2020屆全國各地高考試題分類匯編12 圓錐曲線方程

B.經(jīng)過點PB.經(jīng)過點PD.垂直于直線OP【答案】B2020屆全國各地高考試題分類匯編12圓錐曲線1.（2020?北京卷）設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ丄1于Q,則線段FQ的垂直平分線（）.A.經(jīng)過點OC.平行于直線OP因為線段FQ的垂直平分線上的點到F,Q的距離相等，又點P在拋物線上，根據(jù)定義可知,|PQ|=|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.故選：B.2.（2020?北京卷）已知雙曲線C\—^―=1，則C的右焦點的坐標(biāo)為；C的焦63點到其漸近線的距離是．【答案】（1）.（3,0）（2）.【解析】在雙曲線C中，a=\石,b=^-3，則C=\"2+b2=3，則雙曲線C的右焦點坐標(biāo)為（3,0），J2雙曲線C的漸近線方程為y=-~2x，即x±€2y=0，3所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為時Y?故答案為：（3'0）;==141J——+——=1，解得：<a=2by+41J——+——=1，解得：<a=2by+1k(x+4)+1令x=-4可得：y=—2x厶—1=—2x」Px+2x+211—(2k+1)(x+4)?很明顯ypyQ<o,同理可得：yPByPQ—P-yQ，注意到：且：'x+4x—1+Tix+2x+2丿

12而：(x+4)(x+2)+(x+4)(x+2)=2xx+1221y+y=-(2k+1)PQ64k2-8小f—32k2)+3x+84k2+114k2+1丿=2()(x+4)(x+2)+(x+4)(x+2)=—(2k+1)x1221(x+2)(x+2)

123(x+x)+81212(64k2—8)+3x(—32k2)+8(4k2+1)=2x=0，4k2+13.(2020?北京卷)已知橢圓C:+=1過點A(—2,—l)，且a=2b.a2b2求橢圓C的方程：過點B(一4,0)的直線l交橢圓C于點M,N，直線MA,NA分別交直線x=-4于點|PB|p，Q?求麗的值.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為：乂+啟=1(a>b>0)，由題意可得:a2b2a2=8x2y2i-，故橢圓方程為：w+—■=1?b2=282(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN的方程為：y=k(x+4),與橢圓方程寧+琴=1聯(lián)立可得：x2+4k2(x+4)=8，即:(4k2+1)x2+32k2x+(64k2一8)=0,則：x+x=-32k?,xx=64k?一8?直線MA的方程為：y+1=丄召(x+2)，124k2+1124k2+1x1+2x+2—(2k+1)(x+4)1=—x+21PByPQ—PyQ故yP+yQ=0,yPByPQ—PyQ4.(2020?全國1卷)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9則p=()A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F,由拋物線的定義知IAF1=七+￡=12，即12=9+彳，解A22得p6.故選：C.5.(2020?全國1卷)已知F為雙曲線C:蘭-蘭=1(a〉0,b〉0)的右焦點，A為C的右頂點,a2b2B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.答案】2x=cBF=3，AF【解析】聯(lián)立s乂-22=1a2b2【解析】聯(lián)立s乂-22=1a2b2依題可得，解得Sb2，所以\BF\=竺.y=+—a、aAF\=cAF\=c—a，即ac；-a2=3，變形得c+a=3a，c=2a

c-aa(c-a)因此，雙曲線C的離心率為2.故答案為：2.6.(2020?全國1卷)已知A、B分別為橢圓E：+y2=1(。>1)的左、右頂點，G為Ea2的上頂點，AG?GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．求E的方程；證明：直線CD過定點.【解析】(1)依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程E:—+y2=1(a>1)可得：A(-a,0),B(a,0),G(0,1)a2AG—(a,1),GB=(a,—1)AG-GB=a2—1=8,?:a2=9?:橢圓方程為:+y2=19_一_^一(2)證明：設(shè)P(6,y0),則直線AP的方程為：y=6卞(—3)(X+3)，即：y—眷(x+3)聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得：聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得：［——+y2—19y，整理得y—蠱(x+3)〔9—3y2+270y2+90—3y2+27將x=—y2+90代入直線y=+(x+3)可得：y=書+90所以點c—3y2+270y2+90—3y2+27將x=—y2+90代入直線y=+(x+3)可得：y=書+90所以點c的坐標(biāo)為—3y2+270—

y2+9

0y02同理可得：點D的坐標(biāo)為(3y2———eIy2+1

0y02???直線cd的方程為：y—f-2y0-Iy2+1丿0—2yIy2+1丿

0—6y

0-y2+90——3y2+273y2—3(3y2—3)

