我-哈工大考研信息光學

Information姜哈爾濱工業(yè)大學第2信息分析一 級數(shù) 積1、周期函數(shù)f(t)=f(t+T)的頻譜分析 級f(t)=A0+(Akcoskωt+k

A'

cos(kt k式中：A0AkBkk

A 等稱 系在下列 ,cos 任意兩個不同函數(shù)的乘積在

,上的積分0,1sinnd0

1cosnd

cosmcosnd0mn1

sinmsinmd

cosmcosmd

歸一f(t)=A0+(Akcoskωt+ k A T T

f(t)dt

B2 T/2 f(t)sink T/2A T

f(t)cos TT

f(t)A0(AkcosktBksin利 公式cosθ=

ejθ+e-jθ

ejθ-e-+復數(shù)形式 變

f(t)=k=-

cejkωk T/ f(t)e-jkωtd -T/矩形

三角

0 /鋸齒

123456離散

諧頻是2）頻如(v

)等等)2、非周期函數(shù)的頻譜分析 積如單個脈沖（非周期）f

+F(ν)e-

j2πνt

f(t) 積F(

+f(t)e-j2πνtdt-

f(t) 變非周期函數(shù)的頻譜是 阻尼振

0

二、Fourier1、Fourier線性變換，特別是Fourier與Laplace變換，被廣泛應用于解決各種科學與技術問題.Fourier變換被用于線性系統(tǒng)分物理和邊值問題等，并且成功地應用于天文數(shù)據(jù)的恢復。Fourier變換，作為一種普遍和通用的數(shù)學或物理工具，在許多科技領域里可將問題簡化，一些科學家將Fourier理論領域中，一個函數(shù)的變換可能導出另一個物理函數(shù)。Fourier變換是圖像的另一種表示形式，改變系數(shù)將改變圖像的性質，由譜轉換成圖像將需經(jīng)過逆變換。本質上，F(xiàn)ourier變換把一個波形或函數(shù)分解或分把不同頻率分量的各自振幅識別出來。函數(shù)g(x,y)G(G(fx,fy)g(x,j2(fxxfyyFg(x,y)G(fx,fy其逆變換g(x,y)

G(f,f)ej2(fxxfyy)df F1f,f)G(x, 在天文學中，頻率域也許是最常用的概念，因為分光計（），在中，我們熟悉了時間域，這類似于示波器上的信號，縱向偏轉是信號振幅，水平偏轉是時間變量。任何信號可以在任意域中完全描述，我們可以利用變換將兩個域聯(lián)系在一起。嚴格來講，變換只適用于連續(xù)函數(shù)和非周期函數(shù)，但是脈沖函數(shù)的引入使得它也適用于離散信號。在某一個域中進行的操作都在另一個域中有相應的操作。例如，時間域中的卷積操作在頻域中變?yōu)槌朔e操作，反之亦然。這一法則使得人們可以在域之間變換，從而可以在最簡單或最方便的域中進行各種操作。根據(jù)我們想對信號采取的操作，總有一個域比另一個域更為有用，所以與其在時間域中陷于數(shù)學當中而不能自拔，我們可以將信號轉換到頻率域中，光學概念與 2、空間頻率光波復振幅U(x,y,z)是空間坐標(x,y,z)U(x,y,z)aexpjk(xcosycoszcosU(x,y,z)aexpj2(fxxfyyfzz) cos

cos

cos 分析在空間頻率域中研究分析光波場的空間頻f(x,y)f(x,y)F(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfyF(fx,fy)f(x,y)exp[j2(fxxfy函數(shù)f(x,y)可用無數(shù)個形式為exp[j2fxxfy函數(shù)F(fx,fy)代表空間頻率為(fxfy)的成份所占比例(權重），把F(fx,fy)稱為f(x,y)的空間頻譜復合光頻所空分幅函，可用復波的 變。假設有一維余弦光柵的線密度為f，其振幅透過率t(x)1cos2當用單位振幅、波長為0的單色光垂直衍射光場U(x)1t(x)1cos2利用空間頻率與平面波的關系，也可將光柵后的光場用各階衍射光的線性疊加來表U'(x)a0expj2f0xa1expj2f1xa1expj2f0

