第七章+波導與諧振腔(大連海事PPT)

第七章波導與諧振腔2023/2/11第七章波導與諧振腔

§7-1導波系統(tǒng)及其電磁場方程一、導波系統(tǒng)及其種類導波系統(tǒng)（或稱為傳輸線）：傳導電磁波的系統(tǒng)。（a）平行雙線

（b）同軸線

（c）微帶線

（d）矩形波導

（e）圓波導

（f）光纖

2023/2/12均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)：沿傳播方向?qū)Рㄑb置橫截面不發(fā)生變化。傳輸線類型：TEM波傳輸線，如雙導線、同軸線、微帶等；波導傳輸線，如矩形波導、圓形波導等；表面波傳輸線，如介質(zhì)波導等。二、導波系統(tǒng)的電磁場方程無限大空間向+z方向傳播均勻平面波

理想介質(zhì)中：

導電媒質(zhì)中：

可以統(tǒng)一寫為：

1．導波系統(tǒng)中電磁波的形式第七章波導與諧振腔2023/2/13導波系統(tǒng)沿z方向是均勻且無限延伸，則場與z無關，即

=

j為導波系統(tǒng)傳播常數(shù)，為衰減常數(shù)，

為相位常數(shù)。

和表示t=0時、z=0處導波系統(tǒng)的場量。

2．導波系統(tǒng)中的波動方程導波系統(tǒng)為無源區(qū)域，并假設其內(nèi)部填充理想介質(zhì)，則

(7-1-6)

第七章波導與諧振腔將導波系統(tǒng)的電磁波表達式代入，有

2023/2/14第七章波導與諧振腔忽略導波系統(tǒng)的衰減，

=0，

=j，則有：

(7-1-8)

(7-1-9)

h稱為特征值，是待定的常數(shù)。用、代表、(7-1-10)

分解成標量方程，即

2023/2/15(7-1-11)

其中→

第七章波導與諧振腔→

2023/2/16可得

約去ej(t－z)(7-1-13)

第七章波導與諧振腔2023/2/17聯(lián)立式(7-1-13)中的各式，可求得

求出電場、磁場的縱向分量Ez和Hz，即可求得其它橫向分量。(7-1-14)

第七章波導與諧振腔結(jié)論(7-1-11)

如何求出縱向分量Ez和Hz？根據(jù)（7-1-11）式求解。2023/2/18第七章波導與諧振腔§7-2矩形波導中的電磁場結(jié)論：傳播方向存在電場Ez分量。因此空心波導不能傳TEM波。

空心波導中能否傳輸TEM波呢？假設它能夠傳TEM波。在波導任意橫截面上作閉合環(huán)路L，沿L對磁場進行環(huán)路積分。TEM波只有橫向場分量Ex，Ey和Hx，Hy。橫截面上磁場線是閉合曲線，因此沿任意閉合回路L磁場強度的環(huán)路積分(即環(huán)量值)H不為零，為傳導電流與位移電流之和，即等式右邊第1項代表傳導電流，波導管為空心金屬管，無內(nèi)導體不可能有傳導電流；右邊第2項位移電流不為零說明沿傳播方向存在縱向分量電場。2023/2/19一、矩形波導中電磁場的求解

1．分離變量法求解波動方程思路：先求電場、磁場縱向分量Ez和Hz，然后求其它橫向分量。第七章波導與諧振腔由式(7-1-11)：(7-2-1)

僅是(x,y)的二元函數(shù)，假設它們可以寫成

(7-2-2)

波動方程改寫為

2023/2/110第七章波導與諧振腔二元二階微分方程化成兩個相互獨立的一元二階微分方程

(7-2-6)

特征方程：

求得通解：

(7-2-7)

，

(7-2-4)

等式左邊第1項與第2項之間彼此獨立，等式右邊為常數(shù)h2，說明式中等號左邊的兩項分別等于兩個互相獨立的常數(shù)，即：

把上式代入式(7-2-2)，可得

(7-2-8a)

(7-2-8b)

(7-2-5)2023/2/111第七章波導與諧振腔2．矩形波導中的TM波(E波)TM

(E)波磁場的縱向分量Hz=0，電場的縱向分量Ez

0，可通過Ez

分量求場的其他分量。根據(jù)邊界條件，可得2023/2/112注意：m和n不能為零，否則電場Ez分量恒為零，TM波就不存在了。Bmn

是與激勵源有關的常數(shù)。(7-2-11)

第七章波導與諧振腔有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(7-1-14)：

(7-1-14)

2023/2/113(7-2-12)