X—0--Iy2+1丿—0———00丿y2+9y2+1002y整理可得：y+篤=y22y整理可得：y+篤=y2+16^9—y4003y2-3)x—0y2+1丿0=/8y、=6^^0(3y2—3)x—0Iy2+1丿0整理得：y=丸廿)04y2y4yx+—=0_Ay2—333—y2

00故直線CD過定點(2,0k2丿7.(2020?全國2卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x=a與雙曲線C:竺—22=1(a>0,b>0)的兩a2b2條漸近線分別交于D，E兩點，若ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為()A.4B.8A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】’?‘C:蘭—22=1(a>0,b>0)???雙曲線的漸近線方程是y=±-xa2b2a'直線x=a與雙曲線C:蘭—蘭=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點a2b2x=aIx=a不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限?聯(lián)立Sb，解得］人y=x〔y=不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限?聯(lián)立Sax=aIx=a故D(a,b)，聯(lián)立<b，解得f,故E(a,—b),/.IED故D(a,b)，聯(lián)立<y=-—x〔y=—ba1x2y2ODE面積為：1oDE=2aX2b=ab=8八雙曲線C:養(yǎng)-養(yǎng)=1(a>">0)???其焦距為2c='a2+b2>2*而=2,16=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2邁取等號???C的焦距的最小值：8，故選：B.x2y28(2020?全國2卷)已知橢圓G=1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合,1a2b22C］的中心與c2的頂點重合?過F且與X軸垂直的直線交C］于A,B兩點，交c2于C,D兩點,4且|CD|=3|AB|.(1)求C1的離心率；

