《一元二次不等式及其解法》設(shè)計(jì)

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握一元二次不等式的解法2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡單問題3.通過一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【教學(xué)重點(diǎn)】掌握一元二次不等式的解法【教學(xué)難點(diǎn)】能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡單問題【教學(xué)過程】新知初探1．一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？提示：此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集．思考2：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？提示：不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立．4．三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟求方程y＝0的解有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Ry＜0{x|x1＜x＜x2}??思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？提示：結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1＋4a<0，))解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R.小試身手1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集為()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞3或x＜－\f(1,2)))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))D．RC[3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－eq\f(1,2).]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集為()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,3))))) \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜1))))C．? D．RD[因?yàn)棣ぃ?－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{x|x>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因?yàn)閤2－4x－5＝0的兩根為－1,5，故x2－4x－5>0的解集為{x|x<－1或x>5}．]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________．?[原不等式變形為3x2－5x＋4<0.因?yàn)棣ぃ?－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解．由函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖象可知，3x2－5x＋4<0的解集為?.]例題講解一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解](1)因?yàn)棣ぃ?2－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2).又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)或x<－3)))).(2)原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))2≤0，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4))))).(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因?yàn)棣ぃ?－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.方法總結(jié)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟1化標(biāo)準(zhǔn).通過對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正.2判別式.對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.3求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.4畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.5寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.課堂練習(xí)1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>2)))).(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠2)).(3)原不等式可化為x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R.(4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝eq\f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<1)))).含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路點(diǎn)撥]①對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類進(jìn)行討論？②當(dāng)a≠0時(shí)，是否還要比較兩根的大??？[解]當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為x>1.當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0.當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，∵eq\f(1,a)<1，∴x<eq\f(1,a)或x>1.當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.若eq\f(1,a)<1，即a>1，則eq\f(1,a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，則x∈?；若eq\f(1,a)>1，即0<a<1，則1<x<eq\f(1,a).綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))或x>1))；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).方法總結(jié)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．課堂練習(xí)2．解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．[解]原不等式移項(xiàng)得ax2＋(a－2)x－2≥0，化簡為(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))≤0.當(dāng)－2<a<0時(shí)，eq\f(2,a)≤x≤－1；當(dāng)a＝－2時(shí)，x＝－1；當(dāng)a<－2時(shí)，－1≤x≤eq\f(2,a).綜上所述，當(dāng)－2<a<0時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；當(dāng)a＝－2時(shí)，解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a<－2時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).三個(gè)“二次”的關(guān)系【例3】已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[思路點(diǎn)撥]eq\x(\A\AL(由給定不等式,的解集形式))→eq\x(\A\AL(確定a<0及關(guān)于,a，b，c的方程組))→eq\x(\A\AL(用a表示b，c))→eq\x(\A\AL(代入所求,不等式))→eq\x(\A\AL(求解cx2＋bx＋a<0,的解集))[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).方法總結(jié)已知以a，b，c為參數(shù)的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：1根據(jù)解集來判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；2根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.課堂小結(jié)1．解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當(dāng)m<n時(shí)，若(x－m)(x－n)＞0，則