第七章波導與諧振腔注意：選擇一組m和n值，式(7-2-11)和(7-2-12)就是TM波(E波)的一組解，特征值就確定了，因此把“m”和“n”作為特征值的下標。

2023/2/114由式(7-2-5)（p5）可得：

(7-2-13)

由(7-1-9)式：

可得：若矩形波導中TM波(E波)能無衰減地沿＋z傳播，傳播常數(shù)mn必須是純虛數(shù)mn=jmn，mn必須是實數(shù)。

(7-2-15)

第七章波導與諧振腔2023/2/115討論①m和n的選取必須使；②存在著許多組m和n使相位常數(shù)mn是實數(shù)，因此也就存在著許多種TM波(E波)，記為TMmn?；駿mn模。③可以求得TMmn模瞬時值形式的場表達式，再給定時刻，即可確定電磁場的分布，如圖7-2-2。④TMmn模下標“m”是波導內(nèi)壁寬邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))；第2個下標“n”是波導內(nèi)壁窄邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))。

第七章波導與諧振腔2023/2/116矩形波導TMmn模的電磁場分布

第七章波導與諧振腔2023/2/1173．矩形波導中的TE波(H波)TE波(H波)的電場Ez=0，磁場Hz

0，利用電場切向邊界條件：通過式(7-1-14)：可得：由此可求得：2023/2/118m和n只能一個為零，否則Hz

為常數(shù)，使其他場分量都為零。

由(7-1-14)(7-2-19)

2023/2/119hmn和mn的計算與TM波完全相同，Amn

=C2D2

與激勵源有關。

③TEmn模下標“m”、“n”與TMmn模下標“m”、“n”含義相同。

①存在著許多種TE波(H波)，記為TEmn?；騂mn模。

②由TEmn模場強瞬時值形式可確定電磁場的分布，如圖所示。

討論：第七章波導與諧振腔2023/2/120TEmn模的電磁場分布

第七章波導與諧振腔2023/2/121二、矩形波導中兩種波型的電氣參數(shù)

1．截止頻率(截止波長)和相位常數(shù)mn為實數(shù)→TMmn和TEmn模在波導中以行波方式無衰減傳輸；截止頻率：使k=hmn的TMmn或TEmn模電磁波頻率，記作fc(mn)。

由式(7-2-15)，可得：

(7-2-20)

若矩形波導填充空氣，則(7-2-21)

mn

=–j

→TMmn?；騎Emn模處于衰減狀態(tài)，沿波導衰減；mn=0→TMmn和TEmn模處于臨界狀態(tài)，不能沿波導傳輸。

2023/2/122(7-2-22)

截止波長：使k=hmn無限大介質(zhì)中TEM波的波長，記作c(mn)

①矩形波導的TMmn模或TEmn模的截止頻率fc(mn)與波導填充的介質(zhì)、波導的幾何尺寸以及m和n的選取有關；而截止波長c(mn)僅與波導的幾何尺寸以及m和n的選取有關。

②只有f>fc(mn)或者

<

c(mn)

，矩形波導才存在TMmn?；騎Emn模；用工作波長0判斷，只有當，矩形波導中才能存在以行波方式傳播的TMmn?；騎Emn模。討論：(7-2-24)

2023/2/123波導波長：在波導中，相位差為2的兩個等相位面之間的距離。

第七章波導與諧振腔2．波導波長、相速和群速,

說明：①對于不同m和n的TMmn?；騎Emn模有不同的波導波長。②是TEM波在矩形波導所填充介質(zhì)中的波長。

③電磁波的頻率f越高，矩形波導中可能出現(xiàn)的波型模式就越多。

④介質(zhì)填充使波導中出現(xiàn)的波型多于空氣填充。

(7-2-25)

2023/2/124第七章波導與諧振腔相速：TMmn?；騎Emn模的動態(tài)等相位面的運動速度。

說明：矩形波導中不同m和n的TMmn?；騎Emn模有不同的相速。(7-2-28)

②當矩形波導內(nèi)由空氣填充時，

=0，vp

=c。③矩形波導是色散系統(tǒng)。④TMmn或TEmn模的相速vp(mn)大于相同介質(zhì)中TEM波的相速vp，對于不填充介質(zhì)的情形，TMmn或TEmn模的相速vp(mn)將大于自由空間的光速c。

2023/2/125第七章波導與諧振腔群速(7-2-29)

說明：矩形波導中不同m和n的TMmn?；騎Emn模有不同的群速。TMmn或TEmn模群速vg(mn)是電磁波能量(信號)運動的速度，不大于相同介質(zhì)中TEM波相速vp，也不會大于自由空間光速c。