則直線AB的方程為x=c，聯(lián)立<x2y2+―1，a2b2a2=b2+c2設(shè)M是q與C2的公共點，若|MF|=5則直線AB的方程為x=c，聯(lián)立<x2y2+―1，a2b2a2=b2+c2x-cTOC\o"1-5"\h\zb2，則|AB-竺y—±aa\o"CurrentDocument"x—cx—c拋物線。的方程為y2—4cx，聯(lián)立S2，解得1±c，?:CD—4c，2[y2—4cx[y—±2c\o"CurrentDocument"48b2CD\—~|AB，即4c———，2b2—3ac，即2c2+3ac-2a2—0，即2e2+3e-2—0，33a?0vev1，解得e—2，因此，橢圓Cl的離心率為2；?(?2)由(1)知a—2c，b—<3c，橢圓C的方程為+—1，°14c23c2y2—4cx2聯(lián)立Sx2y2.消去y并整理得3x2+16cx-12c2—0，解得x=二c或x—-6c(舍TOC\o"1-5"\h\z——+^=134c23c2\o"CurrentDocument"25c去)，由拋物線的定義可得MF—3c+c—y—5，解得c—3.因此，曲線C］的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+芻-1，曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2—12x.362729.(2020?全國3卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x—2與拋物線C：y2—2px(p>0)交于D,E兩點，若OD丄OE，則C的焦點坐標(biāo)為()A.B.C.(1,0)D.(2,0)(4丿V2丿答案】B【解析】因為直線x—2與拋物線y2—2px(p>0)交于E,D兩點，且OD丄OE,11根據(jù)拋物線的對稱性可以確定ZDOx二ZEOx二，所以D(2,2),1代入拋物線方程4二4p，求得p=1，所以其焦點坐標(biāo)為(2,0)，故選：B.x2y210.(2020?全國3卷)設(shè)雙曲線C：—二=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為厲，F(xiàn)2,a2b212離心率為丫5.P是C上一點，且F]P丄F2P.若APFF2的面積為4,則a=()A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】-，?.c=45a，根據(jù)雙曲線的定義可得|『件|—『?1卜2，S△PF1F2=-IPFS△PF1F2=-IPFI-PF21=4，即IPFI-|PF|=8,FP丄FP，PF|2+PF1212=（2c）2,.??（!PF—PF1+2PF1?PF=4c2，即a2—5a2+4=0，解得a=1，故選：A.m211.(2020?全國3卷)已知橢圓C:-+—=1(0<m<5)的離心率為上15，A，B分別為m225m24的左、右頂點．求C的方程；若點P在C上，點Q在直線x=6上，且IBPI=IBQI，BP丄BQ，求APQ的面積.【解析】（1）'*'C:+-=1（0<m<5）??a=5，b=m,25m2c根據(jù)離心率e=—4c根據(jù)離心率e=—4解得m=解得m=4或m=—4(舍)，?C的方程為:x2y2+=125Q丫<4丿x216y2即25+云(2)不妨設(shè)P,Q在x軸上方點P在C上，點Q在直線x=6上，且IBPI=IBQI，BP丄BQ,過點P作x軸垂線，交點為M，設(shè)x=6與x軸交點為N根據(jù)題意畫出圖形，如圖根據(jù)題意畫出圖形，如圖?IBP1=1BQI,BP丄BQ,ZPMB=ZQNB=90。，又一ZPBM+ZQBN二90。,ZBQN+ZQBN=90。,aZPBM=ZBQN，根據(jù)三角形全等條件“AAS”，PM\=|BN|=6-5=1可得.HPMB=△BNQ,■:乂+16PM\=|BN|=6-5=1?2525設(shè)p點為（xP，yP），可得p點縱坐標(biāo)為yP=i，將其代入25+^^1”=1，aP點為（aP點為（3，1）或（—3，1）,可得：25+25=1，解得：Xp=3或xP=—3,①當(dāng)P點為(3,1)時，故|MB|=5-3=2，営HPMB=△BNQ，aIMBI=INQI=2,可得：Q點為可得：Q點為（6,2），畫出圖象，如圖A（—5,0）,Q（6,2），可求得直線AQ的直線方程為：2x-11y+10=0，22+112根據(jù)點到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為：d=I2X3—11X1+22+1121255根據(jù)兩點間距離公式可得：|AQ|=｛（6+5）2+（2—0）2=5、厲,APQ面積為：2x用V=2；②當(dāng)P點為(—3,1)時，故MB=5+3=8，■△PMB仝△BNQ,.?.IMB1=1NQ\=8，可得：Q點為(6,8)，畫出圖象，如圖J/J/x=6-A(-5,0),Q(6,8)，可求得直線AQ的直線方程為：8x-lly+40=0,根據(jù)點到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"8x(-3)-11x1+4055d===82+112<185<185根據(jù)兩點間距離公式可得：|AQ|=J(6+5無+(8—0玉=<185，\o"CurrentDocument"1555.APQ面積為：x*185x185=，綜上所述，APQ面積為：—-12.(2020?江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系2尹中，若雙曲線蘭-—=l(a>0)的一條漸近線方a25程為y=x程為y=x，則該雙曲線的離心率是3【答案】—【解析】雙曲線乂-蘭=1，故b仝?由于雙曲線的一條漸近線方程為y=-x，即a—52b?=2，所以c=広莎」仃=3，所以雙曲線的離心率為-=3?故答案a2a2為：x2y213.(2020?江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:才+丁=1的左、右焦點分別為件，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2丄F]F2，直線AF]與橢圓E相交于另一點B．