U'(x)a0a1expj2fxa1expj2

a

例：求傍軸近似球面波的空xy平面傍軸近似球面波U(x,y)aexp[jkz]exp[jk(x2y2)]

(x2+y2)]exp[-j2π(fx+fA(fx,fy)

exp[-jkz] z-z A(fxfy)jaexp[jkz]expjz(f2f2 U(x,y)各種空間頻率成份的組成傍軸近似 到任一平面的球面波可看成是向空 相位

kzz(f2f2 復振幅分單色波光場中任一xy平面上的復振幅U(x,y)的空間頻譜A(fx,fy)U(x,y)exp[j2(fxxfy復振幅U(x,y)A(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy 每一平面波成份與一組空間頻率值（fx,fy）對應：方向為cosα=λfx,cosβ=λfy，振幅為A(fx,fy

,cos)U(x,y)exp[j2(

3、廣義Fourier變換?[F?[ )(設：)(

b0 |b bF[δ(x)]=F[lim1rect(xbb b=limF[1rect(xbb limsinc(bfx)δ函數(shù)的頻譜在整個頻域內F f(x,y)limexp[(x2y2)]N NF[1]F{limexp[(x2y2N NlimF{exp[(x2y2N NlimN2exp[N2(f2f2N (fx,fy三 變換的性 f(x) f f(x) f xdxF(fx線性定c1f(x)c2g(c1Ffxc2Gfx相似性fxbF(bfx位移定fxx0ej2fxx0F(fx共軛的傅氏fF(fx變換的傅氏Ffxf(卷積的傅氏F(fx)Hfx乘積的傅氏fF(fx)Hfx1、線性F{f(x,y)}=Ffxfy)F{g(x,yG(fx則F{c1f(x,y)+c2gx,y)}=c1F(fxfy+c2G(fx2、中心縱坐標F(0) f(x)dxAreaff(0)

F(fx)df

Area函數(shù)的面積等于 變換的中心縱坐標Ff f(x)ej2fx f f(x)

F(f)ej2fx

x3、相似性

x

bF)(b )(b 若b F-x=F(-fx

x

+ fx b

-

bexp(-

xx)dx b

fexpj2fxbd

bF(bfxF[f(ax,by)]

1G(fx,fy 極限情況：δ光學 4、位

F

x

ej2fxx0F(f ej2f0xfxF f作 變換乘以一線性相位因子 為實數(shù))Ffx

fxx0expj2fx

fexpj2fxx0xej2fxx0F(fx物方位置移動,只引起像方位置變化,物方位置變化反映在空間頻率的變化或位相例：設f(x,y)=則：F[f(x,y)]=F

fx=0,點光源位移

fx≠0,位相因子改變表示 方向改F[(xa,yb)]1exp[j2(fxaf5、卷積定 Ffxh(x)F(fx)HfxFfxh(x)Ffx)*Hfx

f()h(x)dexpj2fx

h(x)

j2fx

h()exp

j2fx

dexp

j2f

fx

Hf fexpj2fdF(f)Hf

6、相關的Ffxh(x)F(fx)H

fx

作自相關定理（維納- 理 Ffxf(x)F(fx)FfF(f f(x) F(f)Ff 7、共軛的FfxFfxFfx

fx

j2fxxdx fxexpj2fxxdxF(fx8、變換的FFfxyf(xf(x,FF1[g(x,y)]F-1F[g(x,y)]g(x,對函數(shù)相繼進行變換和逆變換又重新得到9、功率定 fxgxdx

G(f

ej2fx

f'ej2f fxg

x

x

xdfx'

Ffx

Gfx

'

ej2fxfx '