E-H簡并現(xiàn)象：若矩形波導中TMmn模和TEmn模有相同的m和n(m≥0,n

≥0)

，則兩種模的c(mn)、mn、g(mn)、vp(mn)和vg(mn)也相同，這樣的兩種波型模式將會在矩形波導中同時出現(xiàn)。

2023/2/126第七章波導與諧振腔3．TMmn?；騎Emn模的波阻抗由式(7-2-12)和式(7-2-19)可求得TMmn模或TEmn模的波阻抗：

對TMmn模，可通過波阻抗由電場求磁場，但反之不成立；對TEmn模，可通過波阻抗由磁場求電場，反之不成立。注意：當TMmn和TEmn模有相同的“m，n”時，兩種模式的截止波長c(mn)和其他各對應參數(shù)彼此相同，但波阻抗是不相同的。(7-2-32)

(7-2-35)

2023/2/127第七章波導與諧振腔例7-2-1矩形波導橫截面尺寸為ab=2.2861.016(cm2)，波導填充空氣(0,0)，波導傳輸信號的頻率為f=31010Hz。求：E11模和H11模的截止頻率fc(11)，截止波長c(11)，波導波長g(11)，兩種模式的波阻抗和。解：E11模和H11模的截止頻率、截止波長和波導波長相同，即

2023/2/128第七章波導與諧振腔2023/2/129第七章波導與諧振腔

fc(m,n)>f

c(m-1,n)(

或

f

c(m,,n-1))>f

c(m-1,n-1)

c(m,n)<

c(m-1,n)(

或

c(m,,n-1))<c(m-1,n-1)

<c(m-1,n-1)→波導中存在TEm-1,n-1、TMm-1,n-1、……

<c(m,n)→波導中存在TEm,n、TMm,n、TEm-1,n-1、TMm-1,n-1

……

§7-3矩形波導中的TE10模(H10模)頻率f越大或波長越小，波導中存在的工作模式越多。

顯然有：2023/2/130第七章波導與諧振腔一、矩形波導的單模傳輸條件為了防止信息失真，要求波導內(nèi)只存在單一的工作模式。高次?；蚋叽涡筒ǎ航刂诡l率高的工作模式；

低次?；虻痛涡筒ǎ航刂诡l率低的工作模式。

常見的截止波長有：

規(guī)定：矩形波導橫截面尺寸a>b。

最低次模：TE10波，截止頻率最低，截止波長最大，稱作主模。單模傳輸條件：(7-3-3)

2023/2/131第七章波導與諧振腔通常矩形波導橫截面寬邊尺寸a是窄邊尺寸b的2倍略多一點。模式分布圖2023/2/132第七章波導與諧振腔a

b=2.3cm

1.0cm標準矩形波導的截止波長分布圖2023/2/133第七章波導與諧振腔如果波導中填充介質(zhì)，則：單模傳輸條件改為填充介質(zhì)相當于波導矩形橫截面長度和寬度都擴大了倍

對于非鐵磁媒質(zhì)例7-3-1矩形波導橫截面尺寸a

b=7cm

3cm，填充r=1，r=4介質(zhì)。問：f=3.75

109Hz的信號在波導中有幾種模式？解：頻率為f=3.75

109Hz的信號在真空中的波長為(7-3-5)

2023/2/134第七章波導與諧振腔下面依次求出若干個模式的截止波長，再逐個判斷。介質(zhì)中的TEM波波長為2023/2/135第七章波導與諧振腔存在：TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21和TM21波。例7-3-2

矩形波導中填充r=1，r=4介質(zhì)。f=3.75

109Hz的信號以H10模單模傳輸，求該矩形波導橫截面尺寸a

b

。解：由式(6-1-34)

由單模傳輸條件式(7-3-3)：

可得：因此可以選擇：a

b=2.850cm

1.262cm

如果這個矩形波導不填充介質(zhì)，就只能傳輸TE10模。

填充r=4的非鐵磁理想介質(zhì)，相當于把波導橫截面的長度和寬度都擴大2倍，由單模傳輸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。

2023/2/136第七章波導與諧振腔例7-3-3矩形波導橫截面尺寸a

b=7cm

3cm。問：(1)當波導內(nèi)填充空氣時，工作波長為0=28cm的信號能否以TE10模(H10模)傳輸？(2)實現(xiàn)TE10模(H10模)單模傳輸，所填充介質(zhì)的相對磁導率r和相對介電常數(shù)r應滿足怎樣的關系式？