求△求△af1f2的周長；在x軸上任取一點F,直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點0,求OP-QP的最小值;設(shè)點M在橢圓E上，記AOAB與AMAB的面積分別為*S2，若S2=3S］，求點M的坐標(biāo).【解析】(1)???橢圓E的方程為扌+I由橢圓定義可得：AF1+AF2=4-???△AFF的周長為4+2=612(2)設(shè)P匕0),根據(jù)題意可得x0豐1.???點A在橢圓E上，且在第一象限，af2丄F1f2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(3)()???A1，2，?準(zhǔn)線方程為x=4,.??Ql4，yQ丿，\o"CurrentDocument"v2丿Q?OP-QP=(x,0).C—4,-y)=(x—4)x=(x—2)2—4>-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號.00Q0000???OP-QP的最小值為—4.(3)設(shè)M(x,y)，點M到直線AB的距離為d.?A(1,31，F(xiàn)(—1,0)>>11v2丿133???直線af1的方程為y=-(x+1)八?點O到直線AB的距離為-，s=3S1145211319.??=3S=3x-x|AB|x5=_|AB|-d,:.d=5,A|3x—4y+3|=9①芋+于=1②,.?.聯(lián)立①②解得＜x芋+于=1②,.?.聯(lián)立①②解得＜x=21y=01x=1y112刁1212?????M（2,0）或［-y,14.（2020?新全國1山東）已知曲線C:mx2+ny2二1.（）若m>n>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上若m=n>0,則C是圓，其半徑為[m若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±j-xn若m=0，n>0,則C是兩條直線【答案】ACDx2y2+-【解析】對于A,若m>n>0，則mx2+ny2=1可化為11mn因為m>n>0，所以丄<-，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確;mn對于B,若m=對于B,若m=n>0，貝ymx2+ny2=1可化為x2+y2=n此時曲線C表示圓心在原點,此時曲線C表示圓心在原點,半徑為7■的圓,n故B不正確;x2y2+=1對于C,若mn<0，則mx2+ny2=1可化為11，此時曲線C表示雙曲線,mnm由mx2+ny2=0可得y=+■-x，故C正確;n對于D,若m=對于D,若m=0,n>0,貝ymx2+ny2=1可化為y2=,ny=±岀，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.n15.（2020?新全國1山東）?斜率為J3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則IAB1=.16【答案】T【解析】???拋物線的方程為y2二4x,???拋物線焦點F坐標(biāo)為F(1,0),又???直線AB過焦點F且斜率為朽，??.直線AB的方程為：yk3(x-1)1代入拋物線方程消去尹并化簡得3x2-10x+3=0，解法一：解得xi二3,x2二3所以丨AB1=<1+k2|x—x1=\1+3-13——1=解法二：A=100—36=64>0123310設(shè)a(x,y),B(x,y)，則x+x=百，過A,B分別作準(zhǔn)線x=—1的垂線，設(shè)垂足分別為1122123C,D如圖所示.1GIABl=lAFI+IBFl=lACI+IBDl=x+1+x+1=x+x+2=蘭故答案為：x2y2v216.(2020?新全國1山東)已知橢圓C：+二=1(a>b>0)的離心率為一，且過點Aa2b22(2，1)．求C的方程：點M，N在C上，且AM丄AN,AD[MN，D為垂足.證明：存在定點0,使得|D0|為定值．'c=迺a2411【解析】⑴由題意可得：]一+廠=1，解得：a2=6,b2=c2=3，a2b2a2=b2+c2

x2y2故橢圓方程為：石+亍1.(2)設(shè)點M(x,y),N(x,y).因為am丄AN,?：AM?AN=0，即1122(x—2)(兀2—2)+(y—Dq—1)=0，①當(dāng)直線mn的斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+m，如圖1.代入橢圓方程消去y并整理得：G+2k2)x2+4kmx+2m2—6二04km2m2—6②,x+x=—,xx=②,121+2k2121+2k2根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m，代入①整理可得：(k2+1)xx+(km—k—2)(x+x)+(m—1匕+4=01212將②代入，C2將②代入，C2+1)-+(km—k—2)—1+2k2+(m—1匕+4=0,整理化簡得(整理化簡得(2k+3m+l)(2k+m-1)=0,4(2,1)不在直線MN上，2k+m—1主0,??.2k+??.2k+3m+1=0,k主1，于是MN的方程為y=k(2)x一一I3丿13’所以直線過定點直線過定點E―,—-所以直線過定點直線過定點E―,—-.V33丿當(dāng)直線MN的斜率不存在時，可得N(x],-y1)，如圖2.代入*一2)(x2一2)+(人-1)(y2一A0得(x1-2)2+1-范二0，結(jié)合字+斗=1'解得x=2(舍)，x:\63113二3，此時直線MN過點E(3,—1',3V33丿由于AE為定值，且AADE為直角三角形，AE為斜邊,所以AE由于AE為定值，且AADE為直角三角形，AE為斜邊,所以AE中點Q滿足|QD|為定值(AE長度的4邁