Ff

Gf'δff'df

FfGf 210、帕色伐Parseval2

fx

2dx

Ffx

dfx利用功率

fxgxdx

G(f 令gx)f 四、廣 變換、(x,y)

(x,y)(x

)ej2fxG(fx)

δx

ej2fxxdxej2fxx0ej2f0x(

xf0xG(fx)

ej2f0xej2fxxdx ej2fx

f0xdxδ

ff 3、rect(x)的變換rect(xsinc(fx1,x證：rect(x) 0,xejej2fxj2f G(fx)

ej2fxxdx2ejfxe

2 exp(jf)exp(jfG(fx)

2

sincfx

矩形函數(shù)及其變換——sin(fx

4、(x)

F[(x)]sinc2(fxx1xx()

xxrect(t)rect(xt)dtrect(x)rect(F[(x)]F[rect(x)F[rect(x)]F[rect(x)]sinc(fx)sinc(fx)=sinc2(fx5、sgn(x) x

sgn(x)lim

xsgn

x

sgn

x lim(eax

xF[sgn(x)]

0

exp[j2fxx]dx

[lim(eax)0

j2fxlim[eax

exp[j2fxx]dx

(eax)exp[j2fx x } aj2 aj2 j6、(jx)-1的變

sgnfG(fx)

1

ej2fx 1cos2fxdxj1sin2fxdx

2

x

x

sinc2fx該項積分為奇函數(shù)，等于零。

sgnfxfxx7、step(x)step(x)1f x xstep(x)11 F11sgn(x)1δf

8、Gaussian函數(shù)及其作e五、周期函數(shù)的適用于周期函數(shù)的Parseval

f(x)

cej2nf0

fx2dxcnnnn

n當f(x)為周期函數(shù)， 變換由delta函數(shù)陣列給出 F(f)

ej2fxnf0

Ffxcnfxnf0xF

n

ndf

c

δfnfδfmf

nm2n

n

余弦（正弦）函數(shù)及1

f

f

2

- 如果f(x)是奇函數(shù)，則F(fx)也是奇函數(shù)comb(x)comb(x)comb(fx級數(shù)展

cn

f(x)ecomb(x)

n

cej n11n1comb(x)e

cn

δ(x)ej2nxdx2F

j2nx

fxncombfx梳函數(shù)及其變 comb(comb(fx)六、Fourier-Besselg(x,y)g(r,圓對稱函數(shù)g(r,)gR(r)直角坐標系的FourierG(fx,fy)g(x,y)exp[j2(fxxfyfx22y在x,y平面fx22yrxtan1(x

,xrx2y),yx2y

, xfy), fyfx G(,)ddrrgR(r)exp[j2r(coscossinsin G(,)drrgR(r)dexp[j2rcos(1 1

J0(a)2exp[jacos( 零階漢克爾變G()2rgR(r)J0gR(r)2G()J00BB1[gR(r)]BB[gRB[g(ar)]1G[

gR(r)

光 的系統(tǒng)理論描u1(x,

h(x,y;fx,fy)

u2(x, 在分析物理系統(tǒng)時，通常是尋求一個模Su2(x,y)Su1(x,考慮一個用算 S表示的系統(tǒng)，對兩任意的輸入信號有Sf1(x)g1(x)Sf2(x)g2(x)如果對任意的兩個復常數(shù)和a2Sa1f1(x)a2f2(x)Sa1f1(x)Sa2f2a1Sf1(x)a2Sf2(x)a1g1(x)a2g2(x) f(x,y)f(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy

g(x,y)Sf(x,y)Sf(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy f(fx,fy)S(xfx,yfyh(x,y;fx,fy)S(xfx,yfy系統(tǒng)輸出平面(x,y)點對位于輸入平面坐標（fx,fy)點的函數(shù)激勵的響應，稱為系統(tǒng)的脈沖g(x,y)f(fx,fy)h(x,y;fx,fy)dfxdfy