解：(1)由式(7-2-22)：

不能以TE10模傳輸(2)由式(7-3-5)可知，填充介質(zhì)的r和r應滿足：

解之，可得4<rr

16

若所選擇的介質(zhì)為非鐵磁介質(zhì)，則有4<

r

16

矩形波導中填充介質(zhì)后，可由截止狀態(tài)變?yōu)閱文鬏敔顟B(tài)。若r和r較大，還可變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。2023/2/137第七章波導與諧振腔二、矩形波導TE10模(H10模)的場結(jié)構(gòu)

1．電磁場結(jié)構(gòu)TEmn（或Hmn）模的場表達式：

(7-2-18)

(7-2-19)

2023/2/138第七章波導與諧振腔加入指數(shù)因子后TE10模場表達式：

討論：

①電磁場沿y方向沒有變化；

②Ey、Hx在x=0和x=a兩個波導壁為零，在寬壁中心線上最大；Hz在兩個波導壁最大，在寬壁中心線上為零。場圖:某固定時刻用電力線和磁力線表示電磁場分布的圖形。③磁場線都是平行于寬面的閉合曲線；磁場曲線族沿z方向長度為半波導波長；相鄰曲線族環(huán)繞方向相反。

2023/2/139第七章波導與諧振腔2023/2/1402．電流與電荷的分布理想導體表面上面電流密度矢量為：

TE10模的場:矩形波導y=0平面：

；

y=b平面：

TE10

(H10)模在上下兩寬壁的磁場：

寬邊內(nèi)壁上下兩側(cè)對應點處電流密度矢量：

矩形波導x=0平面：

；

x=a平面：

TE10模在上下兩窄壁的磁場：Hz(a,y,z)=

Hz(0,y,z)

窄邊內(nèi)壁左右兩側(cè)對應點處電流密度矢量:

2023/2/141第七章波導與諧振腔由(1-5-3)式知，理想導體表面上面電荷與電場強度矢量關系為：

矩形波導x=0平面和

x=a平面上：表面電荷密度S=0；

矩形波導y=0平面：

；

y=b平面：

矩形波導寬壁內(nèi)表面上、下兩側(cè)的對應點處表面電荷密度:

S(x,b,z)=

S(x,

0,z)

作業(yè)：7-1，7-3，7-4，7-62023/2/142第七章波導與諧振腔四、TE10（H10）模的傳輸功率（行波狀態(tài)下單模傳輸?shù)墓β剩?/p>

，

根據(jù)(7-3-8)式，令

(7-3-29a)

2023/2/143第七章波導與諧振腔(7-3-31)

在波導任意橫截面上通過的平均功率為：2023/2/144第七章波導與諧振腔(7-3-32,33,34)

2023/2/145§7-4圓形波導中的電磁波第七章波導與諧振腔一、圓形波導內(nèi)的電磁場方程忽略衰減，

=j。圓形波導的電磁場矢量可寫成：(7-4-2)

圓形波導存在衰減:

=

j

(7-4-3)

2023/2/146第七章波導與諧振腔波導管內(nèi)部無傳導電流，故由麥克斯偉方程(5-1-14)可得：

，

根據(jù)附錄五圓柱坐標系的旋度公式可得：

同理可以寫出磁場的旋度運算的行列式，由此可得六個標量方程。

(7-4-5)

2023/2/147

第七章波導與諧振腔(7-4-6)

用縱向分量Ez和Hz來表示其他坐標分量，即

(7-4-7)

2023/2/148第七章波導與諧振腔可推導出Ez和Hz兩個坐標分量在圓柱坐標系中的波動方程為：

(7-4-12)

h稱為特征值，根據(jù)電磁場邊界條件及波型模式來確定。

(7-4-13)

其中2023/2/149第七章波導與諧振腔二、圓波導的分離變量法消除式(7-4-12)中的指數(shù)因子，可得：(7-4-14)

(7-4-15)

設：帶入(7-4-14),整理得：(7-4-16)

ρ和Φ是各自獨立的變量,因此等式等于一個常數(shù)，令其為m2。由此可得到兩個二階微分方程：2023/2/150第七章波導與諧振腔二、貝賽爾函數(shù)簡介貝賽爾函數(shù)分為第1類貝賽爾函數(shù)和第2類貝賽爾函數(shù)。第1類貝賽爾函數(shù)是一個收斂的無窮冪級數(shù)。(7-4-17)

(7-4-21)

兩個方程的解分別為：(7-4-18)

(7-4-22)

