第三章 第5節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)定理_第1頁(yè)
第三章 第5節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)定理_第2頁(yè)
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§5高階導(dǎo)數(shù)公式

GeneralizedCauchyIntegralTheorem第三章復(fù)變函數(shù)的積分下載地址:mkejian@163.comPin:mathematics一、引入柯西積分公式如何求f(z)的導(dǎo)數(shù)？在C內(nèi)解析？求導(dǎo)與積分是否能交換運(yùn)算次序？得，？…二、主要定理定理不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.二、主要定理定理證根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得再利用以上方法求極限至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.說(shuō)明：（1）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析（2）f=u+iv解析，函數(shù)f(z)解析的充要條件是u,v

可微且滿足C-R方程連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)f=u+iv解析u,v可微u,v有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)不同！說(shuō)明：（1）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析（2）函數(shù)f(z)解析的充要條件是u,v

具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R方程與實(shí)函數(shù)不同！三、典型例題例1解根據(jù)復(fù)合閉路定理例2解例3提示：設(shè)f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，C為D內(nèi)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，證明：不在C上的z0有，課堂練習(xí)設(shè)C為一單連通區(qū)域B內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，且解析函數(shù)f(z)在B內(nèi)不為零，求答案例4(Morera定理)證依題意可知參照本章第四節(jié)定理二,可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),例5證不等式即證.四、小結(jié)與思考高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式思考題

函數(shù)在f(z)在0<|z|<1內(nèi)解析，且在C:|z

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