指數(shù);ζ──阻尼比。(2)直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定：

式中：η1──直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)，小于0時取0。52(3)阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定：式中：η2──阻尼調(diào)整系數(shù)，當(dāng)小于0.55時，應(yīng)取0.55。除有專門規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05。這時。對于周期大于6.0秒的結(jié)構(gòu)，地震影響系數(shù)應(yīng)專門研究。設(shè)計分組參見附錄《我國主要城鎮(zhèn)抗震設(shè)防烈度、設(shè)計基本地震加速度和設(shè)計地震分組》。53三、地震作用計算對于多自由度體系，可利用反應(yīng)譜，查得對應(yīng)于各振型的絕對最大值的地震反應(yīng)，從而得到簡化的地震作用計算公式（規(guī)范公式）。式中：αj---地震影響系數(shù)；

γj---振型參與系數(shù)；1.不進行扭轉(zhuǎn)耦連計算的結(jié)構(gòu)規(guī)范給出第j振型i質(zhì)點上的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值54xji－振型向量

中的元素i（j振型i質(zhì)點的水平相對位移）Gi

－質(zhì)點i的重量（重力荷載代表值）

對于第j振型對結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)，可將當(dāng)作一組靜載施加于結(jié)構(gòu)，計算其內(nèi)力、位移（地震作用效應(yīng)）。對于各振型的總作用效應(yīng)：上式稱為平方和開方法（SRSS法），適用于平面問題的計算，當(dāng)用振型分解反應(yīng)譜法對結(jié)構(gòu)物作空間分析，也即考慮結(jié)構(gòu)物的空間扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時，采用完整二次項組合法（CQC法）552.按扭轉(zhuǎn)耦連振型分解法計算1）單向水平地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)：式中：SEK：地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)；

Sj、Sk：分別為j、k振型地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的效應(yīng)，可取前9～15個振型；ζj、ζk分別為j、k振型的阻尼比；

ρjk第j振型與k振型的耦聯(lián)系數(shù)；λT：k振型與j振型自振周期比。56按扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振型分解法計算，可取兩個正交水平位移和一個轉(zhuǎn)角，共三個自由度計算。j振型i層水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值式中：Fxji、Fyji、Ftji—分別為j振型i層的x方向、y方向和轉(zhuǎn)角方向的地震作用標(biāo)準(zhǔn)值；Xji、Yji—分別為j振型i層質(zhì)心在x、y方向的水平相對位移；2）雙向水平地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)：57Φji—j振型i層的相對扭轉(zhuǎn)角；ri—i層轉(zhuǎn)動半徑，可取i層繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量除以該層質(zhì)量的商的正二次方根；γtj—計入扭轉(zhuǎn)的j振型的參與系數(shù)。586.5時程分析法

（直接積分法、步步積分、逐步積分）反應(yīng)譜理論盡管考慮了結(jié)構(gòu)的動力特性，然而它仍然是把地震慣性力當(dāng)作靜力來對待，所求的是一個綜合的最大值，所以還只是一種準(zhǔn)動力方法。時程分析法是采用地震加速度時程曲線作為輸入?yún)?shù)，對結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)的時間歷程分析，是一種完整的動力分析方法?？梢杂糜?（1）地震反應(yīng)分析（2）擬動力試驗59優(yōu)點：（1）全面考慮了強震中震動的振幅、頻譜和持時三要素。（2）全面考慮了長周期分量對高層建筑的不利影響。（3）可了解到地震過程中結(jié)構(gòu)物的屈服機制和較準(zhǔn)確地找出結(jié)構(gòu)的薄弱部位。6061塑性鉸發(fā)展過程62(子結(jié)構(gòu))擬動力試驗計算子結(jié)構(gòu)試驗子結(jié)構(gòu)63基本思想：將本來應(yīng)在任何時刻都應(yīng)滿足的運動方程的位移矢量{D}簡化為只要在時間離散點上滿足方程。而在一個時間間隔內(nèi)，對位移、速度、加速度的關(guān)系則采用某種假定。依所取假定不同而有各種不同的積分方法。如假定在一個時間間隔內(nèi)加速度按線性變化的線加速度法，以線加速度法為基礎(chǔ)的wilson-θ法，以及Newmark-β法等。64一、線加速度法的基本原理

因為wilson-θ法是以線加速度法為基礎(chǔ)的，故首先介紹其基本原理。在時刻ti到ti+1（ti+1=ti+Δt）之間，假定ti時刻的質(zhì)點的地震響應(yīng)()是已知的，ti+1時刻的質(zhì)點的地震響應(yīng)（）是待求量。線加速度法假定在每個時間間隔Δt內(nèi)的加速度呈線性變化。因此，位移對時間的三階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為常數(shù)，即：(a)在時段Δt內(nèi)，剛度、阻尼都不變化65對τ求導(dǎo)得：當(dāng)τ=Δt時，即時程由ti變化到ti+1時，由式（c）得：(d)或?qū)懗桑?e)將τ時刻的位移反應(yīng)yτ（即前面的D）在時刻ti開始時展開成泰勒級數(shù)：(b)將式（a）代入式（b）得：(c)66由式（e）得：(g)將式（g）代入式（f）可得：(h)由式（d）得：或?qū)懗桑?f)加速度增量和位移增量的關(guān)系速度增量和位移增量的關(guān)系67在t+Δt時，式（i）同樣成立：(j)將速度增量的表達式（h）和加速度增量表達式（g）代入上式并整理得：(k)(l)從式（g）和式（h）可看出，速度增量、加速度增量都可以通過位移增量Δy算出，為了求Δy，我們先討論單自由度的情況，然后再擴展到多自由度。單自由度體系的運動方程為：(i)68式（l）叫增量擬靜力平衡方程，據(jù)此可算出Δy（因為步長Δt及、等均為已知），再由式（