其中為第1類m階貝塞爾函數(shù)。2023/2/151第七章波導與諧振腔m階第1類貝賽爾函數(shù)(以下簡稱m階貝賽爾函數(shù))為式中自變量x

0。貝賽爾函數(shù)的階數(shù)可以取m=0,1,2,3,···。m=0時，稱為0階貝賽爾函數(shù)，即

使Jm(x)=0的x值稱為m階貝賽爾函數(shù)Jm(x)的根。記作pmn，n=1，2，3，…，是根pmn由小到大排列的的序號。圖7-4-2給出了0～3階貝賽爾函數(shù)隨x的變化曲線，表7-4-1給出了0～3階貝賽爾函數(shù)的前4個根。2023/2/152第七章波導與諧振腔圖7-4-2

J0(x)，J1(x)，J2(x)

和J3(x)

的變化規(guī)律2023/2/153第七章波導與諧振腔m階貝賽爾函數(shù)的導數(shù)叫作m階貝賽爾導函數(shù)

(7-4-30)

使Jm(x)=0的自變量x值稱作m階貝賽爾導函數(shù)Jm(x)的根，記作pmn，n=1,2,3,…，是根pmn由小到大排列的序號。圖7-4-3給出貝賽爾導函數(shù)變化曲線。表7-4-2給出貝賽爾導函數(shù)的前4個根。

n

m123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4個根pmn

2023/2/154第七章波導與諧振腔圖7-4-3貝塞爾導函數(shù)曲線

2023/2/155第七章波導與諧振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2貝賽爾導函數(shù)Jm(x)的前4個根pmn

2023/2/156第七章波導與諧振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2J

m(x)的前4個根pmn

比較表7-4-1與表7-4-2

nm123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4個根pmn

比較的結(jié)果：結(jié)論：一階貝塞爾函數(shù)的根與零階貝塞爾導函數(shù)的根相同。2023/2/157第七章波導與諧振腔三、圓形波導中電磁場求解及有關參數(shù)1．圓形波導中的TM波(E波)由邊界條件可以求得TMmn模(Emn模)相應的特征值為

(7-4-34)

(7-4-36)

a為圓波導半徑，將式(7-4-36)帶入式(7-4-34)，Ez為

由分離變量法可得圓波導TMmn(Emn)模電場縱向分量Ez為

(7-4-37)

將上式代入式(7-4-7)并考慮Hz=0，可得圓波導四個橫向分量。2023/2/158第七章波導與諧振腔(7-4-38)

討論：

①如果m=0，則

90。②在波導壁內(nèi)表面

=a上，E

=0；H

=0，符合邊界條件

2023/2/159第七章波導與諧振腔TMmn模(Emn模)的截止波長

當波在波導中截止時β=0，則：

(7-4-40)

vp是介質(zhì)中TEM波的相速，相應的截止波長為

TMmn模(Emn模)的截止波長與內(nèi)部填充的介質(zhì)無關，僅取決于貝塞爾函數(shù)的根pmn和圓波導半徑a，而截止頻率還與填充的介質(zhì)有關。

討論：2023/2/160第七章波導與諧振腔圓波導TMmn模(Emn模)的其它參數(shù)圓波導TMmn

(Emn)模場分布中，m代表橫截面上沿圓周方向磁場切向分量變化的周期數(shù)（或半圓周上最大值出現(xiàn)次數(shù)）；n代表橫截面上沿半徑方向磁場線最密集數(shù)（最大值數(shù))。

例如，TM01模沿圓周方向場量沒有任何變化，對應m=0；沿半徑方向磁場線最密集出現(xiàn)1次，對應n=1。

，，2023/2/161第七章波導與諧振腔圓波導TM01模(E01模)場結(jié)構(gòu)分布圖

2023/2/162第七章波導與諧振腔2．圓形波導中TE波(H波)由分離變量法可得：

圓形波導TE(H)模的特征值為

(7-4-46)

(7-4-48)

由式(7-4-7)可得：(7-4-45)

由電場切向分量連續(xù)的邊界條件可得：(7-4-47)

2023/2/163第七章波導與諧振腔(7-4-50)

將式(7-4-49)

代入式(7-4-45)并考慮Ez=0，可得：(7-4-49)

將特征值帶入式（7-4-46）可得：2023/2/164第七章波導與諧振腔圓形波導TEmn(Hmn)模的截止頻率為：

圓形波導TEmn(Hmn)模的截止波長為：

圓形波導TEmn(Hmn)模的波阻抗為：

(7-4-55)

(7-4-52)

(7-4-54)

2023/2/165第七章波導與諧振腔圓形波導TEmn(Hmn)模的其他參數(shù)

(7-4-54)

說明：T