第一次2.6上 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

§2-6

剛體的定軸轉(zhuǎn)動12、剛體的運(yùn)動剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的，是理想化的力學(xué)模型，絕對的剛體是不存在的。說明：一剛體的運(yùn)動

無論在多大的外力作用下，形狀和大小都保持不變的物體．1、剛體

(

任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組。)平動、轉(zhuǎn)動．2如果剛體內(nèi)任何一條直線，在運(yùn)動中始終保持它的方向不變，（1）平動

特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)一樣，如：等都相同。或者說當(dāng)剛體運(yùn)動時剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都保持完全相同，這種運(yùn)動稱為平動。

剛體平動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動3（2）轉(zhuǎn)動剛體上的各個質(zhì)點(diǎn)在剛體運(yùn)動中都繞同一直線作圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動稱為轉(zhuǎn)動，該直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動.41）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動，圓面為垂直于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平面；定軸轉(zhuǎn)動特點(diǎn)轉(zhuǎn)動平面參考方向OPO轉(zhuǎn)軸2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動均相同，但不一定相同；5（3）剛體一般運(yùn)動+的合成平動6

角速度矢量規(guī)定：在轉(zhuǎn)軸上畫一有向線段，使其長度按一定比例代表角速度的大小線速度與角速度之間的關(guān)系：3.剛體轉(zhuǎn)動的角速度角加速度矢量：

,他的方向與剛體轉(zhuǎn)動方向之間的關(guān)系按右手螺旋定則來確定。7

2勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動.剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動公式對比8飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度例

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動.試求:（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；解（1）

t=30s

時，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動時，

t=0s

轉(zhuǎn)過的圈數(shù)9（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解:已知：.

求：解:10OP*二力矩、轉(zhuǎn)動定律剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),對轉(zhuǎn)軸z的力矩大小

1、力矩1、力矩作用線和轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離為的d，d為力臂。哪個力容易將門關(guān)閉或打開？11

其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩討論

（1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)PP*OO’，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量12O（2）合力矩等于各分力力矩的矢量和

（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．13有心力的力矩為零

（4）當(dāng)不等于零時，力矩為零的兩種情況A）r=0B）力的方向沿矢徑的方向（）142、轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動剛體的第一定律

一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩（對該軸而言）等于零時，它將保持原有的角速度不變（原來靜止的繼續(xù)靜止，原在轉(zhuǎn)動則作勻角速轉(zhuǎn)動）

一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩（對該軸而言）不等于零時，它將獲得角速度，角速度的方向與合外力矩的方向相同；角加速度β的量值和它所受的合外力矩M的量值成正比，并與它的轉(zhuǎn)動慣量J成反比。轉(zhuǎn)動剛體的第二定律或15β應(yīng)用牛頓第二定律，可得：上式沿著圓周軌道徑向和切向分解：轉(zhuǎn)動定律的推導(dǎo)ωO-外力-內(nèi)力對剛體中任一質(zhì)量元O’16用ri乘以上式左右兩端：

設(shè)剛體由N

個點(diǎn)構(gòu)成，對每個質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將N

個方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：17得到：右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J表示。剛體定軸轉(zhuǎn)動定律18討論：

小的量度；β轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大（3）M一定，J（1）

=常量；這就是剛體轉(zhuǎn)動第一定律.（4）M=Jβ是瞬時關(guān)系式子.（2）轉(zhuǎn)動定律M=Jβ是剛體轉(zhuǎn)動規(guī)律基本的方程。其在定軸轉(zhuǎn)動中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動中地位相當(dāng)。19轉(zhuǎn)動慣量物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量元:轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.注意轉(zhuǎn)動慣量20O′O設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元

例2.18

一質(zhì)量為

m

、長為

l

的均勻細(xì)長棒，與棒垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動慣量的變化.O′O轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)軸過中心垂直于棒21解

(1)

在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，距離為R，則該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為例2.19設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動慣量.22考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量23T2T1例

一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，其轉(zhuǎn)動慣量J=1/2mr2。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2aT2G2am2T1G1am1解:按牛頓運(yùn)動定律和轉(zhuǎn)動定律可列出下列方程24這個裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。因?yàn)樵谝阎猰1、m2的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測出m1和m2的加速度a，再通過加速度a把g算出來。m1m2a25

例

一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動.由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動.試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得mlo26式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo27例2.21轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t＝0時角速度為.