二、線性不變S(t)h(t,時不變系S(xfx,yfy)h(x,y；fx，fyS(xfx,yfy)h(xfx,yfy空間（平移）不變h(x,y;fx,fy)h(xfx,yfySf(x,y)g(x,fxfy為實常Sf(xfx,yfy)g(xfx,fxfy為實常 線性平移不變系統(tǒng)（LinearandShiftInvariantSystem——LSI系統(tǒng)）Sf1(x)g1(x) Sf2(x)g(x)Sa1f1(xx1)a2f2(xx2)a1g1(xx1)a2g2(xx2xx1,x2為實常f(x)f()(x)d 線性平移 g(x,y)Sf(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy g(x,y)f(fx,fy)dfxdfyS(xfx,yfyf(fx,fy)h(xfx,yfy)dfxdfyf(x,y)*h(x, g(x,y)f(x,y)*h(x,y)G(fx,fy)Fg(x,y)F(fx,fy)Ff(x,H(fx,fy)Fh(x,h(x,y)exp[j2(fxxfy系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fyG(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fyg(x,y)F1G(f,f)F1F(f,f)H(f,f 對于線性不變系統(tǒng)，基元函數(shù)選取復f(x,y)F(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy 分 g(x,y)Sf(x,y)SF(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy g(x,y)F(fx,fx)Sexp[j2(fxxfxg(x,y)G(fx,fy)exp[j2(fxxfyF(fx,fy)H(fx,fy)exp[j2(fxxfyLSILSIexp[j2(fxxfy H(fx,fy)exp[j2(fxxfy四、LSI系統(tǒng)的本征復比例常數(shù)叫做本征函數(shù)的Sf(x,y;fx,fy)H(fx,fy)f(x,y;fx,fy1、對于線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為：f(xyexpj2faxF(fx,fy)(fxfa,fyfb)線性不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)為H(fx,fy)，輸出頻G(fx,fy)H(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fy)(fxfa,fyH(fa,fb)(fxfa,fyfb輸出函數(shù) g(x,y)F1G(f,f)F1H(f,f)(f H(fa,fb)exp[j2(faxfbSexp[j2(faxfby)]H(fa,fb)exp[j2(faxfb2、脈沖響應是實函數(shù)的線性不變系統(tǒng)---非相干成像H(fx,fy)是厄米對H(fx,fy)H*(fx,fyH(fx,fy)A(fx,fy)exp[j(fx,fy模，稱(fx,fy)是傳遞函數(shù)的幅角，稱之為相位傳遞函H*(f,f)A(f,f)exp[j(f,f A(fx,fy)exp[j(fx,fy)]A(fx,fy)exp[j(fx,fyA(fx,fy)A(fx,fy(fx,fy)(fx,fy余弦（或正弦）函數(shù)是這類系統(tǒng)的本輸入函數(shù) f(x,y)cos[2(faxfb1F(fx,fy)2(fxfa,fyfb)(fxfa,fyfb線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是H(fx,fy)，輸出頻譜G(fx,fy)H(fx,fy)F(fx,fy1H(f,f)(ff,ff)1H(f,f)(

f,ff

系統(tǒng)的輸g(x,y)F1G(f,f 1H(f,f)expj2(fxfy)1H(f,f)expj2(fxf

g(x,y)F1G(fx,f1H(f,f)expj2(fxfy)1H(f,f)expj2(fxf

A(fx,fy)A(fx,fy (fx,fy)(fx,fyg(x,y)1A(f,f)expj2(fxfy)j(f,f 1A(f,f)expj2(fxfy)j(f,f =A(fa,fb)cos2(faxfby)(fa,,二維抽樣2.3維抽樣如果函數(shù) 變換只在頻率空間的有限區(qū)域不為零，則稱該sincos帶限g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, G(f,f)Fcomb( y

)*G(fx,fy F y Y b(Xfx)comb(Yfy (fn,fnn

G(fn, nGs(fx,fy)

n

g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, G(fn, nGs(fx,fy)

n

二、Whittaker-Shannon抽樣令2