~T~).由于A(2,1),E1、3丿故由中點坐標(biāo)公式可得Q(41、<亍3丿使得IDQI為定值.17.(2020?天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為—-—=1(a>0,b>0)，過拋物線y2二4x的焦點a2b2和點(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()x2y2y2x2A.-=1B.x2-=1C.-y2=1D.x2一y2=14444【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點為(h0)，所以直線l的方程為x+y=1，即直線的斜率b為-b，bbb又雙曲線的漸近線的方程為y=±—x，所以一b=-一，一bx=—1，因為a>0,b>0aaa解得a=1,b=1.18.（2020?天津卷）已知橢圓土+[=1（a>b>0）的一個頂點為A（0,—3）,右焦點為F,a2b2且IOA1=1OFI，其中O為原點.（I）求橢圓方程；（II）已知點C滿足3OC=OF,點B在橢圓上（B異于橢圓的頂點），直線AB與以C為的圓心的圓相切于點P，且P為線段AB的中點.求直線AB的方程.【解析】（I）：橢圓三+戸l（a>b>0）的一個頂點為A（0,—3）,a2b2???b=3，由OA=OF，得c=b=3，又由a2=b2+c2，得a2=3+32=18，x2y2所以，橢圓的方程為18+~9=1；189（II）：直線AB與以C為圓心的圓相切于點P，所以CP丄AB,根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y3kx，即y=kx-3，+=y=kx—3乂+21=1189y=kx—3乂+21=1189，消去y，可得（2k2+】）兀2—12kx=0，解得x=0或x=12k2k2+112k2k2+1代入y=kx—3，12k2k2+1—36k2—32k2+1所以，點B的坐標(biāo)為（船，需]，因為P為線段AB的中點，點A的坐標(biāo)為（°'—3）所以點p的坐標(biāo)為I茁+1，2k—711，由3OC=°F'得點C的坐標(biāo)為（1，°），所以，直線CP的斜率為k=CP2kT+1—所以，直線CP的斜率為k=CP2kT+1—06k12k2+1—32k2—6k+1又因為CP丄AB，所以k-32k2—6k+111整理得2k2-3k+1=0，解得k=-或k=1?所以，直線AB的方程為y二-X—3或19.(2020?浙江卷)已知點O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點P滿足|PA|-|PB|=2，且P為函數(shù)y=3\；4—X-圖像上的點，則OP|=()c.<7【答案】D【解析】因為1PA|—1PB|=2<4，所以點P在以A，B為焦點，實軸長為2，焦距為4的雙曲線的右支上，由C=2,a=1可得，b2=C2—a2=4-1=3，即雙曲線的右支方程為X2—*=1(x>0)，而點P還在函數(shù)y=3J4-x2的圖象上，所以,y=3p4一xy=3p4一x2X2—蘭=1(X>0)，解得<313X=，即OP=3羽y=213+27=帀?故選：D.4420.(2020?浙江卷)如圖，已知橢圓C:+y2=1，拋物線C:y2=2pX(p>0)，點A122是橢圓C1與拋物線C2的交點，過點A的直線l交橢圓—于點B，交拋物線C2于M(B，M不同于A)．若p=，求拋物線C2的焦點坐標(biāo)；162若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值.111【解析】(I)當(dāng)P=時，C2的方程為y2=X，故拋物線C2的焦點坐標(biāo)為(亍7，°)；1628232(II)設(shè)A(xr人),Bg,A?)，M匕",I：x=Xy"，1n(2+X2)y2+2Xmy+m2-2=0，x=Xy+m-2Xm-Xm2my+y=,y=,x=Xy+m=—，i'22+X2702+X20‘02+X2X2m24pmX2m由M在拋物線上，所以(2+X2)=22X2n22X2=4p，y2=2pXny2=2p(九y+m)ny2-2p九y-2pm=0,x=Xy+m/.y+y=2pX，x+x=Xy+m+Xy+m=2pX2+2m，101010x=2pX2+2m-?2；x2——+y2=1.由12nx2+4px=2,柬卩x2+4px-2=0y2=2pxnx=-4p+、；16p2+8=-2p4pT721^2n-2p+*4p2+2=2pX2+2m?匕=2pX2+匕+8p>16p,2+X2X2所以v